Pré-sélection sur un paquet d’ondes d’impulsion moyenne

=x_f + p_f m^{(tf −tj) (190)}

En conséquence, placer lesM_jselon cette trajectoire commune nous don-nerait

< Πw x_j

'1. (191)

et ceux placés en dehors de cette trajectoire donnerait Πw

x_j = 0. La trajec-toire faible définie par l’ensemble des M_j dont la valeur faible est non-nulle serait alors bien déterminée.

Ces conditions optimales seraient accomplies à l’aide d’un collimateur placé à la sortie de la fente qui pré-sélectionnerait un p_i, directement dirigé vers le pixel de l’écran sur lequel la post-sélection serait effectuée.

Ainsi, en supposant que l’étalement de|ψi(x_f, t_f)|² est inférieur à la taille du pixel de l’écran, le succès de la post-sélection implique directement que x_f 'x_i+ ^pi

m t_f −t_i
et nécessairement p_i ' −p_f (pour satisfaire l’eq. 190). De ce fait, le centroïde de |χ_f(x, t)|², qui a comme largeur à t_f celle du pixel, suit la même trajectoire que celui de |_ψi(x, t)|² selon les temps décroissants.

Dans cette situation, placer l’ensemble des M_j sur la trajectoire impulsée par pinous permet d’inférer la trajectoire faible définie par les(rj, tj)avec t_j = r_j/v, r_j = (x_j, z_j) et v = pv2

z+ (p_i/m)2, mvz >> p_i (selon les ap-proximations faites en section2).

3.3 Pré-sélection sur un paquet d’ondes d’impulsion moyenne

prédéfinie à la fente et post-sélectionsur un paquet d’onde

restant localisé

Considérons à présent les trajectoires faibles dans le cas où l’évolution de l’étalement de|_ψi(x, t)|²est conséquent. Ainsi, ψi(x, t)se propage à une vi-tesse v ≈ vz jusqu’à t_f où le profil de|ψ(x, t_f)|² recouvre alors l’ensemble de l’écran.

Gardons néanmoins une post-sélection identique, donnée par la détection sur le même pixel qu’auparavant, ainsi qu’une même disposition desM_j. En conséquence, χ(x_f, t_f) est un état localisé qui s’étale tout en restant d’une taille comparable la largeur caractéristique de f(x, x_j)pour tous les

M_j.

Lorsque les pré/post-sélections sont accomplies avec succès, la zone de recouvrement entre ψi(x, t) et χ_f(x, t) est alors plus grande en compa-raison au cas précédent. Le front d’onde progresse à une vitesse diffé-rente qui est selon z uniquement alors que l’espacement en temps entre deux interactions faible reste inchangé dans le référentiel du laboratoire (tj = x^k_j/vz = xj/v où v = vz+vx). Cela implique que l’ensemble des

M_{j mesurent chacun des trajectoires d’impulsion différentes passant par} (x^k_j, t_j)telles que x^k_j =x_i+ p_i^k m ^tj−ti
=x_f + p_f m^{(tf −tj) (192)}

La valeur faible associée à chacune d’entre elles prise à tjdevient Πw x_j = ^χ ∗ f(x_j,t_j)_ψi(x_j, tj) χf(tj)|ψi(tj) (193)

lorsque f(x, xj) → δ(x−xj)et s’exprime selon les eqs. (184) et (188). Cependant, dans le cas où χf(x, t)reste un état localisé d’une taille compa-rable à f(x, x_j)jusqu’à t_i, son recouvrement avec ψ_i(x, t)reste globalement localisé aux alentours desM_{jde telle sorte à ce que}< Πw

x_j

≈_{1. Cette fois}

plusieurs trajectoires sont mesurées mais le faible étalement de χ_f(x, t)

nous permet de considérer une trajectoire moyenne, autour du centroïde de χ_f(x, t), que|χ_fia suivi de manière rétrograde jusque la fente à partir du moment où la post-sélection est accomplie avec succès.

Cette situation est représentée sur la figure18. La trajectoire classique entre la fente et l’écran est dessinée en rouge, la fonction d’onde de l’état de pré-sélection progresse en bleu dans la direction z alors que la post-pré-sélection progresse selon la trajectoire classique d’impulsion p_f.

Trois interactions faibles sont implémentées le long de la trajectoire clas-sique rouge à t1, t2et t3. Chacune d’entre elles lie le centroïde de ψi(x, t)à

FIGURE18 – Trajectoires faibles mesurées

toire faible mesurée est ainsi une trajectoire moyenne ¯x(t) donnée par la résultante de chque trajectoire liant lesM_jau voisinage de x_f.

3.4 Pré-sélection sur un paquet d’ondes d’impulsion moyenne

prédéfinie à la fente et post-sélection très fine en un

point

A présent, prenons en compte l’évolution des étalements conjoints de|ψi(x, t)|²

et de|_χf(x, t)|².

Dans le cas d’une post-sélection très localisée, c’est à dire lorsque la gaus-sienne (188) est prise avec un d_f très petit, χ_f(x, t) s’étale très fortement pour des valeurs t < t_f. Ainsi, les fronts d’onde de ψi(x, t) et de χ_f(x, t)

progressent à une vitesse vzselon les temps croissants et décroissants. En conséquence, non seulement les M_j disposés sur la trajectoire classique entre la fente et l’écran n’affichent plus< Πw

x_j

≈1 mais aussi toute inter-action faible placée de manière quelconque en zw entre la fente et l’écran afficherait< Πw

x_j

6=0 au temps tw =zw/vz.

Finalement, les trajectoires faibles qui interviennent lors d’une mesure par un M_j donné sont d’une part la trajectoire classique entre une position r_i de la fente et la position r_jdeM_j, et d’autre part celle qui joint r_jau point de post-sélection r_f. La valeur faibleΠw

xjest complexe et arbitraire, dans le sens où elle dépend du rapport de l’intégrale sur x dans le voisinage de xj

,

Z

dx f(x; x_j)χ^∗_f(x, t_j)ψ_i(x, t_j)

sur la valeur de cette intégrale dans tout l’espace,

Z

Ainsi, toute interaction faible placée en un point où les amplitudes ne sont pas négligeables donne une valeur faible non nulle du fait que les trajec-toires associées au propagateur lie xj au point de la fente et au pixel de post-sélection.

4 Trajectoires faibles dans un dispositif à deux

fentes

Examinons les valeurs faibles lorsqu’on ouvre la deuxième fente. Une in-teraction faibleM_jlocalisée en xjdonne une valeur faibleΠw

x_j donnée par l’éq. (181) qui reste valable alors que |_ψi(t_j)i est à présent donné par la superposition ψi(x, t_j) = 1 √ 2  ψ_i¹(x, t_j) +_ψi²(x, t_j)^ (194) où ψ¹_i(x, t_j)et ψ²_i(x, t_j) sont les fonctions d’ondes associées au fentes cen-trées en x0et−x0respectivement.

Dans le but d’examiner simultanément les trajectoires faibles portées par

ψ¹_i(x, t_j) et ψ²_i(x, t_j), on souhaite les voir interférer à la post-sélection au point r_f = (x_f, z_f) de l’écran. Les interférences sont présentes dans la si-tuation où ∆xf >> hx_fi et l’on peut d’ores et déjà écarter le cas de deux paquets d’ondes restant localisés (Sec. 3.2) durant leur évolution, même si un M_j placé à l’intersection de ψ¹_i(x, t_j) et de ψ²_i(x, t_j) pourrait voir sa valeur faible modifiée par rapport à la situation où une seule fente était ouverte. Ainsi, il s’agit de considérer l’étalement de|ψi(x, tj)|².