Dynamique du pointeur dans le processus de Von

ϕ(x+ g 2^{) +} 1 2 ¹⁺ⁱ
ϕ(x− ^g 2^{) (42)}

où les ϕ(x± ^g₂)ne se recouvrent pas. Notons que cette condition est rem-plie lorsque le temps de diffusion du paquet d’onde ϕ(x) est largement supérieur à l’intervalle de temps entre la pré-sélection et la mesure deM. Finalement, l’intensité observée à l’écran est

 ϕ(x) 2 = 1 2  ϕ(x+g 2⁾   2 +1 2  ϕ(x− ^g 2⁾   2 (43) et correspond à deux pics d’intensité centrés respectivement en +^g₂ et en

−₂^g, où les+1 et−1 correspondent aux valeurs possibles de_bσysurS com-patibles avec la pré- et la post-sélection. Les facteurs ¹₂ dans la dernière relation montrent que l’occurrence des résultats +1 ou −1 est équipro-bable. Pour le système S les deux valeurs propres sont compatibles avec l’évolution imposée du système avec autant de chance de tomber sur l’une ou l’autre.

2.3 Dynamique du pointeur dans le processus de Von

Neu-mann

Nous allons maintenant étudier la dynamique du pointeur lors de mesures fortes. L’intérêt de cette étude deviendra clair lorsqu’on regardera plus loin la dynamique du pointeur lors de mesures faibles.

l’état de{M+ S }après une pré-sélection (mesure de bA) et une interaction ( bH_int =γ bO. bP)

|Ψ(t⁰)i =e^−ig¯hO. bbP|aii|ϕi =

∑

_n ν_n¹|oni|ϕni

où ν_n¹= hon|a_ii et hx|ϕni = ϕ(x−gωn) (44)

2.3.1 Moyenne pour un état pré-sélectionné

Soit Pi(x), la probabilité d’observation deMen un point particulier x juste après l’interaction (sans post-sélection) associée à un état initial |a_ii qui s’écrit Pi(x) =

∑

n hai|Πbon|aii|ϕ(x−gωn)|² =

∑

n |ν_n¹|²|ϕ(x−gωn)|² (45)

et qui a exactement la même interprétation que la mesure standard : une mesure de M nous donne le résultat ωn avec une probabilité ha_i|Πbon|a_ii. Dans le cas de N → ∞ états pré-sélectionnés identiques et soumis à une interaction, il parait alors naturel queMsoit centré en la valeur moyenne

ha_i|Ob|a_ii_{(à un facteur près)} hΨ(t⁰)|Xb|Ψ(t⁰)i =

∑

n |hon|aii|² Z x |ϕ(x−gωn)|²dx =g

∑

n ωn|hon|aii|² = ghai|Ob|aii = g Z x Pi(x)dx (46) Notons que M_{est ici initialement centré en zéro et que si ce n’était pas le}

cas, le termehϕ|Xb|ϕiviendrait s’ajouter à la dernière expression.

L’examen de cette valeur moyenne est décrite par la mesure standard. Une série de mesures deMnous donnera en moyenne une distribution de pro-babilité centrée sur la valeur moyenne de bO dans l’état pré-sélectionné. Chaque mesure individuelle de la position finale deM donne un résultat qui dépend à la fois de la distribution de probabilité spatiale deMet de la probabilité de trouver l’état de pré-sélection dans un état propre de l’ob-servable bO. Cependant, chaque état translaté deM_{a une correspondance}

biunivoque avec chaque vecteur propre de S, chaque état translaté a un profil identique (ie aucune valeur propre n’est privilégiée parM) et l’éta-lement de chaque état deMest si petit que l’on peut considérer la fonction d’onde nulle partout sauf en la valeur propre. Dans cette limite, la pertur-bation introduite sur M par la mesure est en lien direct avec la pertur-bation introduite sur S et la probabilité d’observation d’un état translaté

donné ne dépend que de la probabilité d’observation d’une valeur propre pour un état pré-sélectionné donné.

Donc finalement, la mesure de Von Neumann explicite une distinction entre l’état du système avant et après la perturbation introduite par l’ob-servateur lors de la mesure deM. L’état du système{M + S }juste après l’interaction et avant la mesure peut ainsi être qualifié d’état de "pré-mesure" où chacun des résultats possibles à une mesure projective existe indépen-damment de la perturbation postérieure introduite par l’observateur.

2.3.2 Moyenne pour un état pré-sélectionné et post-sélectionné

Considérons que P_i(x)ethΨ(t⁰)|Xb|Ψ(t⁰)iconstituent la statistique de l’en-semble pré-sélectionné [36]. Remarquons que la même statistique peut être observée pour une série d’expériences où l’état de pré-sélection serait identique à l’état de post-sélection. Ici, si le résultat est le même, chaque mesure individuelle deM_{ne relève pas du même processus physique : la}

probabilité d’être dans un état propre de bO juste après l’interaction à t⁰est l’analogue de la probabilité conditionnelle dans le cas d’états pré/post sé-lectionnés identiques à tf. Bien sûr, cela est trivial lorsqu’on on écrit l’éga-lité des deux expressions : |hon|a_ii|2 = A(|a_ii → |oni)A(|oni → |a_ii) =

A(|a_ii → |oni)A^∗(|a_ii → |oni). Cette approche conditionnelle prend ce-pendant plus de sens lorsque l’on post-sélectionne sur un état différent. Projetons donc{M + S }_{sur un état propre}|b_ji_{de b}B à l’instant final. On se restreint alors au sous ensemble des évolutions qui conduisent à l’état|b_ji, et donc à un sous ensemble de la statistique de pré-sélection. L’amplitude de probabilité d’observation deMpour ce sous ensemble est

|Ψj(t_f)i = 1 q

|hai|bji|2

hb_j|e^−ig¯hO. bbP|a_ii|_ϕi ₍₄₇₎

qui est un état normalisé par la probabilité de succès de la post-sélection. La normalisation de l’état final implique que nous considérons que la post-sélection est accomplie avec succès à chaque tentative, cela signifie que nous nous plaçons dans le cadre d’une expérience reproductible et que le caractère aléatoire ne se manifeste que par la perturbation introduite sur M à la mesure (elle-même en correspondance avec la perturbation introduite surS).

Sommer sur tous les sous-ensembles (comme déjà fait auparavant), nous mène à la probabilité de l’ensemble de pré-sélection

P_i(x) =

∑

j

|hb_j|a_ii|²P_1j(x) (49)

C’est ainsi que l’on peut réécrirehObide la manière suivante

ha_i|Ob|a_ii = Z x P_i(x)dx=

∑

j |hb_j|a_ii|² Z x P_ij(x)dx =

∑

j |hb_j|a_ii|²hΨj(t_f)|Xb|Ψj(t_f)i (50) L’on obtient alors une expression de la valeur moyenne de l’opérateur me-surée en fonction des résultats possibles à une mesure postérieure (la post-sélection).

Littéralement, une moyenne est la somme des résultats mesurés, chacun pondérés par leur probabilité d’occurrence. Ici, dans le cadre d’un pro-cessus de pré/post-sélection, c’est une moyenne qui fait office de résultat, pondérée par une probabilité de post-sélection.

Rappelons nous queMnous donne une des valeurs propres ωnde bO com-patible avec l’évolution entre deux états particuliers. De ce fait, l’on peut observer plusieurs valeurs propres pour une configuration unique d’états de psélection et de post-sélection. Ainsi, l’on ne peut pas associer le ré-sultat ωn à une probabilité de transition|hb_j|a_ii|2et l’on ne peut donc pas donner l’interprétation d’une moyenne littérale à la dernière expression. En revanche, cette probabilité reste associable à un sous-ensemble de va-leurs propres. Si l’on explicitehΨj(t_f)|Xb|Ψj(t_f)i,

hΨj(t_f)|Xb|Ψj(t_f)i =

∑

k |hbj|o_ki|2|ho_k|aii|2 |ha_i|b_ji|2 Z x|ϕ(x−gω_k)|²dx =g

∑

k |hb_j|o_ki|2|ho_k|a_ii|2 |h_ai|_bji|2 ω_k (51) et que l’on substitue dans l’expression deh_ai|Ob|_aii_,

hai|Ob|aii =

∑

j

|hbj|aii|²hΨj(tf)|Xb|Ψj(tf)i =g

∑

k,j

ωk|hbj|Πbo_k|aii|² (52) on se rend compte que la valeur moyenne d’une observable s’écrit comme une double somme, l’une concernant le spectre de bO, et l’autre concernant les états de post-sélection.

3 Mesure faible

Dans le document Mesure faible, Valeur Faible et Interférométrie (Page 33-37)