Présentation du code

Nous disposons ici d’un code cinétique [13], unidimensionnel, non-collisionnel, et non-relativiste pour simuler l’expansion d’une feuille de plasma dans un vide. Ce code numérique a été utilisé pour mettre en évidence l’accélération de l’onde de raréfaction, résultant de la déformation de la fonction de distribution initiale des électrons, lors de l’expansion d’un plasma dans le vide [14].

La dynamique des électrons, avec une fonction de distributionfe(x, ve, t), est décrite par l’équation de Vlasov. Cette dernière s’écrit sous la forme :

∂fe

∂t +ve

∂fe

∂x + m me

∂ϕ

∂x

∂fe

∂ve

= 0 (7.1)

oùm_eest la masse des électrons, etv_ela vitesse d’un électron. Nous avons gardé la même notation qu’aux chapitres précédents :φ(x, t) =m ϕ/eest le potentiel électrostatique du

plasma, et m = mi/Z. D’autre part les ions, de vitessev, sont considérés comme des macro-particules ; ainsi leur dynamique est gouvernée par l’équation du mouvement,

dv

Enfin, le potentiel électrostatique satisfait à l’équation de Poisson :

∂²ϕ

Une façon de résoudre l’équation de Vlasov est de trouver un invariant adiabatique du mouvement des électrons du système [61]. En effet, la connaissance d’un invariant peut être très utile pour prédire le mouvement d’une particule. Afin de construire cet invariant, on procède d’abord à une séparation d’échelles caractéristiques de temps. Celle-ci est possible du fait de la petitesse du rapport entre le temps caractéristique de variation du potentiel électrostatiquetφ=|∂tφ/φ|⁻¹et la période de transit d’un électron à l’intérieur du puits de potentielΓ =H _dx

√E+eφ,

Γ/tφ≪1 (7.6)

où E(t) est l’énergie totale d’un électron. La démarche mathématique aboutissant à ce résultant est présentée en détail dans le papier de Grismayeret al.[13]. Ainsi l’invariant adiabatique du mouvement s’écrit :

I(E, t) = I

pdx (7.7)

oùp=meveest la quantité de mouvement d’un électron. Ensuite, on réécrit la fonction de distribution sous la formef_e[I(E, t)]de sorte que l’équation de Vlasov devient :

∂fe

∂t −e∂φ

∂t

∂fe

∂E = 0 (7.8)

Pour résoudre cette équation, on fait appel à la méthode des caractéristiques. Premièrement, on calcule le taux de variation moyen de l’énergie sur une période. Il est donné par :

dE

Deuxièmement, on se donne une fonction de distribution en vitesses des électrons, à l’instant initial. On procède ensuite à une discrétisation de cette dernière en un certain nombre de points (inférieur à100) comme le montre la figure7.1. Connaissant l’énergiev_j²(0)et la valeur defj(0)d’un électronj à l’instantt= 0, on peut numériquement estimer la variation de l’énergie de l’électronjà l’instanttgrâce à la relation (7.9). Puis, on utilise une propriété de l’équation de Vlasov selon laquelle la fonction de distributionf_j est conservée le long de la trajectoire de toute particule libre dans l’espace des phases (x-v), pour reconstituer point par point la fonction de distributionfeà l’instantt, et par conséquent obtenir toutes les grandeurs du plasma.

La normalisation de ce code est identique à celle utilisée dans le chapitre précédent ; toutes les grandeurs du plasma sont normalisées par rapport aux paramètres initiaux des électrons chauds. Le pas de la discrétisation temporelle est gouverné par la dynamique des ions. Pour assurer la stabilité du code, il est choisi tel que∆t = 0.2/max(ωpih, ωpic), où ω_pih= (n_hue²/mǫ₀)^1/2etω_pic = (n_cue²/mǫ₀)^1/2.

7.1.1 Conditions initiales

Nous considérons ici l’expansion d’un plasma de taille finie, avec une longueur initiale L. Pour le reste, les conditions initiales du plasma sont identiques à celles utilisées au chapitre précédent. D’une part, les ions sont au repos avec une distribution en densité définie par : n = n_u pour|x| ≤ L/2 et n = 0 pour |x| ≥ L/2. Ici x est la direction normale à la cible, avecx= 0correspondant au centre de la cible. Du fait de la symétrie de l’expansion, on peut restreindre l’étude uniquement à la demi-part positive de la cible.

D’autre part, on considère que la fonction de distribution initiale des électrons chauds est une Maxwellienne

fh0(x, v,0) =nhu

r me

2πkBTh0

exp

− E kBTh0

(7.10) oùnhuetTh0représentent la densité et la température initiale des électrons chauds. Une expression similaire est supposée pour la fonction de distribution des électrons froids,

fc0(x, v,0) =ncu

r me

2πk_BT_c0 exp

− E k_BT_c0

(7.11) oùncuetTc0 correspondent à la densité et à la température initiales des électrons froids. La fonction de distribution globale des électrons du plasma est définie par :fe0 =fh0+fc0. Les densités des électrons satisfont la condition suivantencu+nhu=nu. Le champ électrique s’annule à l’infini ce qui assure une neutralité globale du plasma. La fonction de distribution initiale des électrons au centre du plasma est illustrée sur la figure7.2, pour les paramètres plasma suivants :ncu =nhu=nu/2etTh0/Tc0 = 20.

0 1 2 3 4 5 6 7 10⁻³

10⁻² 10⁻¹ 10⁰

v²/2v_th² f e(0,v)/f e0

v² j+1(0) v²

j(0)

v² j+1(t) v²

j(t)

FIGURE7.1 –Discrétisation d’une fonction de distribution au centre de la cible. La courbe noire correspond à la distribution initiale, alors que la courbe rouge représente la fonction de distribution reconstruite à l’instantt. Cette figure est adaptée de la Ref. [13].

0 0.5 1 1.5 2

10⁻¹ 10⁰ 10¹

ε=m_ev²/k_BT_h0 f e(ε)

fhot

fcold

FIGURE7.2 –Exemple de fonction de distribution initiale des électrons au centre du plasma pour les paramètres suivants : n_cu = n_hu = n_u/2etT_h0/T_c0 = 20à t = 0. Chaque espèce d’électrons a une distribution en vitesse initiale Maxwellienne.

7.1.2 Aspects énergétiques

On va s’intéresser dans la suite au transfert d’énergie entre les électrons, notamment à l’évolution temporelle de la température des électrons. Pour cela, on procède à la définition de certaines grandeurs nécessaires à notre discussion. Tout d’abord à un instant t, les densités des électrons chauds et froids s’écrivent sous la forme :

nh(x, t) = Z

fh(x, v, t)dv (7.12)

et

nc(x, t) = Z

fc(x, v, t)dv (7.13)

La forme de la fonction de distribution des électrons permet de définir une température pour chaque population d’électrons (chauds et froids) à chaque instant et à chaque position.

Pour les électrons chauds (resp. froids) nous obtenons :

kBTh, c(x, t) = me

R v²fh, c(x, v, t)dv

nh, c(x, t) (7.14)

de sorte que la température moyenne des électrons chauds (resp. froids) est obtenue en intégrantT_h,c(x, t)sur toute la boite de simulation, soit :

Th, c(t) =

R nh, c(x, t)Th, c(x, t)dx

R n_{h, c}(x, t)dx (7.15)

Pour faciliter la discussion qui suit, on définit quelques paramètres physiques (on garde les mêmes notations que dans les chapitres précédents) référant à l’état initial du plasma et à un temps caractéristique de l’expansion :

yu =nhu/ncu, α=Th0/Tc0, et τ =L/csh0 (7.16) où c_sh0 = (k_BT_h0/m)^1/2 est la vitesse du son associée aux seuls électrons chauds. Ce temps caractéristique est équivalente à deux fois le temps que mettrait, en gardant sa vitesse initiale, l’onde de raréfaction pour atteindre le centre de la cible, pour un plasma avec une fonction de distribution en vitesse des électrons Maxwellienne.