Dans cette section, nous définissons la tribu la plus importante pour les appli-cations : latribu borélienne.
SoitpX, dqun espace métrique.†
2.13 Définition(Tribu borélienne). La tribu borélienne BX surX est la tribu engendrée par les ouverts deX.
Ou encore :BX :“T ptU ; U ouvert deXuq.
Si on désigne par τ la topologie de X (=l’ensemble des ouverts de X), alorsBX “Tpτq.
Les ensembles de cette tribu sont lesboréliens deX.
2.14 Remarque. Donné X, la question «A est-il un borélien ? » n’a pas de sens, car la tribu borélienne dépend de la distance surX. C’est la situation rencontrée en topologie à propos de la question «Aest-il un ouvert ? ».
Néanmoins, il y a un abus fréquent de langage : «AĂRnest borélien » sous-entend
queRnest muni d’une norme. ˛
2.15 Remarque. Il est souvent utile d’avoir unsystème de générateursd’une tribuT, c’est-à-dire une familleA (simple à décrire) telle queTpAq “T.
Une telle famille permet de mettre en œuvre un mécanisme similaire à celui de la remarque2.11. Si :
i) TpAq “T.
ii) (P) est vraie pour toutAPA.
iii) tAĂX;Asatisfait (P)uest une tribu, alors
APT ùñ Asatisfait (P). ˛
La proposition suivante donne quelques systèmes importants de générateurs.
†. Plus généralement, nous pouvons considérer, au lieu d’un espace métrique, un espace to-pologiquepX, τq. Néanmoins, pour les applications usuelles en théorie de l’intégration, le cadre des espaces métriques est suffisant.
Tribus, clans, classes monotones 2.3 La tribu borélienne
2.16 Proposition.
a) BX est la tribu engendrée par les fermés deX.
b) BRest la tribu engendrée par : (i) les intervalles deR
ou
(ii) les intervalles de la formesa,8r.
c) BRn est engendrée par lespavés ouverts deRn, c’est-à-dire les ensemblesP de la formeP “I1ˆI2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆIn, avecIj intervalle ouvert,@j.
2.17 Remarque. Si on munitRnd’une norme, il existe des parties deRnqui ne sont pas boréliennes (un exemple, assez difficile, sera examiné dans le chapitre4).
Ce qu’il faut retenir est que tous les ensembles ne sont pas nécessairement boréliens.
En revanche, tous les ensembles « concrets » le sont. ˛
Exercices
2.18 Exercice. On munitRde la métrique usuelle. Les intervalles, les fermés et les ouverts
(deR) sont boréliens. ˛
2.19 Exercice. SoitpX, dqun espace métrique. SoitY ĂX, muni de la métrique induite parX. Montrer queBY “ tBXY ;B PBXu.
De manière équivalente,BY coïncide avec la tribu induite parBX surY. ˛ 2.20 Exercice. SoientpX, dq,pY, δqdeux espaces métriques. SoitΦ :XÑY un homéomor-phisme.†SiAĂX, alorsAPBX si et seulement siΦpAq PBY.
Symétriquement, siB ĂY, alorsBPBY si et seulement siΦ´1pBq PBX.
Si nous supposons uniquementΦcontinue, alors nous avonsB PBY ùñ Φ´1pBq P
BX. ˛
2.21 Exercice.
a) SoientAPBRnetBPBRm. Montrer queAˆB PBRn`m.
b) Plus généralement, sipX, dqetpY, δqsont des espaces métriques et si nous munissons XˆY d’une métrique produit, alorsBX ˆBY ĂBXˆY. ˛
Démonstrations
Dans la preuve de la proposition2.16, nous utiliserons les deux faits suivants.
2.22 Rappels.
†. Un homéomorphismeest une application Φ : X Ñ Y, avecX,Y espaces métriques (ou topologiques), continue, bijective, et avecΦ´1continue.
38
Petru Mironescu Mesure et intégration
a) Tout ouvert deRest une union a. p. d. d’intervalles ouverts. De plus, on peut choisir ces intervalles d. d. d.
b) Si on munitRnd’une norme, tout point deRnest la limite d’une suite de points ayant
toutes les coordonnées rationnelles. ˛
Démonstration de la proposition2.16. Notons, dans chaque cas,τ l’ensemble des ouverts, etA l’ensemble des parties deXdonnées par l’énoncé (fermés, intervalles, etc).
Dans chaque cas, nous avonsA ĂBX, et doncTpAq ĂTpBXq “BX. Il reste donc à montrer l’inclusion inverseTpAq ĄBX.
Pour cela, il suffit de montrer que τ Ă TpAq, car si tel est le cas alors nous avons BX “ Tpτq Ă TpTpAqq “ TpAq. En conclusion, il suffit de montrer queU P TpAq pour tout ouvertU.
SoitU un ouvert.
a) Nous avonsUcPA, d’oùU “ pUcqcPTpAq.
b) (i) U est une union a. p. d. d’intervalles ouvertsIj(voir le rappel2.22a)).
Comme chaqueIj est dansA, nous avonsU PTpAq.
(ii) De ce qui précède, il suffit de montrer que tout intervalle ouvertI “sa, brest dansTpAq.
SiaPRetb“ 8, c’est clair.
SiI “R, nous avonsI “ YnPNs ´n,8rPTpAq.
Il reste le casbPR.
Pour toutcPR, nous avonssa, cs “sa,8rXsc,8rcPTpAq.
Il s’ensuit quesa, br“ YnPN˚sa, b´1{ns PTpAq.
c) Les ouverts de Rn, donc la tribu borélienne, ne dépendent pas de la norme choisie.
Nous prenons comme norme}}8.
Soit C :“ tBpx, rq ; x P Qn, r P Qu. Alors C Ă A et C est a. p. d. (En effet, la fonctionBpx, rq ÞÑ px, rq PQnˆQest injective etQnˆQest dénombrable.) Il suffit donc de montrer que U est l’union d’une famille de boules de C; cette union sera automatiquement a. p. d.
PosonsD:“ tBpx, rq PC ; Bpx, rq ĂUu. Nous allons montrer l’égalité YBpx,rqPDBpx, rq “U.
L’inclusion «Ă» est claire.
Montrons «Ą». SoityPU. Nous allons trouver une bouleBpx, rqtelle queBpx, rq PD etyPBpx, rq.
Il existe unR ą0tel queBpy, Rq ĂU. Quitte à diminuerR, nous pouvons supposer RPQ.
Soitx P Qn tel que}x´y}8 ă r :“ R{2. (L’existence de y découle du rappel 2.22 b).) On vérifie aisément que y P Bpx, rq et Bpx, rq Ă Bpy, Rq; d’où Bpx, rq Ă U. Finalement, nous avons bienBpx, rq PD etyPBpx, rq. CQFD
Chapitre 3
Fonctions mesurables
3.0 Aperçu
La topologie travaille avec des ensembles, dont les plus importants sont les ouverts, et des fonctions, dont les plus importantes sont les fonctions continues.
Nous avons rencontré, dans le chapitre précédent, des analogues des ouverts en théorie de la mesure : il s’agit, dans un cas particulier, deboréliens, et dans le cas général d’ensembles mesurables, c’est-à-dire éléments d’une tribu.
Dans ce chapitre, nous définissons les analogues des fonctions continues, qui sont lesfonctions mesurables. Une définition naturelle serait
f :X ÑRest mesurableðñ f´1pUqest mesurable,@U ĂRouvert. (3.1) Nous ne partirons pas de cette définition (qui serait correcte !), mais d’une définition équivalente, qui a le mérite de s’insérer plus naturellement dans les preuves. (3.1) sera alors unecaractérisationdes fonctions mesurables.
Comme pour les fonctions continues, les opérations usuelles (somme, pro-duit, etc.) transforment les fonctions mesurables en fonctions mesurables ; ceci sera prouvé dans les sections3.2et3.3. Nous apprendrons au passage un slogan très important : borélien ˝mesurable = mesurable, qui est le pendant de continu ˝ continu = continu.
Une propriété qui distingue les fonctions mesurables des fonctions continues est qu’une limitesimplede fonctions mesurables est mesurable ; rappelons qu’en général ceci est faux pour les fonctions continues.
Compétences minimales attendues.
a) Vérifier qu’une fonction concrète est mesurable, en particulier via l’exercice 3.18.
Fonctions mesurables 3.1 Définition. Caractérisation