Outils d’analyse de stabilité

L’analyse de stabilité locale d’une solution périodique peut être réalisée soit dans le domaine temporel en se basant sur la théorie de Floquet, soit dans le domaine fréquentiel en se basant sur les déterminants de Hill.

4.2.1 Théorie de Floquet

Dans notre cadre d’étude, rappelons que le système d’équations dynamiques non-linéaire s’écrit :

M¨q + C ˙q + Kq + Fnl(q) = Fb (II.51) La résolution de ce système est réalisée dans le domaine fréquentiel permettant d’ob-tenir la solution xhcomposée des coefficients harmoniques. À partir de cette solution harmonique, il est possible de recomposer la solution temporelle q0(t) sur une pé-riode T . Dans le cadre d’étude de la stabilité locale de la solution, une perturbation

p est ajoutée à cette solution temporelle. Après substitution de la solution

pertur-bée q(t) = q0(t) + p(t) dans le système (II.51), puis en réalisant un développement en série de Taylor au premier ordre des efforts non-linéaires au voisinage de q0, les équations du mouvement en variation s’écrivent :

M¨p + C ˙p + Kp + JqFnl(q0) = 0 (II.52) Cette équation est réécrite dans l’espace d’état sous la forme suivante :

˙y(t) = B y(t) (II.53) avec : y = ( p ˙p ) , et B = ( 0 I −M−1(K + JqFnl(q0)) −M−1C ) .

La théorie de Floquet traite des systèmes linéaires à coefficients périodiques comme celui qui est défini par l’équation (II.53). Pour présenter cette méthode, on introduira la notion de matrice fondamentale, qui permet de calculer la matrice de monodromie, dont le spectre, constitué des multiplicateurs de Floquet, indique si la solution est stable ou instable.

Le système (II.53) est composé de 2n équations linéaires à coefficients périodiques dans l’espace d’état et admet donc 2n solutions linéairement indépendantes yi, avec

i= 1, . . . , 2n. Ces solutions sont appelées solutions fondamentales et peuvent être regroupées dans une matrice Y de taille 2n × 2n, appelée matrice fondamentale :

Y(t) =^-y1(t) · · · yi(t) · · · y2n(t)^. (II.54) Cette matrice fondamentale vérifie les équations du mouvement en variation :

˙Y(t) = B Y(t) (II.55) Comme la solution est périodique, de période T , on peut montrer que Y(t + T ) est également une matrice fondamentale solution. De plus, comme les solutions yi(t) sont linéairement indépendantes, alors les solutions yi(t + T ) doivent être des com-binaisons linéaires des solutions yi(t), ce qui peut s’écrire :

Y(t + T ) = Y(t)Φ (II.56) où Φ est une matrice constante de dimension 2n × 2n dépendant de la matrice fondamentale choisie.

D’un point de vue pratique, les conditions initiales considérées pour la résolution du système (II.55) sont généralement Y(0) = I, où I est la matrice identité de taille 2n. Avec la prise en compte de ces conditions initiales dans l’équation (II.56), on obtient l’expression de la matrice Φ :

Φ = Y(T ) (II.57)

Cette matrice Φ est communément appelée matrice de monodromie. L’analyse de stabilité de la solution considérée q0 revient alors à étudier les valeurs propres de cette matrice de monodromie. La matrice Y(T ) est obtenue en résolvant par in-tégration temporelle le système suivant sur une période, à savoir pour t = [0, T ] : ˙YT = B∗ YT (II.58) avec : YT =     y1 ... y2n     , et B∗ =     B · · · 0 ... ... ... 0 · · · B    .

Les valeurs propres de la matrices de monodromie Φ, notées ρi, sont appelées les multiplicateurs de Floquet. La stabilité asymptotique de la solution périodique étudiée est déterminée à partir de la valeur absolue de l’ensemble des multiplicateurs, à savoir :

– si max

i |ρi| < 1, la solution q0 est asymptotiquement stable ; – si max

i |ρi| > 1, la solution q0 est instable ; – si max

i |ρi| = 1, d’autres éléments sont nécessaires pour juger de la stabilité. Dans le cas où un multiplicateur de Floquet est égal à 1, autrement dit qu’il se trouve sur le cercle unité dans le plan complexe, alors la solution périodique est dite non hyperbolique et une analyse non-linéaire est nécessaire pour statuer sur la stabilité de cette solution. Cet outil est très largement utilisé en dynamique non-linéaire, on trouve notamment des applications de cette méthode en dynamique des rotors [Sundararajan et Noah, 1997, Cardona et al., 1998].

La méthode basée sur la théorie de Floquet est très précise pour le calcul de la sta-bilité des solutions non-linéaires. Néanmoins, elle nécessite l’intégration temporelle de 2n équations différentielles pour la construction de la matrice de monodromie, ce qui s’avère très coûteux en termes de temps de calcul.

4.2.2 Méthode de Hill

Les méthodes fréquentielles ont l’avantage d’être plus rapides que les méthodes temporelles pour déterminer les solutions périodiques. Afin de ne pas perdre le gain de temps lié à l’utilisation d’une méthode fréquentielle, l’étude de stabilité des solu-tions périodiques peut être réalisée dans le domaine fréquentiel avec la méthode de Hill.

Lors de la procédure de balance harmonique à Nh harmoniques, le système dy-namique non-linéaire (II.51) est écrit dans le domaine fréquentiel en fonction de ses coefficients de Fourier (cf. Eq. (II.12) :

Axh+ Fnlh(xh) = Fbh (II.59) Considérons également que la solution périodique est perturbée par un terme pério-dique z(t) multiplié par un terme exponentiel :

q(t) = q0(t) + z(t)eλt (II.60) Lorsque cette relation est introduite dans l’équation du mouvement dans le domaine temporel (II.51), on obtient le système suivant :

M¨q0+ C ˙q0+ Kq0+eλt^*λ²Mz + λ (2M˙z + Cz)⁺+ · · ·

e^λt(M¨z + C˙z + Kz) + Fnl

*

q0+ zeλt⁺= Fb

(II.61) En développant en séries de Fourier tronquées à l’ordre Nh les solutions périodiques et après l’application de la procédure de balance harmonique au système (II.61), le système suivant est obtenu :

Axh0 +^*A + λΛ1 + λ2Λ2

+

zhe^λt+ Fnlh *

où xh0 est le vecteur regroupant les coefficients de Fourier de q0, zh celui corres-pondant à la perturbation z, l’expression de la matrice de raideur dynamique est inchangée, et les matrices Λ1 et Λ2 ont les expressions suivantes :

Λ2 =     M · · · 0 ... ... ... 0 · · · M     , et Λ1 =               K 0 _{· · ·} 0 0 Λ1 1 ... ... ... ... Λk 1 ... ... 0 0 _{· · ·} 0 ΛNh 1               . Les sous-blocs Λk 1 s’écrivent : Λk 1 = ( C (2kω)M −(2kω)M ^C ) , pour k = 1, . . . , Nh.

De plus, un développement limité au premier ordre du terme correspondant aux efforts non-linéaires donne :

Fnlh *

xh0 + zhe^λt+≈ Fnlh(xh0) + JxhFnlh(xh0) zhe^λt (II.63) où JxhFnlh est la matrice jacobienne de Fnlh évaluée en xh0.

Finalement, après substitution de la dernière relation (II.63) dans le système algébrique non-linéaire (II.62), on obtient le problème aux valeurs propres généralisé suivant :

*

A + λΛ1+ λ2Λ2+ JxhFnlh(xh0)⁺zh = 0 (II.64) Les valeurs propres issues de (II.64) sont complexes. Si elles possèdent toutes une partie réelle négative, alors l’amplitude de la perturbation va décroître au cours du temps et la solution périodique xh0 sera stable. En revanche, si une ou plusieurs valeurs propres possèdent une partie réelle positive, alors les amplitudes de la per-turbation augmenteront exponentiellement au cours du temps, la solution périodique sera donc instable. Le critère de stabilité se formule donc de la façon suivante :

– si max

i (Re(λi)) < 0, la solution xh0 est stable ; – si max

i (Re(λi)) > 0, la solution xh0 est instable ; – si max

i (Re(λi)) = 0, d’autres éléments sont nécessaires pour juger de la stabilité.

Cette méthode d’étude de stabilité dans le domaine fréquentiel présente l’avantage de ne nécessiter aucune intégration temporelle, contrairement à l’étude de stabilité selon la théorie de Floquet. Néanmoins, elle nécessite le calcul de la matrice jaco-bienne des termes non-linéaires ainsi qu’un développement en série de Fourier de la perturbation z(t) dont la troncature à l’ordre Nh peut influer sur la précision du calcul de la stabilité. Un exemple de mise en œuvre de cette méthode est détaillé

par Sinha [Sinha, 2004] et Groll & Ewins [Groll et Ewins, 2001]. De plus, des études comparatives ont été réalisées [Guskov, 2007] entre la méthode basée sur la théorie de Floquet et celle basée sur les déterminants de Hill pour l’étude de stabilité de solutions non-linéaires. Ces études ont permis de montrer, au travers d’exemples simples, que proche du retournement de la courbe solution où il y a un doute sur la stabilité de la solution, la méthode de Hill ne permettait pas de statuer sur la stabi-lité de la solution. En effet, le développement en série de Fourier de la perturbation doit être poussé à un ordre Nh élevé afin de retrouver le résultat de stabilité fourni par la théorie de Floquet.

Malgré les récentes évolutions de la méthode de Hill [Lazarus et Thomas, 2010] qui semblent prometteuses, dans la suite le choix a été fait d’utiliser la méthode basée sur la théorie de Floquet pour l’analyse de stabilité des solutions périodiques non-linéaires.

5 Conclusion

Ce second chapitre se résume en la présentation des aspects non-linéaires dans les turbomachines et des techniques de résolution de systèmes dynamiques présentant des non-linéarités. Un intérêt particulier a été porté sur les non-linéarités de type contact, étant à la fois présentes dans les organes comme les paliers, mais aussi entre les pièces, notamment au sein des roues aubagées. Plusieurs modélisations ont été proposées et ont révélé la nature non-régulière de ce type de forces non-linéaires. L’obtention de régimes dynamiques du système a nécessité l’introduction de mé-thodes de résolution adaptées prenant en compte les non-linéarités de type contact. Diverses méthodes de calcul dédiées à la recherche de solutions périodiques d’un système non-linéaire ont alors été exposées, que ce soit dans le domaine temporel ou dans le domaine fréquentiel. Les méthodes fréquentielles se sont avérées plus efficaces en termes de temps de calcul pour traiter des problèmes de grande taille. Comme les forces non-linéaires de contact sont explicitement exprimées dans le domaine temporel, des stratégies d’alternance temps/fréquence ont également été introduites afin d’évaluer ces efforts dans le domaine temporel, en conservant la résolution du système non-linéaire dans le domaine fréquentiel. Afin de suivre l’évolution du com-portement vibratoire de notre système en fonction d’un paramètre physique choisi, plusieurs techniques de continuation, couplées aux méthodes fréquentielles, ont en-suite été détaillées. Notons que les méthodes fréquentielles ne permettent pas de statuer sur la stabilité des solutions périodiques obtenues. L’analyse de stabilité des solutions doit alors être réalisée a posteriori, avec les outils qui ont été présentés à la fin de ce chapitre, comme la méthode basée sur la théorie de Floquet.

Les outils qui ont été présentés permettent donc de construire des solutions, d’en étudier la stabilité et l’évolution en fonction de la variation d’un paramètre du système. L’application de ces méthodes non-linéaires sera réalisée dans le chapitre suivant sur un système simplifié de bi-rotor aubagé.

Modélisation et analyse d’un

système bi-rotor aubagé simplifié

Sommaire

1 Construction du modèle bi-rotor aubagé . . . 72

1.1 Présentation du système développé . . . 72