2 Estimation du comportement non-linéaire . . . 45
2.1 Méthodes de résolution dans le domaine temporel . . . 46 2.2 Méthodes de résolution dans le domaine fréquentiel . . . 49 2.3 Évaluation des efforts non-linéaires . . . 52
3 Techniques de continuation . . . 55
3.1 La paramétrisation . . . 56 3.2 Les principaux prédicteurs . . . 57 3.3 Les principaux correcteurs . . . 59
4 Analyse de stabilité des solutions non-linéaires . . . 64
4.1 Notions de stabilité . . . 65 4.2 Outils d’analyse de stabilité . . . 66
5 Conclusion . . . 70
1 Non-linéarités dans les turboréacteurs
Dans le domaine de la dynamique, les systèmes mécaniques possédant des parties tournantes comme les turboréacteurs sont souvent des structures complexes d’un point de vue technologique. Couramment, les outils de conception et d’analyse de ces machines sont basés sur le comportement linéaire du système. Néanmoins, les éléments et les liaisons entre les différents organes de ces structures sont en général de nature non-linéaire.
1.1 Origine des non-linéarités
Les non-linéarités sont souvent d’origines diverses, à savoir des non-linéarités géométriques, des non-linéarités matériaux ou encore des non-linéarités résultant du contact entre les différentes pièces de la turbomachine.
1.1.1 Non-linéarités matériaux
Nous avons vu dans le chapitre précédent que les principaux matériaux qui consti-tuent les turboréacteurs sont les alliages de titane ou les superalliages de nickel. Ces matériaux peuvent avoir un comportement non-linéaire si la plasticité est prise en compte dans les modèles. D’autre part, les recherches récentes dans le domaine des matériaux ont permis l’introduction de composites à matrice organique, notamment au niveau des aubes de soufflante. Ces matériaux composites sont constitués d’un tissage 3D de fibres de carbone qui sont noyées dans une matrice organique. Les pro-priétés de ces matériaux sont alors différentes suivant les trois directions de l’espace et le motif de tissage peut également être différent suivant les régions de l’aube. Ces matériaux composites présentent un saut technologique considérable, notamment par leur comportement au délaminage et à l’impact ainsi que leur faible masse. Néanmoins, ils sont difficiles à caractériser, avec des lois de comportement pouvant être non-linéaires.
1.1.2 Non-linéarités géométriques
Les structures dont la rigidité dépend du déplacement qu’elles subissent sont ap-pelées géométriquement non-linéaires. Par exemple, les phénomènes de flambage font intervenir des non-linéarités géométriques. En ce qui concerne les moteurs d’avion, la non-linéarité géométrique la plus courante est celle due aux forces centrifuges. En effet, lorsque le moteur est en rotation, les aubages subissent des efforts centrifuges qui ont tendance à augmenter leur rigidité. Dans le cas des aubes de soufflante, qui sont les aubes de plus grandes dimensions, ces forces peuvent conduire à des grands déplacements qu’il est indispensable de prendre en compte afin de prédire le comportement réel de la structure.
1.1.3 Non-linéarités de type contact
Pour le bon fonctionnement du moteur, des jeux sont nécessaires entre parties fixes et parties tournantes. Au stade de la conception, l’objectif est de réduire au maximum ces jeux pour atteindre de meilleures performances en augmentant le ren-dement. La présence des ces jeux se situe en divers endroits du moteur et, lorsqu’ils sont consommés, peuvent conduire à des situations de contact.
Contact rotor/stator. Nous avons vu précédemment que le contact entre le
ro-tor et le staro-tor était une source d’excitation mécanique dans les moteurs. La ré-duction des jeux entre parties fixes et tournantes augmente la probabilité que le rotor rentre en contact avec un élément du stator. Les recherches dans ce domaine se sont multipliées et ont permis de mettre en évidence une très grande diversité de comportements vibratoires après une prise de contact [Ehrich, 1999]. En régime permanent, ce contact continu engendre une rigidification locale responsable d’un décalage du pic de résonance vers une fréquence plus grande. Afin de limiter ces phé-nomènes, dans certaines parties du moteur la circonférence de la veine est réalisée en matériaux tendres, appelés abradables, de manière à réduire l’impact dynamique de ce type de fonctionnement, de favoriser le rodage mutuel des pièces et ainsi de minimiser les jeux.
Contact en pied d’aube. Les roues aubagées se présentent souvent comme un
assemblage d’aubes montées sur un disque. La région de l’attache aube-disque est une zone sensible de fortes contraintes où il y a présence d’un contact. Le contact est assuré par la force centrifuge qui vient coincer le pied de l’aube dans l’alvéole du disque. Il y a deux surfaces en contact qui sont appelées les portées de l’aube. Les excitations auxquelles les aubes sont soumises sont la cause d’efforts de contact tangentiels et normaux oscillants au niveau des portées, conduisant à des glissements alternés de faibles amplitude des interfaces de contact. Ce fretting cause l’usure des surfaces en contact [Salles et al., 2011] et peut éventuellement produire l’initiation de fissures [Fridrici, 2002,Murthy et al., 2004]. La prévention de ces risques est réalisée par des traitements de surface comme le grenaillage et le dépôt de revêtements protecteurs.
Contact entre les aubes. La maîtrise des niveaux vibratoires constitue une
pro-blématique de premier ordre pour les motoristes aéronautiques. La stratégie la plus immédiate pour maîtriser les niveaux vibratoires d’une structure consiste à lui ap-porter de l’amortissement. Les dispositifs passifs d’amortissement sont les plus cou-ramment employés de part leur plus grande simplicité de mise en œuvre. Concernant les roues aubagées, de nombreuses solutions technologiques existent et nous allons voir celles qui sont classiquement utilisées par les motoristes. Des dispositifs non-linéaires sont employés depuis longtemps en particulier les systèmes d’amortissement par contact et frottement [Chen et Menq, 2001, Petrov et Ewins, 2002]. Prenons d’abord l’exemple des aubes de soufflante qui sont conçues avec des nageoires, à
savoir un ajout de matière au milieu de l’aube qui réalise une connexion entre toutes les aubes de la roue par contact. Le rôle de ces nageoires dans la réponse vibratoire de la roue aubagée est de procurer un amortissement mécanique par contact. Une autre solution technologique existe pour les aubes de turbine BP, à savoir la présence de talons. Dans ce cas, l’ajout de matière se situe en tête d’aube et la présence de ces talons diminue le nombre de modes propres excitables de l’aube par rapport à une configuration sans talons. La présence de ces talons sur les aubes de turbine peut néanmoins comporter certains risques vibratoires. En particulier, l’usure des zones de contact en tête d’aube a pour conséquence de réduire l’amortissement mécanique induit par le contact, conduisant à de grandes amplitudes de vibration.
Les roulements. Pour un grand nombre de machines tournantes, on utilise des
paliers hydrodynamiques. Cependant, pour les moteurs aéronautiques, les paliers doivent être de faible encombrement et capables de supporter d’importantes charges non seulement radiales mais aussi axiales, et ce même à des vitesses de rotation quasi-nulles. Cela justifie donc l’utilisation de roulements. Ces éléments sont des pièces majeures puisqu’ils assurent les liaisons entre rotor et stator et les liaisons inter-rotor. Étant donné que les roulements sont soumis lors de leur fonctionnement à des gradients thermiques, un jeu interne est nécessaire pour éviter des compres-sions importantes des billes ou rouleaux et, par conséquent, une fatigue prématurée. Ils possèdent donc une non-linéarité inhérente. Lorsque ce jeu est consommé, il y a apparition de zones de contact ce qui enrichit le spectre de la réponse et modi-fie la forme des résonances. De plus, les roulements comportent un nombre fini de corps roulants, des billes ou des rouleaux, qui engendrent une variation périodique de la raideur de la liaison. Cette variation périodique de raideur entraîne une excita-tion paramétrique pouvant être source d’instabilité. Les vibraexcita-tions de cette nature sont généralement complexes mais d’assez faibles amplitudes [Tiwari et al., 2000a]. Ces vibrations ne détériorent pas l’ensemble de la machine mais peuvent provoquer l’endommagement des roulements eux-mêmes.