IV.1. Choix micro-didactiques
L’expression à calculer B(x) = 1 1 2 2 2 + + + x x x
diffère de celle de la phase précédente par la présence d’un radical : pour un nombre rationnel x, le calcul exacte de B(x) ne donne pas forcément un rationnel. Avec les valeurs x choisies, leurs images B(x) sont toujours
irrationnels, les nombres sous les racines carrées 4,2 ; 3,6 ;
9 ,
9 ; 123,5 ; 72,4n’étant pas des carrés parfaits. Ce choix permet de :
- mettre les résultats du calcul hors de portée de l’affichage sous forme fractionnaire de la calculatrice (PAF) ; il vise donc à recueillir le maximum d’informations pour vérifier l’hypothèse du non-respect de la règle de l’arrondi de résultat décimal d’un calcul approché dans les calculs instrumentés par la calculatrice.
- favoriser l’apparition d’erreurs dues aux transformations d’écritures dans le passage de l’écriture algébrique à l’écriture pour la calculatrice : en particulier pour entrer
1 +
x sur la calculatrice, il faut taper √(X+1).
Remarque : « (X2+2√(X+1) ÷(X2 + 1) » est accepté et compris par la calculatrice comme « X2+2√(X+1) ÷ (X2 + 1) », c’est à dire
1 1 2 2 2 + + + x x x .
Dans cette dernière phase, nous retrouvons une série de 5 calculs assez semblables aux 10 calculs de la phase 2, en particulier les valeurs de x sont les mêmes que les 5 premières valeurs de la phase 2. Cette ressemblance vise à favoriser l’usage des touches ALPHA, X, CALC institutionnalisées dans la phase précédente.
VI.2. Réponses possibles
Les observables sont les nombres dans le remplissage des cases. Nous donnons ci-après les différents cas possibles avec l’hypothèse que quand il y a erreur, elle est systématique.
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4 Valeur de 1 1 2 2 2 + + + x x x 1,287435565 1,36014603 1,065987447 1,00141439 1,003141354
Tableau 5. Nombres sans erreurs
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4 Valeur de 1 1 2 2 2 + + + x x x 9,991686272 7,249012009 79,28845472 15006,25148 5097,963337
Tableau 6. Nombres avec « transformation de l’écriture pour le radical » mais oubli de fermeture de la parenthèse Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4 Valeur de 1 1 2 2 2 + + + x x x 1,331890987 1,415580296 1,074386904 1,001475017 1,003314343
Chapitre C1
Deuxième partie
Analyse a posteriori de la situation 1
I. Phase 1. Connaissances instrumentales des parenthèses
Tous les élèves de la classe observée ont utilisé la calculatriceTous les élèves sauf 1 (oubli d’une parenthèse pour le numérateur) semblent maîtriser l’usage des parenthèses.
Types des nombres dans les réponses « sans erreur » de mise entre parenthèses :
Types des nombres Décimaux Fraction 1061 1681 « Egalité : décimal = fraction » 1,584354383 = 1061 1681 , 1,584 = 1061 1681 et 1,5844 = 1061 1681 Fraction mixte 1061 620 1 Total 21 11 5 0 37
Tableau 8. Types des nombres présents
Les réponses par des nombres décimaux apparaissent le plus souvent (21 élèves sur 37). Rappelons que nous n’avons donné aucune consigne sur le calcul. Le calcul instrumenté par la calculatrice est donc pour plus de la moitié des élèves un « calcul approché ».
Le tableau 2 ci-dessus présente les 21 réponses décimales selon l’appartenance à Dn, n chiffres après la virgule (n ≤ 9) :
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Affichage calculatrice
Total
0 3 7 2 2 2 0 0 5 21
Tableau 9. Réponses par décimal Dn
La distinction entre la troncature ou l’arrondi du nombre décimal affiché par la calculatrice « 1,584354383 » (D9) n’est observable que dans les réponses dans D1 (1,5 ou 1,6), D4 (1,5843 ou 1,5844) et D7 (1,5843543 ou 1,5843544).
La majorité des réponses décimales appartient à D3 (7 sur 21) et D9 (5 sur 21). Dans les deux réponses D4, l’une est une troncature (1,5843), mais l’autre est un arrondi (1,5844). Nous ne pouvons donc pas conclure sur les taux des réponses par arrondi ou troncature. Pour les nombres décimaux arrondis ou tronqués, le signe « ≈ » apparaît 4 fois (sur 16). Par exemple, « ≈ 1,58435 ». Le décimal écrit (par l’élève) est-il une valeur approchée du nombre décimal affiché par la calculatrice (1,584354383) ou celle du résultat du calcul en question ?
16 réponses sur 37 (11 en fraction, 5 en « égalité : décimal = fraction ») s’appuient sur l’usage de la touche d/c pour un résultat « exact » en fraction. La fraction
1061 1681
est-elle une valeur exacte pour les élèves ? Où et comment les élèves ont-ils eu l’occasion
d’apprendre l’usage de la touche d/c pour passer de l’affichage en décimal à celui en fraction ?
Dans le guide d’usage de la calculatrice du Département de l’Enseignement Secondaire du Ministère de l’Education et de la Formation, on peut lire page 13 :
Extrait original Traduction en français
•••• Passage fraction ↔↔↔↔ décimal
• Exemple 1 : […] (décimal → fraction) Appui […]
[…]
• Exemple 2 : […] (fraction → décimal) […]
De plus, dans un autre exemple, après avoir exécuté un programme de résolution du système de deux équations du premier degré, les rédacteurs de ce guide prescrivent :
[…]
Nous obtenons le résultat x = 0.0625, appuyons successivement sur SHIFT ab/c [la touche d/c] La calculatrice affiche
16 1
, on a donc a2 = 16 ou a = 4 De même : b = 3 (p.75)
Ces deux extraits attestent d’attentes institutionnelles privilégiant dans les calculs la donnée d’une fraction, plutôt que celles d’un nombre décimal. Dans les exemples cités, il y a toujours égalité entre la fraction et le nombre décimal affiché ou fourni : on peut en déduire que sous une forme ou une autre il y a bien égalité pour les élèves entre 1,584354383 et
1061 1681
.
Avec la réponse par « égalité », 5 élèves (sur 38) montrent le maximum de ce qu’ils savent faire avec la calculatrice. Examinons ces cas :
égalité 1 égalité 2 égalité 3
1,584354383 = 1061 1681 ≈ 1,5844 = 1061 1681 1,584 = 1061 1681 Total 3 1 1 5
Tableau 10. Réponses par « égalité »
3 réponses (sur 5) en égalité 1 renforcent notre conjecture sur l’égalité 1,584354383 = 1061
1681
. Dans les deux autres cas, le signe « = » ne porte pas le sens d’égalité, mais celui d’un autre mode d’affichage de la calculatrice.
L’absence de la réponse en fraction mixte montre que l’écriture en fraction mixte n’est pas une attente de l’institution vietnamienne.
II. Phase 2. Enseignement de touches ALPHA, X (statut de variable
mathématique), et CALC
10 élèves sur 38 remplissent entièrement le tableau : on en déduit que plus d’un quart des élèves connaissent les touches mémoires et leur usage.
L’enseignant1 demande à celui qui a fini le plus vite parmi les 10 élèves (élève codé 35) d’exposer sa manipulation de la calculatrice en la dictant à l’enseignant qui l’exécute sur la tablette de rétro-projection : comme prévu, cet élève utilise les touches ALPHA, X et CALC.
Quelles occasions a-t-on au lycée d’apprendre les touches mémoires et leur usage ? Dans le guide du Département de l’Enseignement Secondaire, les touches ALPHA, X (ou A, B, C… comme variable mathématique et non comme variable informatique2) et CALC sont présentées à la page 38.
[…] statut de « variable mathématique » : une mémoire contient un seul nombre durant tout le calcul. (Nguyen 2005, p. 166)
Précisons que l’on change de calcul effectif quand on change la valeur de x : par exemple un premier calcul devient effectif quand on édite
1 1 2 2 2 + + + x x x en tapant ALPHA, X, en terminant par l’appui sur la touche CALC puis, qu’en réponse à l’affichage « X ? » on tape une valeur par exemple « 3,1 » (voir algorithme enseigné).
Le guide illustre ensuite plusieurs fois cet usage des touches dans des exemples de résolution d’exercices de EMS (classes 10, 11 et 12).
Par exemple (pp. 60-61) :
1 LE THAI BAO Thien Trung
2 […] une variable informatique est une mémoire effaçable désignée pour recevoir des valeurs successives. (Nguyen 2005, p. 92)
Extrait original Traduction en français
Exemple 1 : Compléter le tableau de valeurs ci- dessus de la fonction y = - 3x +2
[…] Solution
Editer sur l’écran Y = -3X + 2 et appuyer sur CALC
La machine demande X ? Appuyer sur (-) 5.3 = Résultat Y = 17.9
Appuyer ensuite sur CALC La machine demande X ? […] […]
On obtient le tableau des résultats
[….]
Dans l’extrait supra, les rédacteurs semblent respecter une règle implicite :
- dans les cas de valeurs rationnelles de X écrites sous forme non décimale, effectuer le passage à l’affichage en fraction ;
- dans les cas de rationnels écrits sous forme décimale ou de non rationnels, ne pas effectuer le passage à l’affichage en fraction.
Le passage de l’affichage en décimal à celui en fraction dans les cas où x ∈ PAF
Décimaux ou fractions ? Effectifs
Réponse par nombres décimaux pour tous les cas 19
Réponse par fractions pour les x ∈ PAF 18
Aucun cas rempli 1
Total 38
Tableau 11. Passage de l’affichage en décimal à celui en fraction
Le nombre des réponses sans passage à l’affichage en fraction et celui avec passage sont quasiment égaux : 19 contre 18. Tous les nombres étant donnés sous forme décimale, la règle implicite du guide du Département de l’Enseignement Secondaire ne peut donc pas être respectée. Certains élèves (18 sur 38) vont donc respecter une autre règle : « écrire une fraction toutes les fois où c’est possible »
Nous donnons dans le tableau 8 les réponses décimales obtenues par recopie du décimal affiché par la calculatrice ou par troncature ou arrondi de ce nombre.
Réponses décimales Effectifs
Affichage de la calculatrice 12
Décimal tronqué 14
Décimal arrondi 5
Décimal arrondi ou tronqué non distinguable 6
Aucun cas rempli par décimal 2
Total 38
Tableau 12. Nombres décimaux écrits à partir de l’affichage de la calculatrice (phase 2)
Le nombre des réponses par décimal tronqué à partir de celui affiché sur l’écran de la calculatrice est majoritaire (14 réponses contre 5 par arrondi). Nous faisons donc l’hypothèse que :
Dans le calcul instrumenté par la calculatrice, l’élève a le droit de ne pas respecter la règle de l’arrondi de résultat décimal.
Or, pour le calcul dit approché, la règle de l’arrondi d’un résultat décimal fait l’objet d’un enseignement : il est présenté à la page 133 du manuel Algèbre 10 (2003) comme suit :
La règle de l’arrondi des nombres est la suivante :
a) Si le premier chiffre abandonné est inférieur à 5, on garde toute la première partie.
b) Si le premier chiffre abandonné est supérieur ou égal à 5, on ajoute 1 au dernier chiffre de la première partie.
Dans 6 réponses, le passage de l’affichage en décimal à celui en fraction dans certains des cas où x ∈ PAF masque une partie des informations sur la troncature ou l’arrondi. Par exemple :
Le choix de répondre dans D4 pour x = 122,5 et dans D3 pour x = 71,4 évite l’usage de la règle de l’arrondi : ce phénomène d’évitement apparaîtra systématiquement dans la phase 3 chez un autre élève. On peut penser aussi que les 6 élèves ayant proposé un décimal tronqué non distinguable du décimal arrondi sont dans le même cas.
La limitation du temps associé à l’augmentation du nombre de calculs augmente le nombre des réponses par décimal affiché sur l’écran de la calculatrice : 12 réponses contre 5 durant la phase 1.
III. Phase 3. Renforcement de l’instrumentation des touches ALPHA, X
et CALC – Introduction des touches COPY et INSERT
37 sur 38 élèves remplissent toutes les cases du tableau : l’usage des touches ALPHA, X et CALC pour les 5 calculs explique cette réussite.
Réponses Effectifs
Sans erreurs 32
« transformation de l’écriture pour le radical » mais
oubli de fermeture de la parenthèse 1
« pas de transformation de l’écriture pour le radical » 4 Erreurs
Autre 1
Total 38
La majorité des élèves (32 sur 38) transforme correctement l’écriture algébrique en un programme en acte (sachant que « (X2+2√(X+1) ÷(X2 + 1) » est accepté et compris par la calculatrice comme « (X2+2√(X+1)) ÷ (X2 + 1) »).
Cependant, le choix de la présence d’un radical dans l’expression augmente les erreurs sur l’usage des parenthèses : 5 élèves contre 1 seul dans de la phase 1. L’introduction des touches COPY et INSERT s’appuie sur l’une de 6 réponses « erronées ».
L’enseignant demande à un élève qui a fini le plus vite d’exposer sa manipulation de la calculatrice en la dictant à l’enseignant qui l’exécute sur la tablette de rétro-projection : cet élève n’utilise pas les touches COPY et INSERT pour modifier l’expression de la phase 2, il se contente de réécrire l’expression. La combinaison des touches COPY et INSERT pour rectifier une expression éditée est inconnue pour l’ensemble de la classe. On peut expliquer cette absence de connaissances instrumentales par l’absence d’occasion de les apprendre : il n’est fait aucune mention de ces touches dans la partie « résolution des problèmes des manuels secondaires » du guide du Département de l’Enseignement Secondaire (2005).
L’autre réponse erronée est la suivante :
L’élève codé 33 ne commet pas d’erreur sur l’usage des parenthèses. Voici un programme en acte explicatif : (X2+2√(X2 +1)) ÷(X2 + 1), ce programme en acte produisant sa réponse : Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4 Valeur de 1 1 2 2 2 2 + + + x x x 1,519754853 1,589092179 1,210846617 1,016259352 1,027812339
Tableau 14. Affichages produits par le programme en acte explicatif de la réponse de l’élève 33
A partir du tableau 13, nous voyons que l’élève 33 tronque systématiquement (1,519) les nombres affichés sur l’écran de la calculatrice.
Nous donnons dans le tableau 14 les réponses décimales obtenues par recopie du décimal affiché par la calculatrice ou par troncature ou arrondi de ce nombre.
Réponses décimales Effectifs
Affichage de la calculatrice 12
Décimal tronqué 20
Décimal arrondi 6
Total 38
Tableau 15. Nombres décimaux écrits à partir de l’affichage de la calculatrice (phase 3)
Le nombre des réponses par décimal affiché sur l’écran de la calculatrice est stable par rapport à celui de la phase 2.
L’augmentation des réponses par décimal tronqué à partir de l’affichage de la calculatrice (20 sur 38) valide notre hypothèse : plus de la moitié des élèves de la classe observée ne respecte pas la règle de l’arrondi de résultat décimal enseignée pour le calcul approché. Remarquons que dans l’enseignement de la physique au lycée la troncature est privilégiée dans le calcul approché instrumenté par la calculatrice. On peut penser que cette pratique institutionnelle hors des mathématiques explique ce comportement majoritaire.
Une réponse montre même comment un élève évite l’usage de la règle sur l’arrondi :
Cet élève se place systématiquement dans un Dn où la règle de l’arrondi se ramène à la troncature : D4 pour x = 3,1 et 2,6 ; D7 pour x = 8,9 ; D6 pour x = 122,5 et 71,4. Les ratures dans le remplissage du premier cas montre qu’après avoir hésité entre deux nombres de D5 (1,28743 ou 1,28744), il se place dans D4 pour pouvoir répondre 1,2874 par troncature de 1,287435565. Ce phénomène est contradictoirement un observable de la connaissance d’une règle que l’on doit respecter.
Conclusion de la situation 1
Cette première situation est révélatrice du rapport institutionnel à la calculatrice dans les calculs effectifs :
- Une majorité d’élèves sait manipuler la touche d/c pour passer de l’affichage en décimal à celui en fraction quand c’est possible. Cette manipulation place le résultat du calcul instrumenté dans la structure algébrique Q, c’est-à-dire dans un contrat algébrique.
- La variabilité des pratiques observées pour donner, dans le calcul instrumenté, un résultat décimal à partir de l’affichage de la calculatrice montre qu’il n’y a pas de contrat institutionnel bien installé pour ce calcul « approché » : soit les élèves recopient le nombre décimal affiché, soit ils le tronquent (majoritairement). Certains élèves vont même choisir un Dn en fonction du nombre affiché pour éviter
l’usage de la règle d’arrondi enseigné dans la classe de mathématiques.
- Peu d’élèves (dans la classe observée) ont des connaissances sur l’usage des mémoires comme variable mathématique (touches ALPHA, X, CALC). Ceci confirme les résultats trouvés par Nguyen (2005).
Dans l’institution vietnamienne, la moitié des élèves sortant du collège (en classe 2nd) utilise la mémoire alors que très peu d’élèves en classe de 1er l’utilisent. Le vide didactique affectant les tâches de calculs instrumentés repéré dans le chapitre C3 [analyse institutionnelle] semble avoir pour conséquence d’effacer les quelques connaissances instrumentales acquises au collège. (Op. cité, p. 150)
- Aucun élève n’utilise la combinaison des touches COPY et INSERT pour rectifier des erreurs d’édition, mais réécrivent le résultat.
On peut donc conclure que l’usage institutionnel de la calculatrice, dans la classe de mathématiques au Lycée, renforce le contrat algébrique du calcul, le calcul approché obéissant à des règles implicites ou explicites instables.
Nous avons donc expérimenté un enseignement sur des connaissances instrumentales concernant les mémoires comme variable mathématique et la combinaison des touches COPY et INSERT pour la rectification d’une expression déjà éditée.
Cette première situation permet d’envisager, dans la séance 2 de l’ingénierie didactique, la présence de calculs instrumentés par la calculatrice. Elle organise aussi la mise en place d’un milieu matériel (offert par certains affichages de la calculatrice) en réponse aux actions de calcul de l’élève.
Chapitre C2
Mise à l’épreuve des stratégies algébriques
institutionnellement fortes
Première partie
Analyse a priori de la situation 2.
Déroulement (30 minutes) 1. Phase 1
• Au début de la séance 2, l’expression donnant la fonction f est écrite au tableau et s’y maintient durant toute la séance :
Soit f la fonction définie par
3 , 0 7 , 0 21 , 0 1 , 0 2 ) ( 22 − + − + = x x x x x f .
• La feuille « Question 1 » (format A4) est distribuée aux élèves :
Question 1. Résoudre l’équation f(x) = 1. Brouillon
• Les élèves travaillent individuellement. Au bout de 7 minutes les réponses sont ramassées.
• L’enseignant conclut avec les élèves la phase 1 en écrivant au tableau : Df = R \{- 1 ; 0,3}
Il n’existe aucune valeur de x telle que f(x) soit égale à 1. 2. Phase 2
• La feuille « Question 2 » (format A4) est distribuée aux élèves :
Question 2. Donner trois valeurs de x telles que f(x)
appartienne à [0,99 ; 1,01]. Brouillon
• Les élèves travaillent individuellement. Au bout de 15 minutes les réponses sont ramassées.