Dans cette section, nous démontrons la proposition1.13(et un peu plus). Pour faciliter la compréhension, les outils utilisés dans la preuve ont été énoncés et prouvés séparément, comme des lemmes.†Un ingrédient important de la preuve est le théorème de Cantor-Bernstein, que nous prouvons uniquement dans le cas simple qui sert à la preuve de la proposition1.13.
1.45 Lemme. Toute partie infinieAdeNest dénombrable. ˛ Démonstration du lemme1.45. Soitx0 :“minA.
Si x0, x1, . . . , xn ont déjà été choisis, on poseAn :“ Aztx0, x1, . . . , xnu. Alors An est non vide, sinonAserait fini, etxąxn,@xPAn(vérifier par récurrence surn). On définit xn`1 :“minAn.
La suitepxnqnd’entiers est strictement croissante (vérifier), doncxnÑ 8.
Il suffit de montrer queA “ tx0, x1, . . .u. (En effet, si tel est le cas, alors f :N Ñ A, fpnq:“xnest une bijection.) Preuve par l’absurde. Supposons quexPAetx‰xnpour toutn. On axąx0, par choix dex0, d’oùxPA0. Commex‰x1, on trouvex ąx1. Par récurrence,x P An etx ą xn`1 pour toutn. En passant à la limite,x ľ limxn`1 “ 8,
absurde. CQFD
1.46 Lemme. SiAĂB avecB a. p. d., alorsAest a. p. d.
Par contraposée, siA ĂB etAn’est pas a. p. d., alorsB n’est pas a. p. d. ˛ Démonstration du lemme1.46. SiAouBest fini, c’est clair. SupposonsAetBinfinis.
†. Pour le sens de ce mot, voirlemme (Wikipédia).
Notations, rappels, premières définitions 1.4 Pour aller plus loin Soitf : B Ñ Nune bijection. La restrictiong def àA est une bijection entreA et C“fpAq.
Cest infini, sinonAserait fini.
Le lemme précédent montre qu’il existe une bijectionh:C ÑN.
Il s’ensuit queh˝g:AÑNest une bijection. CQFD
1.47 Lemme. S’il existe une injectionf de A vers N, alorsA est a. p. d. La
réci-proque est vraie. ˛
Démonstration du lemme1.47. Aest en bijection avecB :“fpAq ĂN. SiBest fini, alorsAl’est aussi.
SiBest infini, alorsB est en bijection avecN(lemme1.45), doncAl’est aussi.
Réciproquement, supposonsAa. p. d. SiAest infini, alorsAest en bijection avecN. SiAest fini, alors on peut écrireA“ tx0, . . . , xku, et la fonctionAQ xn ÞÑ nP Nest
injective. CQFD
1.48 Corollaire. SiAest infini et s’il existe une injectionf deAversN, alorsAest
dénombrable. ˛
Démonstration du corollaire1.48. Exercice ! CQFD
1.49 Lemme. SiB est a. p. d. et s’il existe une injectionf : A Ñ B, alorsA est a.
p. d. ˛
Démonstration du lemme1.49. L’ensemble C :“ fpAq est une partie de B, donc (grâce au lemme1.46)Cest a. p. d.
Aest en bijection avecC, doncAest a. p. d. CQFD
1.50 Théorème (Théorème de Cantor-Bernstein ; cas particulier). S’il existe une injectionf :AÑNet une injectiong :NÑA, alorsAest dénombrable. ˛ Démonstration du théorème1.50. Aest en bijection avecfpAq ĂN, doncAest a. p. d.
Par ailleurs,An’est pas fini, car il contient la suite d’éléments distinctsgp0q, gp1q, . . ..
Il s’ensuit (grâce au corollaire1.48) queAest dénombrable. CQFD
1.51 Remarque. L’énoncéintuitifduthéorème(général)de Cantor-Bernsteinest le suivant : SoientA,B deux ensembles tels queB a plus d’éléments queA, etAplus queB. Alors AetBont autant d’éléments.
L’énoncérigoureuxest : SoientA,Bdeux ensembles tels qu’il existef :AÑ B injec-tive etg:BÑAinjective. Alors il existeh:AÑBbijective.
De manière équivalente, s’il existef :AÑ Binjective etk:A ÑB surjective, alors il existeh:AÑBbijective.
Voir la preuve de König duthéorème de Cantor-Bernstein (Wikipédia). ˛ 30
Petru Mironescu Mesure et intégration
1.52 Lemme. N2est dénombrable. ˛
Démonstration du lemme1.52. N2 est infini, car il contient la suite ppn,0qqnPN, dont les élé-ments sont distincts.
Il suffit donc de construire une application injective f : N2 Ñ N. (Le corollaire 1.48 permet alors de conclure.) Soitf :N2 ÑN,fpm, nq :“2m3n. L’unicité de la décomposi-tion d’un entier en facteurs premiers montre quef est injective. CQFD
Le résultat précédent implique qu’il existe une bijection entreN2etN. En voici une explicite.
1.53 Exercice. Soitf : N2 Ñ N,fpm, nq :“ pm`nqpm`n`1q
2 `n. Montrer quef est
bijective. ˛
Les résultats suivants complètent la preuve de la proposition1.13.
1.54 Lemme. Un produit cartésien fini d’ensembles a. p. d. est a. p. d. ˛ Démonstration du lemme1.54. Il suffit de montrer le résultat quand il y a deux facteurs ; le cas général s’obtient par récurrence sur le nombre de facteurs dans le produit.
SoientA1,A2deux ensembles a. p. d. SiA1est fini, nous pouvons écrireA1“ tx0, . . . , xku.
Sinon, soitf :NÑA1une bijection et posonsxn:“fpnq. Nous avonsA1 “ tx0, . . . , xn, . . .u.
Dans les deux cas, nous pouvons écrireA1 “ txi; 0ĺiălu, aveclPN˚Y t8u.
De même, nous pouvons écrireA2 “ tyj ; 0ĺj ăpu.
La fonctionA1ˆA2 Q pxi, yjq ÞÑ pi, jq PN2est injective.
N2étant dénombrable (lemme1.52) etf étant injective, il s’ensuit du lemme1.49que
queA1ˆA2est a. p. d. CQFD
1.55 Lemme. Une union a. p. d. d’ensembles a. p. d. est a. p. d. ˛ Démonstration du lemme1.55. SoientAn,năl, avecl“N˚Y t8u, des ensembles a. p. d.
PosonsB0 :“A0et, pour1ĺnăl,Bn:“AnzpYnk“´01Akq. Alors lesBnsont d. d. d. et YnBn“ YnAn.
Comme An est a. p. d. et Bn Ă An, l’ensembleBn est a. p. d. (lemme 1.49). Nous pouvons donc écrireBn “ txni ; iă lnu, avecln P NY t8u, d’où tout élément deA :“
YnAns’écrit de manière uniquexni pour unnPNet pour uniPN. L’applicationAQxni ÞÑ pn, iq PN2 est donc injective.
Comme dans la preuve du lemme1.54, il s’ensuit queA“ YnAnest a. p. d. CQFD
Chapitre 2
Tribus, clans, classes monotones
2.0 Aperçu
Rappelons que les clans, tribus, classes monotones sont des ensembles dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles. Toute collection A d’ensemble en-gendre un clan, tribu ou classe monotone, au sens où il existeune plus petite collec-tiond’ensembles, contenantA, et qui soit un clan, ou tribu, ou classe monotone (section2.1). Cette propriété est un parent d’autres propriétés du même type : par exemple, toute partieF d’un espace vectoriel engendre un espace VectpFq.
Dans la section2.2, nous montrons le premier résultat important de ce cours, lethéorème de la classe monotone. Son importance est plutôt théorique : de manière vague, il sert à montrer que si une propriété est vraie (souvent, évidente) pour une famille A d’ensembles, alors cette même propriété est vraie pour toute la tribu engendrée parA. Deux applications fondamentales de ce théorème seront vues dans ce cours : l’unicité de la mesure de Lebesgue (section 4.5) et les pro-priétés des coupes des ensembles (section8.1). Bien d’autres applications seront vues dans le cours de probabilités.
Enfin, dans la section2.3, nous introduisons la plus importante des tribus, la tribu borélienne(du nom du mathématicien français Émile Borel). Elle est engen-drée par les ouverts d’un espace métrique.
Compétences minimales attendues.
a) Montrer qu’un ensemble appartient à un clan où à une tribu.
b) Plus particulièrement, montrer qu’un ensemble est borélien. ˛