Présentation de critères de détection de structures

On peut distinguer deux grandes contributions à l’élaboration de critères de détection d’éléments topologiques de champs bidimensionnels : ceux dédiés à la détection de tous les types de points singuliers, et ceux dédiés à la détection de structures cohérentes (i.e. de vortex), applicables de ce fait à la détection de foyers. La grande diversité des critères de ce type s’explique par l’ambiguité de ce qu’est une structure tourbillonaire (Haller [34], Jeong et Hussain [52]). On distingue ces critères en fonction de leur principe qui peut être local ou non.

III.2.1.1 Critères locaux

Ils reposent sur un principe de seuil ou d’extremum d’une ou plusieurs fonctions locales indicatrices, basées sur :

– la vorticité (Vollmers [92]) ;

– les valeurs propres et invariants du tenseur des gradients de vitesse : ∆, Q (Jeong et Hussain [52]), λci (Adrian et al. [1], Zhou et al. [101]) ;

– la seconde valeur propre (appelée λ₂ du tenseur S2 + Ω2, où S et Ω désignent respectivement les parties symétrique et antisymétrique du tenseur des gradients de vitesse (Jeong et Hussain [52]) ;

– l’hélicité (Levy et al. [59], Yates et Chapman [97]) ; – la pression.

Ces critères ont été développés en 3D et certains peuvent être adaptés en 2D, no-tamment les critères ∆, Q, λ₂, λ_ci. Signalons que tous les critères présentés ci-dessus sont eulériens. Il existe également des critères plus récents basés sur des considérations de stabilité lagrangienne. Haller [33, 34] a ainsi mis au point l’équivalent d’un critère Q 2D lagrangien, ainsi qu’un critère 3D.

Ces fonctions quantitatives permettent de déterminer la force de ces structures et leur vitesse de convection (indiquée par la vitesse au coeur). En effet, il est important de noter que ces critères caractérisent des structures physiques, dont la signature topologique sous forme de foyer n’est qu’une conséquence dans un repère adapté.

Cependant, les fonctions précédentes sont définies de manière locale, ce qui réduit leur efficacité sur des champs expérimentaux bruités. De plus, l’identification de structures

grande échelle par de telles fonctions se fait par le biais d’iso-contours et iso-surfaces dont les seuils sont souvent arbitraires.

III.2.1.2 Critères non-locaux

Un premier critère consiste à utiliser les fonctions indicatrices précédentes, mais en prenant cette fois en compte leur allure typique au voisinage d’une structure tourbillonnaire. Camussi [12] utilise par exemple la transformée par ondelettes de la fonction enstrophie (E =

1

2k~ωk2) pour déterminer la localisation et la taille des structures cohérentes (indépendamment du repère). La forme de l’ondelette est choisie en fonction de sa similarité avec la fonction cible (E).

Les critères de reconnaissance de forme sont également utilisés (Vollmers [92]). Ceux-ci, contrairement aux précédents, ne se basent plus uniquement sur une répartition de gran-deur scalaire mais également sur une allure caractéristique du champ de vitesse au voisinage de telles structures (qualitativement et quantitativement).

Enfin, certains critères s’intéressent uniquement aux conséquences des structures tour-billonnaires sur les champs de vecteurs : l’orientation des lignes de courant au voisinage d’un coeur de vortex. C’est le cas des critères relativement marginaux SSL et CSL présentés par Vollmers [92], mais aussi et surtout des critères Γ1 et Γ2 (Graftieaux et al. [31]).

Γ1 est défini par :

Γ1 = ¹ S Z M∈S [PM ∧ uM] · z kPMk · kuMk^{dS =} 1 S Z M∈S sin(ΘM)dS (III.29)

où P, M et S sont définis sur la Figure III.2(a). Comprise entre −1 et +1, cette fonction met en évidence les zones (dont le centre est noté P) dans lesquelles les vecteurs vitesses sont en tout point M quasi-normaux à ~PM, ce qui est le cas d’un foyer (Fig. III.2(b)). Le signe de Γ1 indique le sens de rotation.

S

P

M

Θ

~u

III.2 – Moyens d’analyse topologique

Dans le cas où on souhaite mettre en évidence une structure convectée dans un écou-lement, il est préférable d’utiliser la fonction Γ₂, définie par :

Γ2 = ¹ S Z M∈S [PM ∧ (uM− ¯uP)] · z kPMk · kuM− ¯uPk ^{dS (III.30)} où ¯uP = _S^{1 R}_M∈SuMdS désigne la vitesse moyenne dans le voisinage S de P. Cette fonction consiste à reprendre la formule de Γ1 dans laquelle on a remplacé en tout point la vitesse absolue par une vitesse relative (définie après soustraction de ¯u_P). Ainsi, si on superpose le champ induit par un foyer (Fig. III.3(a)) à une convection uniforme (Fig. III.3(b)), on constate que Γ2 met bien en évidence le coeur de la structure (Fig. III.3(d)) et non le foyer (qui dépend du repère d’observation, identifié par Γ₁, Fig. III.3(c)). Le coeur d’une structure tourbillonnaire est défini comme la zone dans laquelle |Γ2| > ²_π, critère qui définit les zones où la rotation domine par rapport au cisaillement.

(a) (b)

(c) (d)

FigureIII.3 – Comparaison des critères Γ1 et Γ2 : (a) champ induit par un foyer, (b) champ de convection uniforme, (c) Γ1 appliqué à la superposition de (a) et (b), (d) Γ2 appliqué à la superposition de (a) et (b).

Les fonctions Γ1 et Γ2 donnent donc accès à la localisation de structures (et/ou de foyers), à leur sens de rotation et leur taille. Néanmoins, elles ne permettent pas de mettre en évidence leur force. Dans le cadre d’analyse de topologie de champs de vitesse, pour lesquels tous les types de points singuliers doivent pouvoir être identifiés, ces seuls critères de détection de structures sont insuffisants. En effet, ils ne sont efficaces que pour les foyers, sous réserve que l’on se place dans un repère approprié. En revanche, ils constituent des outils complémentaires aux critères de détection des points singuliers.

III.2.1.3 Classification des points singuliers

La première classification des points singuliers est due à Lavin et al. [58] et Batra et Hesselink [4]. Grâce à un formalisme introduisant un algèbre de Clifford, ils représentent les points singuliers dans un plan (α, β), tel que :

ˆ

α = trF (III.31)

ˆ

β = signe(trF²− 4detF ) ·^p|trF2− 4detF | (III.32) α = _q ^αˆ ˆ α2+ ˆβ2 (III.33) β = _q ^βˆ ˆ α2+ ˆβ2 (III.34)

où F est la matrice jacobienne de la vitesse au point singulier, trF sa trace et detF son déterminant. L’adimensionnement permet une représentation de tous les points sur le cercle trigonométrique, comme présenté à la Figure III.4.

α

β

Figure III.4 – Classification (α, β) des poins singuliers (d’après Batra et Hesselink [4]).