III.1. Présentation générale
- la situation 1 a pour objectif l’enseignement de touches, de la calculatrice CASIO fx-570MS (en vigueur dans EMS), hors du programme de EMS au Viêt-nam. - les situations 2, 3 et 4 sont générées par le choix de valeurs de variables du
problème fondamental.
Nous schématisons notre ingénierie dans la figure 2, en représentant en grisé les variables didactiques dont les valeurs changent pour générer les problèmes particuliers posés dans chacune des situations.
Figure 2. Schéma de l’ingénierie didactique
• L’enjeu de la situation 2 est le fonctionnement de stratégies algébriques institutionnellement fortes.
• L’enjeu de la situation 3 est de faire émerger des problématiques d’approximation en réponse au problème fondamental en particulier de faire apparaître la problématique d’ « approximation f(x) » comme alternative optimale à la problématique d’ « approximation x ».
• L’enjeu de la situation 4 est de mettre en place une formalisation topologique de la notion de limite s’appuyant sur un raisonnement par condition suffisante.
III.2. Conditions de l’expérimentation de l’ingénierie
Nous avons expérimenté l’ensemble de l’ingénierie didactique dans une classe 12 (Terminale) du Lycée de l’Université de Pédagogie de Ho Chi Minh Ville, comportant 38 élèves, pendant trois séances.
Nous présentons dans le tableau 6 la durée de chacune des séances ainsi que le jour de leur réalisation.
Séance 1 Séance 2 Séance3
10 octobre 2006 12 octobre 2006 13 octobre 2006
20 minutes 1 heure 30 1heure
Tableau 6. Durée et date de chacune des trois séances de l’ingénierie
Lors de l’expérimentation, chacun des 38 élèves de la classe disposait d’une calculatrice CASIO fx-570MS. Calculer n couples (x ; A(x)) 1) tous et ε = 10 -5 2) tous et ε = 10-12 Situation 1
Situation 2 Situation 3 Situation 4
1) ε = 0 ⇒ n = 0 2) n = 3 et ε = 10-2
Calculer [tous/ n] couples (x ; f(x)) tel que f(x) ∈ B(1, ε )
Calcul instrumenté Problème fondamental
1) n= 1 et A(x) 2) n = 10 et A(x) 3) n = 5 et B(x)
n = 1 et
Le Thai Bao Thien Trung est l’enseignant pendant les trois séances9.
Le tableau 7 présente le découpage en situations didactiques des trois séances.
Séance 1 Séance 2 Séance 3
Situation 1 Situations 2 et 3 Situation 4
Tableau 7. Découpage en situations didactiques des trois séances de l’ingénierie
Nous allons maintenant entrer dans les situations construites de l’ingénierie didactique en justifiant de plus près les choix issus du travail de leur conception et les conséquences prévues de ces choix sur les réponses et les stratégies (analyse a priori).
Puis nous présenterons ce qui s’est passé dans la classe observée dans une analyse a posteriori.
Ces analyses a posteriori s’appuient sur les données suivantes :
- dans toutes les séances : les fiches de réponses des élèves et leurs brouillons10
- dans les séances 2 et 3 :
o Les enregistrements audio et vidéo des élèves ;
o Les enregistrements vidéo de l’enseignant11, en particulier de ce qu’il écrit au tableau.
9 Nous remercions ici messieurs, Nguyen Thai Hoa – enseignant de mathématique, Nguyen Huu Tam – enseignant de physique, madame Ho Thi My Van – enseignante d’anglais de la classe 12 A1 et leurs élèves de nous avoir accueillis.
10 Nous remercions Le Thi Nga et Tang Minh Dung qui ont distribué et ramassé les nombreuses fiches des trois séances et qui ont eu à gérer les enregistrements audio.
Chapitre C1
Instrumentation du calcul par la calculatrice Casio fx-570MS
Première partie
Analyse a priori de la situation 1
Déroulement (20 minutes) 1. Phase 1
• La fiche « Séance 1, Phase 1 » est distribuée aux élèves :
Consigne.
Vous devez calculer avec la calculatrice en n’appuyant qu’une seule fois sur la touche « = » : apparaît alors une seule ligne de calcul à l’écran de la calculatrice »
Calculer 1 1 2 2 2 + + + x x x
pour x = 3,1 (vous avez 2 minutes) Résultat : ………...
• Les élèves travaillent individuellement. Au bout de 2 minutes, les réponses sont ramassées.
• L’enseignant projette la réponse correcte à l’aide d’une table de rétro-projection : (3,12 + 2x3,1 + 1) ÷ (3,12 + 1) = 1,584354383
2. Phase 2
• L’enseignant distribue la fiche « Séance 1, Phase 2 » :
Consigne. Complétez le tableau suivant à l’aide de calculatrice. Vous avez 5 minutes.
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4 Valeur de 1 1 2 2 2 + + + x x x Valeur de x 0,9 4,50 2006 19,8 541,7 Valeur de 1 1 2 2 2 + + + x x x
• Les élèves travaillent individuellement. Au bout de 5 minutes exactement, les réponses sont ramassées
• L’enseignant demande à l’un des élèves qui a rempli le plus vite toutes les cases de dicter à l’enseignant son programme en acte final (notion introduite par Nguyen 20051) : cette manipulation est rendu visible à tous à l’aide de la tablette de rétro-projection.
1 […] la succession des touches effectivement appuyées pour un calcul, que nous appellerons « programme en acte ». (Nguyen 2005, p. 146)
L’hypothèse est que la rapidité pour remplir un tableau de 10 cases repose sur des connaissances sur les touches mémoire de la calculatrice pour économiser des manipulations.
• Pour remplir et corriger le tableau, l’enseignant institutionnalise les manipulations proposées par l’élève par une manipulation collective, accompagnée d’un discours technologique sur un algorithme de calcul utilisant les touches ALPHA, X, CALC. L’enseignant accompagne les manipulations des élèves sur la table de rétro-projection.
1. Éditer 1 1 2 2 2 + + + x x x
dans la calculatrice : écrire l’expression en ligne où la lettre X est introduite à l’écran par la suite de touches ALPHA X. Commentaire : « X est une mémoire qui a ici un statut de variable mathématique. On aurait pu aussi utiliser A, B ou C... Apparaît dans l’éditeur de la calculatrice : (X2+2X+1)÷(X2+1). 2. Appuyer sur la touche CALC. Apparaît dans l’éditeur de la calculatrice : X ?, la
valeur tapée ou 0 (dans le cas du premier calcul). 3. Taper la valeur 3,1 puis appuyer sur la touche = .
4. Appuyer sur la touche CALC : apparaît dans l’éditeur de la calculatrice : X ? et la valeur 3,1.
5. Taper la valeur 2,6, puis appuyer sur la touche = .
Continuer ainsi pour toutes les valeurs x du tableau, en répétant 2. et 3.
Les touches ALPHA, X (ou autres touches mémoires A, B, C, D, E, F, Y, M), CALC sont donc enseignées pour des raisons d’économie et de rapidité du calcul dans la manipulation de la calculatrice.
3. Phase 3
• On distribue la fiche « Séance 1, Phase 3» :
Consigne. Complétez le tableau suivant à l’aide de la calculatrice. Vous avez 5 minutes.
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4 Valeur de 1 1 2 2 2 + + + x x x
Après avoir rempli le tableau ne pas éteindre votre calculatrice, pour pouvoir corriger d’éventuelles erreurs sans tout recommencer.
• Au bout de 5 minutes environ, l’enseignant rappelle aux élèves qu’il ne faut pas éteindre leur calculatrice puis il ramasse les réponses.
• L’enseignant affiche le tableau « sans erreurs ».
• Puis il demande à un élève qui a fait un tableau contenant des erreurs dans toutes les cases, comment il ferait pour retrouver son erreur et la corriger.
S’il ne sait pas, l’enseignant pose la même question à l’ensemble de la classe.
• L’enseignant institutionnalise l’usage des touches COPY et INSERT pour corriger d’éventuelles erreurs.
Cet usage est élargi par l’enseignant : ces touches peuvent aussi servir à remplacer une expression numérique par une expression littérale.