Expansion quasi-neutre : solution auto-semblable

Une solution auto-semblable de l’expansion dans un vide d’un plasma semi-infini a été obtenue pour la première fois par Gurevich [3] puis par Allen &Andrews [4] pour l’expansion d’un plasma quasi-neutre et isotherme.

Nous allons d’abord établir la solution auto-semblable dans cette hypothèse d’une expansion quasi-neutre.

Si la longueur caractéristique locale de la densité ionique L =| n/(∂n/∂x) |⁻¹ est plus grande que la longueur locale de Debye λD = [ǫ0/e(dne/dφ)]^1/2, il est en effet

raisonnable de supposer la quasi-neutralité du plasma. Par conséquent, on peut écrire la relation suivante :n≈ne(φ). Cette hypothèse libère les équations décrivant l’écoulement de toute dépendance vis-à-vis d’une quelconque longueur caractéristique du plasma. Les variablesxet t vont apparaître au travers de ce problème uniquement sous la forme du rapportξ =x/t. En conséquence les équations fluides décrivant la dynamique du plasma peuvent se simplifier ainsi en :

(v−ξ)dn

dξ =−ndv

dξ (4.7)

(v−ξ)dv

dξ =−c²_s n

dn

dξ (4.8)

avec

c²_s = ne

dn_e/dϕ = 1 m

dP

dn_e (4.9)

où nous avons définiϕ =eφ/metcsreprésente la vitesse du son du plasma.

Pourdn/dξ 6= 0, le système d’équations formées par les équations (4.7) et (4.8) admet une solution si seulement et si :

(v−ξ)² =c²_s (4.10)

La solution correspondant à une expansion dans la directionx >0est donnée par :

v =ξ+cs (4.11)

Par la suite, on introduit (4.11) dans (4.8), puis utilisant (4.9) on trouve une relation entre le potentiel électriqueϕet la positionξsous la forme :

dξ dϕ =−

1 cs

+dc_s dϕ

(4.12) Si on se donne une distribution en densité des électrons, la solution générale pour l’écoulement s’obtient en intégrant (4.12), afin d’obtenirξcomme une fonction deϕ.

Plasma avec une température d’électrons

Pour un plasma avec une seule population d’électrons, avec une distribution en densité sous la formene(φ) = nuexp(eφ/kBTe)oùkBest la constante de Boltzmann, la solution de l’expansion est donnée pourx+c_st >0par :

ne = nuexp (−1−ξ/cs) v = cs+ξ

ϕ = −c²_s(1 +ξ/cs)

Une analyse théorique plus complète, affranchie de l’hypothèse de quasi-neutralité, a été obtenue avec le modèle de Mora [7], donnant une description de la position du front d’ions et de l’énergie maximale des ions. La vitesse du front d’ions est donnée par la relation :

vf ront = 2csln τ +√

τ²+ 1

(4.13) La figure4.1montre un résumé de la solution des équations (4.7)-(4.8) couplées avec celle de Poisson (4.6). La solution auto-semblable est également représentée en pointillés sur les figures4.1(a) et4.1(b). Le pic sur le profil du champ électrique [Fig.4.1(b)] correspond au front d’ions, résultant de la séparation de charges entre les ions et les électrons. Le front d’ions n’est pas décrit par modèle auto-semblable. On peut souligner l’évolution en exponentielle décroissante avec la vitesse du spectre des ions, illustrée sur la figure4.1(d).

Ce modèle prédit une évolution infinie dans le temps de l’énergie maximale des ions accélérés lors de l’expansion. Ce qui peut poser un problème du fait de la durée finie de l’expansion. Pour expliquer les résultats expérimentaux, il est donc nécessaire de trouver un critère physique qui limite la durée de l’expansion. En effet, si on définitτLcomme la durée de l’impulsion laser, le temps effectif de l’accélérationτ_accest approximativement τacc ≃ 1.3τL. Ce critère a été établi expérimentalement par Fuchset al. [33]. En fait le caractère isotherme de l’expansion est invalidée par le refroidissement des électrons en faveur des ions, qui se produit pour des plasmas de tailles finies.

−2 0 2 4 6 10

⁻³

10

⁻²

10

⁻¹

10

⁰

ξ=x/t

n e/n e0, n/n e0

−2 0 0 2 4 6 8

0.01 0.02 0.03 0.04

ξ=x/t

E

0 10 20 30 40 50

0 2 4 6 8

ω pi t

v front/c s

0 2 4 6 8

10

⁻²

10

⁻¹

10

⁰

10

¹

10

²

v/c s

dn/dv

(a) (b)

(c) (d)

n e

n

FIGURE4.1 –Profils spatiaux en fonction deξau tempsω_pit= 50(a) de la densité des électrons et des ions (b), du champ électrique. (c) vitesse du front d’ions en fonction du temps.

(d) spectre des ions au tempsωpit= 50. Les pointillés sur (a) et (b) représentent la solution quasi-neutre. Le champ électrique est normalisé àE₀ = (n_uk_BT_e/ǫ₀)^1/2.

Plasma à deux températures d’électrons

On considère maintenant un plasma composé de deux populations d’électrons ; une chaude et une froide, de températureThetTc respectivement. Leur densité suit une distribu-tion de Boltzmann, qui peut s’écrire sous la forme :

ne(φ) = nh(φ) +nc(φ) (4.14)

= nhuexp eφ

k_BT_h

+ncuexp eφ

k_BT_c

(4.15) oùnhureprésente la densité des électrons chauds etncucelle des électrons froids dans le plasma non perturbé. Les ions de densitésn_u occupent toujours le demi-espacex≤0avec la condition suivante :nhu+ncu =nu. L’expression de la vitesse du son dans ce cas est donnée par :

cs(y) = csh

r1 +y

α+y (4.16)

aveccsh = (kBTh/m)^1/2la vitesse du son associée aux seuls électrons chauds, et où nous avons également défini quelques paramètres physiques cruciaux pour notre étude :

α=Th/Tc, y(φ) =nh/nc et yu =nhu/ncu

Les solutions auto-semblables de l’expansion quasi-neutre s’écrivent pourx+cst >0:

v = ξ+cs (4.17)

n = ncuexp (eφ/kBTc) +nhuexp (eφ/kBTh) (4.18) Pour obtenir l’expression du potentiel électrique on introduit(4.16)dans(4.12), puis en prenant l’inverse, on trouve :

e m

dφ

dξ = 2(α+y)^3/2(1 +y)^1/2

(α−1)²y−2(α+y)²csh (4.19) On intègre numériquement cette équation, c’est-à-direξen fonctionϕ, pourαetyudonnés.

Les résultats obtenus suite à la résolution des Eqs. (4.17)-(4.19) sont présentés sur la figure 4.2, pourα= 8etyu = 10⁻¹. Les solutions auto-semblables montrent un écoulement en deux phases, illustré par la région d’expansion des électrons froids précédée du plasma non perturbé, puis la région d’expansion des électrons chauds jusqu’au front d’ions. Cependant, pour un rapport en températureα = 20et un rapport en densité dans le plasma non perturbé yu = 10⁻¹, on obtient une solution multivaluée pour l’expansion comme le montre la figure 4.3, invalidant ainsi les solutions auto-semblables obtenues avec l’hypothèse quasi-neutre.

Ce point sera étudié dans la section suivante.

−0.5 0 0 0.5 1 1.5 0.5

1 1.5 2 2.5

ξ/c

sh

v/c sh

(a)

−0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5 0

ξ/c

sh

eφ/k BT h

(b)

FIGURE4.2 –Profils spatiaux de la vitesse (a) et de la densité (b) des ions en fonction deξpour α= 8etyu = 10⁻¹, tirée de l’intégration de la formule (4.19).

−0.5 0 0 0.5 1 1.5

0.5 1 1.5 2 2.5

ξ /c

sh v/c sh

FIGURE4.3 –Profil spatial de la vitesse des ions pourα= 20ety_u= 10⁻¹, tirée de l’intégration de la formule (4.19).

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