˜qk,cos 0F ˜qk,sin 0F ˜pk = ( T 0 0 Iζ ) ; <9 : T ( qbp ˜pk ) (IV.30) où la matrice T contient toutes les étapes de transformation décrites précédemment et Iζ est la matrice identité dont la taille dépend du nombre ζ de modes à interfaces fixes retenus dans la base réduite.
Les matrices structurales du secteur de référence de la roue aubagée à assembler aux matrices structurales du modèle de bi-rotor sont donc les suivantes, avec comme harmonique considérée k = 1 :
Mk
coupl = TT M˜k
T , et Kkcoupl = TT K˜k
T . (IV.31) Les développements qui viennent d’être présentés permettent de construire un modèle bi-rotor aubagé impliquant un modèle éléments finis 3D réduit de roue au-bagée. Le paragraphe suivant est dédié à la présentation d’un cas-test pertinent, permettant ainsi de valider la démarche de couplage proposée.
2.2 Présentation du cas-test de validation
Figure IV.2 – Cas-test de validation
Afin de valider la méthode proposée dans la partie précédente, l’idée est de construire un cas-test de validation de roue aubagée modélisée par éléments finis. Le modèle éléments finis que nous avons choisi de créer correspond au modèle de
roue aubagée constitué d’un disque rigide et d’aubes modélisées par des poutres de type Euler-Bernoulli. Comme nous disposons déjà d’un modèle couplé bi-rotor aubagé impliquant des aubes modélisées par des poutres (cf. Chap. III.1.3), il sera alors possible de le comparer au modèle couplé impliquant une roue aubagée 3D modélisée par éléments finis.
Un modèle de roue aubagée comportant N = 4 secteurs identiques a été créé et est présenté en figure IV.2. Les caractéristiques qui ont été prises en compte pour la création de ce modèle correspondent donc au modèle développé dans le chapitre précédent et sont récapitulées dans le tableau IV.1. Le disque qui était considéré infiniment rigide dans le chapitre précédent est ici considéré en acier.
Notation Description Valeur
MdT uBP Masse du disque TuBP 34 kg
IdiamT uBP Moment d’inertie diamétral du disque TuBP 0, 4 kg · m2
IpolT uBP Moment d’inertie polaire du disque TuBP 0, 8 kg · m2
Ed Module d’Young du disque 211 × 109 N/m2
ρd Masse volumique du disque 7800 kg/m3
Nb Nombre total d’aubes 4
Lb Longueur des aubes 0, 17 m
Eb Module d’Young des aubes 114 × 109 N/m2
ρb Masse volumique des aubes 4500 kg/m3
β Angle d’incidence des aubes 0˚
Table IV.1 – Valeur des paramètres de la roue aubagée 3D
2.2.1 Réduction du modèle de roue aubagée
À partir du modèle complet de roue aubagée illustré en figure IV.2, l’objectif est de construire un modèle réduit associé au secteur de référence de cette structure. Afin d’obtenir un modèle réduit du cas-test de validation, la démarche décrite dans la section 1 est employée. Dans un premier temps, comme les 4 secteurs de la roue aubagée considérée sont identiques, il est possible de modéliser un seul secteur de référence de la structure au sens de la symétrie cyclique. Le modèle du secteur de référence est présenté en figure IV.3, il est discrétisé en 4964 éléments hexaédriques de degré 2. Les autres secteurs de la roue aubagée sont déduits de ce secteur de référence par j rotations successives d’angle α = 2π
N = π
2, pour j ∈ [0; N − 1]. Étant donné que la structure se referme sur elle-même, il convient de définir pour ce secteur de référence des conditions aux limites avec ses secteurs adjacents. La définition de ces conditions aux limites cycliques se fait sur les frontières inter-secteurs et est illustrée sur la figure IV.3. Ainsi, les degrés de liberté appartenant à la frontière de gauche du secteur de disque sont liés aux degrés de libertés appartenant à la frontière de droite par des relations de propagation définies en base cyclique (cf. Chap. I.4.1.3). À partir de ce modèle du secteur de référence défini en base cyclique, il est possible de calculer les modes de vibration de la structure complète pour chaque harmonique spatiale k.
g˜qk
0 = d˜qk 0 eikα
Nœud fictif
Nœuds du rayon intérieur du disque liés rigidement au nœud fictif Conditions aux limites cycliques
Figure IV.3 – Secteur de référence du cas-test de validation
La seconde étape de la méthode consiste à obtenir un modèle réduit de ce secteur de référence modélisé en base cyclique. La méthode de réduction modale utilisée est la méthode de Craig & Bampton qui consiste à construire une base réduite constituée de modes statiques de liaison et de modes normaux de vibration à interfaces fixes. La première étape de la procédure de réduction est de sélectionner les ddls de frontières du secteur de référence, puis de partitionner le vecteur des composantes harmoniques en ddls de frontière et ddls internes. Comme l’objectif est de coupler ce modèle de roue aubagée au modèle simplifié de bi-rotor, les ddls de frontière à retenir dans la base réduite sont les ddls se situant sur le rayon intérieur du secteur de disque aubagé. En pratique, afin de limiter le nombre de ddls de frontière dans la base réduite, un nœud fictif est créé au centre de rotation de la structure. Étant donné que le couplage entre la roue aubagée et le bi-rotor est un couplage rigide, il est alors possible de lier rigidement les nœuds se situant sur le rayon intérieur du secteur de disque aubagé au nœud fictif situé au centre de rotation. Le nœud fictif ainsi que les liaisons rigides sont représentés sur la figure IV.3. Les ddls de frontières à retenir dans la base réduite peuvent alors être uniquement ceux associés au nœud fictif. Une fois les ddls de frontière sélectionnés, une base réduite est ensuite construite suivant la méthode décrite à la section 1.2.2. Les matrices structurales réduites de ce secteur de référence sont finalement obtenues en projetant l’équation du mouvement sur la base réduite.
2.2.2 Validation du modèle réduit
Afin de vérifier la validité des modèles réduits obtenus en base cyclique pour chaque harmonique k, les critères de convergence développés en section 1.3 sont appliqués sur notre cas-test de validation. Notons que pour construire le modèle réduit, ζ = 20 modes normaux de vibration à interfaces fixes ont été retenus dans la base réduite.
Le premier critère le plus simple à vérifier est le critère sur les fréquences propres. Ce critère permet de comparer les fréquences propres fred du modèle réduit du secteur de référence aux fréquences propres f du modèle complet du secteur, au travers d’une déviation en fréquence ∆f. La comparaison des 8 premières fréquences propres du secteur de référence de la roue aubagée, calculées pour l’harmonique
k = 0, est reportée dans le tableau IV.2.
Modes fred (Hz) f (Hz) ∆f (%) 1 51,740 51,739 0,003 2 321,925 321,846 0,025 3 557,844 557,757 0,016 4 797,908 792,094 0,729 5 903,162 901,536 0,180 6 1523,930 1476,040 3,143 7 1704,150 1700,660 0,205 8 1783,900 1770,610 0,745
Table IV.2 – Convergence du modèle réduit - Critère sur les fréquences propres Nous pouvons constater que pour la plupart des modes de vibration à 0 diamètre, l’écart entre les fréquences propres du modèle réduit et celles du modèle complet est inférieur à 1%.
Le second critère le plus répandu afin de statuer sur la convergence du modèle réduit est le critère d’assurance modale, permettant de comparer les vecteurs propres du modèle réduit à ceux du modèle complet pour chaque mode de vibration. Les résultats obtenus à l’issue du calcul du critère de MAC sont généralement présentés sous forme de matrice. Rappelons qu’il existe une très bonne corrélation entre les
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 0.8 M A C
Modèle réduit Modèle complet
Figure IV.4 – Critère de MAC pour l’harmonique k = 0
vecteurs propres lorsque la diagonale de cette matrice est égale ou proche de l’unité. La matrice de MAC calculée pour l’harmonique k = 0 est illustrée sur la figure IV.4.
Le critère en fréquence et le critère de MAC, calculés pour l’harmonique k = 0, nous permettent de vérifier la validité du modèle réduit qui a été construit. Notons que la même démarche est adoptée afin de vérifier la convergence des modèles réduits calculés pour les harmoniques k = 1 et k = 2.
D’autre part, le modèle éléments finis de roue aubagée qui vient d’être construit correspond au modèle simplifié développé dans le chapitre précédent. Le modèle élé-ments finis est construit au sens de la symétrie cyclique puis le secteur de référence considéré est ensuite réduit par une technique de synthèse modale. En revanche, dans le modèle simplifié impliquant un disque rigide et des aubes modélisées par des poutres, l’hypothèse de symétrie cyclique n’est pas considérée et le modèle n’est pas réduit. Une comparaison des premiers modes de flexion des deux modèles est présentée sur la figure IV.5, pour toutes les harmoniques k = 0, 1, 2. Cette
compa-FigureIV.5 – Comparaison des déformées propres des premiers modes de flexion de roue aubagée pour toutes les harmoniques, k = 0 diamètre en haut, k = 1 diamètre au centre et k = 2 diamètres en bas
aubagée et de vérifier la pertinence du cas-test de validation choisi.
Dans la suite, les autres étapes de la procédure de couplage seront également validées en comparant les principaux résultats linéaires du modèle couplé au modèle décrit dans le chapitre précédent.