2.2 Théorie de l'analyse modale à partir de la mesure de déformations
2.2.2 Relation déformations-déplacements
Les formes propres théoriques sont déterminées à partir de l'équation suivante :
wn(θ) = cos(nθ + φ) (2.3)
avec θ l'angle autour de l'axe OO0 et φ qui est déterminé à partir des conditions ini-
tiales de l'anneau. Dans l'équation 2.3, n peut seulement prendre les valeurs 2, 3, 4,... En eet, n ne peut pas prendre la valeur 1 car cela correspondrait à une oscillation rigide de l'anneau sans modi cations de la forme de celui-ci [48].
L'objectif de la méthode proposée dans ce chapitre est de déterminer les déformations propres (Ψ) d'une structure, plus couramment appelé Strain Mode Shape. Les défor- mations propres sont l'équivalent des formes propres (couramment appelé Mode Shape)
mais appliquées aux déformations. En se basant sur la théorie des poutres, on peut déterminer la déformation comme étant la dérivée seconde du déplacement multipliée par la demi épaisseur de la poutre (voir annexe C pour la démonstration) soit :
(x, t) = h 2
∂2w(x, t)
∂x2 . (2.4)
La gure 2.2 illustre la diérence entre les formes propres (représentées en noir) et les déformations propres (représentées en rouge) pour une poutre en porte-à-faux. Elle montre notamment que les n÷uds ne sont pas situés au mêmes endroits pour la forme propre et pour la déformation propre correspondante.
D´eformations propres Formes propres
Mode 1
Mode 2
Figure 2.2 Illustration de la diérence entre les déformations propres et les formes propres d'une poutre en porte-à-faux.
En normalisant et en dérivant deux fois l'équation 2.3, les déformations propres théoriques d'un anneau sont obtenues :
n(θ) = − cos(nθ + φ). (2.5)
Ces résultats théoriques seront utilisés pour valider les modes propres (déformations et fréquences propres) estimés à partir de simulations numériques à la section 2.3 et expérimentalement à la section 2.4.
2.2 Théorie de l'analyse modale à partir de la
mesure de déformations
La méthode proposée pour déterminer les déformations propres d'une structure re- pose sur le fait que les coordonnées modales d'une structure sont théoriquement or- thogonales entre elles. Ainsi, la corrélation entre deux coordonnées modales diérentes l'une de l'autre est théoriquement nulle. Cette propriété, fondamentale pour la démons- tration, est décrite dans la section 2.2.1. Ensuite, l'approche générale de la méthode proposée est présentée en débutant avec la relation entre les déformations et les dé- placements d'une structure (section 2.2.2). Cette relation permet ensuite d'exprimer les coordonnées modales de la structure en fonction des déformations propres de celle- ci à la section 2.2.3. Finalement, la section 2.2.4 démontre comment les déformations propres de la structure sont déterminées à partir de la corrélation entre les déformations temporelles en utilisant la propriété d'orthogonalité entre les coordonnées modales.
2.2.1 Orthogonalité et corrélation des coordonnées modales
L'approche proposée par Sumali [47] est basée sur le fait que la corrélation entre les signaux de deux coordonnées modales diérentes l'une de l'autre est égale à 0. En analyse modale, les coordonnées modales d'une structure sont toujours orthogonales entre elles [48]. Mathématiquement, la corrélation entre deux modes ηi(t) et ηj(t) est
dé nie comme suit [58] :
Rij = E[ηi(T )ηj(T )] = lim T →∞ 1 T Z T t=0 ηi(t)ηj(t)dt (2.6)
avec E[.] l'espérance mathématique et t le temps. Selon la propriété d'orthogonalité, Rij = 0 dans le cas où i 6= j (2.7)
et
Rij 6= 0 dans le cas où i = j (2.8)
Ainsi, la corrélation entre les deux coordonnées modales ηi(t) et ηj(t) converge vers 0
A n d'illustrer et de bien comprendre cette propriété, les trois coordonnées modales temporelles d'un système masse-ressort à trois degrés de liberté sont calculées. La - gure 2.3 présente ce système où les trois masses (M1, M2 et M3,) sont reliées par des
ressorts de raideur K.
M1 M2 M3
K K
K
x1 x2 x3
Figure 2.3 Système masse-ressort à trois degrés de liberté.
Par modélisation du système, on obtient l'équation diérentielle matricielle régissant les déplacements xi des masses Mi.
M1 0 0 0 M2 0 0 0 M3 .. x1(t) .. x2(t) .. x3(t) + 2 K −K 0 −K 2 K −K 0 −K K x1(t) x2(t) x3(t) = f1(t) f2(t) f3(t) (2.9) où f1(t),représente la force généralisée pour le ieme mode.
L'équation 2.9 est ensuite transformée dans le domaine modal en découplant l'équa- tion diérentielle matricielle grâce à la matrice modale (c'est à dire en diagonalisant le système d'équations). On obtient alors trois équations diérentielles découplées en fonction des coordonnées modales ηi soit :
..
ηi(t) + ωi2ηi(t) = Qi(t) (2.10)
La gure2.4 illustre, pour une excitation quelconque, les réponses η1(t)en (a), η3(t)
en (b) et compare les corrélations E[η1(t)η3(t)] et E[η1(t)η1(t)] en (c) en fonction du
temps. On observe que la corrélation entre deux coordonnées modales diérentes tend vers 0 lorsque le nombre d'échantillons augmente. A l'inverse, la corrélation entre deux coordonnées modales identiques ne converge pas vers une valeur nulle.
Figure 2.4 Réponse temporelle des coordonnées modales du mode 1 (a) et du mode 3 (b) pour un système composée de trois masses liées par des ressorts. Elles sont ensuite multipliées entre elles puis la corrélation (espérance) est ensuite calculé (c). La corréla- tion des modes propres converge vers 0 si et seulement si les coordonnées modales sont diérentes l'une de l'autre.
A n de faciliter la compréhension, il peut être utile d'écrire les termes Rij (voir
équation 2.6) sous forme matricielle, soit :
R = R11 0 ... Rij ... 0 RM M (2.11) où les termes de la matrice R sont calculées à partir de l'équation2.6 avec i=1,...,M et j=1,...,M. R est donc une matrice qui tend vers une matrice diagonale pour un nombre d'échantillons croissant.
2.2.2 Relation déformations-déplacements
Considérons la poutre représentée à la gure2.5 où w(x, t) représente la position de la poutre au point x et l'instant t.
L
w(x, t) x
y
Figure 2.5 Représentation d'une poutre de longueur L en exion.
Avec la décomposition modale, la forme d'une structure peut être approximée comme étant la somme nie des formes propres pondérées par leurs coordonnées modales. Mathématiquement, on a : w(x, t) = N X i=1 Φi(x)ηi(t) (2.12)
où Φi(x)représente la forme propre du i-ème mode, ηi(t) est la i-ème coordonnée mo-
dale et N représente le mode le plus élevé considéré.
Rappelons que la déformation s'exprime avec la dérivée seconde du déplacement mul- tipliée par la demi-épaisseur de la poutre soit :
(x, t) = h 2
∂2w(x, t)
∂x2 (2.13)
où h est l'épaisseur de la poutre étudiée et (x, t) la déformation du système à l'endroit x et à l'instant t.