Estimation des propriétés thermophysiques

La résolution du problème direct conduit, dans l'espace de Laplace, à deux ex- pressions analytiques de la température en face avant (3.6) et en face arrière (3.8), fonction de la variable de Laplace, de la puissance dissipée dans la sonde et d'un certain nombre de paramètres contenus dans le vecteur β1 _:

β = (E, λ, Rc1, Rc2, Rc3, h)

L'estimation des propriétés thermophysiques va consister à déterminer ce vecteur tel que les températures calculées à partir des modèles directs coïncident au mieux avec les mesures expérimentales.

Etude de sensibilité

En premier lieu, il s'agit de déterminer le domaine temporel pour lequel une variation de chacun des paramètres βi, indépendamment les uns des autres, entraîne

une réponse signicative du système. Si un tel intervalle existe, l'identication est possible. Dans le cas contraire, les conditions expérimentales doivent être ajustées.

Les sensibilités des deux températures aux variations de E, λ, Rc1, mcp, et h

sont ainsi calculées en fonction du temps d'expérience par la relation2 _:

Xi(t, β) = βi

∂T (t, β)

∂βi (3.11)

Pour pouvoir les comparer entre elles, nous utilisons une sensibilité réduite.

Ces calculs ont été réalisés sur de nombreux matériaux de nature diérente. Présentons ici le cas de deux d'entre eux :

(i) l'un de conductivité thermique moyenne, une alumine réfractaire3_,

(ii) l'autre de conductivité thermique plus élevée, un graphite polycristallin4_.

Le tableau 3.2 rassemble les propriétés thermophysiques de ces deux spécimens ; les grandeurs nominales relatives aux conditions expérimentales utilisées pour ce calcul gurent dans le second tableau 3.3. Notons que la densité de ux et les épaisseurs des matériaux sont ajustées an de satisfaire l'hypothèse du milieu semi-inni dans le modèle pendant un temps susamment long pour permettre l'exploitation du signal en face avant. Les résultats obtenus sont présentés à la gure 3.3.

Tab. 3.2  Propriétés thermophysiques des matériaux considérés.

Conductivité Eusivité Diusivité

W.m−1.K−1 J.m−2.K−1.s−12 m2_.s−1

Alumine 5,50 4620 1, 40.10−6 Graphite 104 12540 6, 90.10−5

Tab. 3.3  Données expérimentales utilisées pour l'étude des sensibilités.

Epaisseur Densité de ux Surface d'échange h mcp SRc1 a

mm W.m−2 _m2 _W.m−2_.K−1 _J.K−1 _m2_.K.W−1 Alumine 30 1000 0,05×0,05 4 0,875 0,0015 Graphite 100 2500 a_{Les valeurs de Rc} 2 et Rc3sont xées à 10−10 K.W−1

2_{Il a été vérié au préalable que les sensibilités aux résistances de contact avec l'isolant}

Rc2 et Rc3étaient complétement négligeables.

3_{Alumine réfractaire électrofondue élaborée par Saint Gobain CREE, Jargal M (produit corin-}

don - alumine bêta, contenant 95 % Al2O3, 4 % Na2O. 4_{Graphite polycristallin EDM3 élaboré par POCO.}

Fig. 3.3  Sensibilités réduites de T0(t) et T2(t) aux paramètres Rc1, mcp, E, λ et

Résultats et analyse Les courbes tracées sont riches en enseignements. Pour ces deux matériaux, il est manifeste que :

 la température T0 est sensible à la capacitance mcp et à la résistance de

contact Rc1 entre l'élément chauant et l'échantillon en début d'expérience.

Aux temps longs, ces deux paramètres n'inuencent plus le modèle.

 la sensibilité de T0 à l'eusivité thermique E est croissante sur l'ensemble

du domaine temporel exploré et décorrélée des sensibilités à Rc1 et mcp aux

temps courts.

 la sensibilité de T0 à la conductivité thermique λ et aux pertes convectives

latérales h (surévaluées dans cette étude) est négligeable pour des temps inférieurs à 40 secondes dans les deux cas. Au delà, la sensibilité à ces deux paramètres est corrélée ce qui rend impossible leur identication séparément5_.

 la température T2 n'est sensible qu'aux paramètres eusivité E et conducti-

vité λ entre 10 et une centaine de secondes. Une faible sensibilité aux pertes convectives latérales est ressentie aux temps très longs.

Cette lecture nous conduit à dégager très clairement une procédure pour l'identi- cation : les trois paramètres, eusivité E, capacitance mcp et résistance de contact

Rc1, linéairement indépendants, peuvent être identiés simultanément sur le seul

thermogramme T0(t) aux temps courts. L'estimation de la conductivité ne pourra

se faire qu'à partir du thermogramme T2(t) aux temps plus longs, en prenant soin

de vérier l'insensibilité du signal aux pertes convectives. Méthode d'estimation des paramètres

Un jeu de valeurs nominales est attribué aux paramètres E, mcp et Rc1 du

modèle direct, les valeurs des résistances Rc2 et Rc3 sont xées à 10−10 K−1.W−1.

Par application d'une méthode de minimisation6_{, nous déterminons de nouvelles}

valeurs de E, mcp et Rc1 qui minimisent la somme des écarts quadratiques entre

les courbes expérimentale et théorique en face avant entre le début de l'expérience et un temps susamment court déterminé par l'étude des sensibilités (de 30 à 50 secondes selon le milieu étudié).

5_{La seule détermination envisageable serait le cas où les dimensions transversales des échan-}

tillons seraient grandes devant leur épaisseur. Dès lors, la température au centre de l'élément chauant ne serait pas perturbée par les pertes latérales pendant un temps susamment long.

6_{Méthode de type Newton ou résolution dans un système des moindres carrés par la méthode}

Une valeur initiale de la conductivité λ est attribuée. D'une manière similaire, nous déterminons ensuite par la même méthode la valeur de la conductivité thermique qui minimise la somme des écarts quadratiques entre les courbes expérimentale et théorique en face arrière entre 0 et le temps pour lequel les pertes convectives latérales sont négligeables.

Par itérations successives, nous aboutissons à une estimation précise des deux grandeurs E et λ.

Cas des milieux orthotropes

L'orthotropie des milieux composites multiplie le nombre de paramètres à iden- tier par trois (cf Ÿ 1.2.1). En raison du caractère monodimensionnel de l'expérience du plan chaud, l'identication simultanée des trois composantes du tenseur des pro- priétés n'est pas permise. La solution consiste à réaliser une série de trois expériences où le ux de chaleur est appliqué successivement selon chacune des directions princi- pales de l'échantillon (Fig.3.4). Une perturbation thermique selon l'axe x conduira par exemple à identier les propriétés dans cette direction. Il est donc ici nécessaire de connaître à priori les directions principales du composite.

Fig. 3.4  Schéma des trois expériences à réaliser pour la caractérisation complète d'un composite.