Pompage en régime moléculaire libre

Dans les travaux de Kruger [34], l’écoulement dans la pompe turbomoléculaire est considéré en régime moléculaire libre. Par conséquent, les collisions entre les particules et les pales sont dominantes par rapport aux celles entre les molécules. En négligeant les collisions inter-moléculaires, l’étude de l’écoulement du gaz se réduit à l’étude d’un flux de molécules indépendantes qui agissent sur les pales du rotor ou du stator. Le problème se ramène alors au calcul de l’état final d’un flux de molécules à partir de leur état initial en connaissant le modèle de collision entre les molécules et le positionnement des surfaces des parois. Dans la littérature, deux méthodes sont utilisées pour effectuer ce calcul de type statistique : la méthode intégrale et la méthode de Monte Carlo.

Méthode intégrale

La méthode intégrale consiste à calculer le flux surfacique sortant de molécules en inté-grant toutes les sources de molécules possibles, soit d’une part les molécules provenant directement de l’entrée et dont le flux surfacique est décrit par une distribution de Max-well, et d’autre part les molécules provenant de la réémission par la paroi des pales qui suit une loi de réémission en cosinus. Les limites de l’intégration sont données par les positions relatives entre les différentes surfaces, ce qui traduit bien le rôle joué par la géométrie des pales sur la performance de pompage d’un rotor ou stator. La méthode intégrale a connu notamment des applications réussies dans les travaux de Sawada [52] [53] où elle a été utilisée pour prédire la performance de pompes aux pales droites.

L’expérience montre que la méthode intégrale peut être efficace lorsque la géométrie à calculer reste simple. Lorsqu’il s’agit de géométries complexes (3D par exemple ou intégrant des formes de pales non-triviales), cette approche devient trop coûteuse (voir notamment l’article [30] pour une discussion sur le coût de calcul).

Test Particle Monte Carlo

L’une des originalités du travail très novateur de Kruger [34] a résidé dans l’utilisation d’une approche statistique de type Monte Carlo pour résoudre le problème de dynamique des gaz qui lui était posé. Cette approche, utilisée dans le but de prédire la performance d’une pompe turbomoléculaire, a connu un grand succès par la suite dans le domaine du calcul des écoulements de gaz en régime moléculaire sous la désignation d’approche « Test Particle Monte Carlo » ou TPMC mentionnée dans la section précédente.

TPMC 2D

Dans les travaux de Kruger, seule une pale droite présentant des surfaces planes a été étudiée. Pour simplifier le calcul - ayons bien en tête les moyens de simulation de l’époque - Kruger emploie un modèle 2D sur une coupe radiale pour représenter l’écoulement dans les étages rotor et stator. Cette simplification implique de négliger :

– les effets tridimensionnels,

– les effets dus à la présence du jeu radial entre l’extrémité des pales et le carter dans le cas du rotor,

– les effets dus à la présence du jeu radial entre le pied des pales et le moyeu dans le cas du stator,

– les effets dus à la présence des parois cylindriques du carter et du moyeu.

Rotor

Amont

Aval

v

Figure 2.2 – Schéma du modèle 2D d’un étage rotor

La figure 2.2 illustre le schéma d’un rotor en 2D avec s la distance entre deux pales, b la longueur des pales, v_pale la vitesse de déplacement des pales et α l’angle d’inclinaison des pales par rapport à l’axe horizontal (l’axe de rotation étant vertical). Dans la figure 2.3, en considérant la distribution de vitesse des molécules dans le référentiel de pales, le principe de pompage du rotor peut s’expliquer par une déformation de la distribution de Maxwell produite par le déplacement des pales. Dans la figure 2.3, les pales sont à l’arrêt dans le cas a et se déplacent à une vitesse v_pale dans le cas b. Dans le cas a où les pales sont à l’arrêt, le cercle a , qui représente la distribution de Maxwell pour la vitesse des molécules, est homogène et isotrope. Les cercles a_inlet et a_outlet, qui décrivent la distribution a dans un demi-espace, repésentent respectivment la distribution des vitesse de la fraction des molécules qui peuvent interagir avec les pales, avec a_inlet pour les molécules se situant à l’amont du rotor et a_outlet pour celles à l’aval. Comme a_inlet est équivalent à a_outlet, il n’y a pas d’effet de compression. Dans le cas b où les pales se déplacent à une vitesse v_pale, les distributions de vitesse des molécules se situant à l’amont et à l’aval du rotor représentées respectivement par b_inlet et b_outlet, ne sont plus équivalentes à cause de la vitesse de déplacement des pales : b_inletest orientée dans le sens privilégié par l’inclinaison des pales tandis que b_outlet est globalement orientée dans le sens perpendiculaire aux pales inclinées. Ce déséquilibre entre b_inlet et b_outlet permet de créer un effet de compression de l’entrée à la sortie de l’étage.

pale

v

a

b

a)

v

0 b)

v

0

v

v

a

a

b

b

Figure 2.3 – Principe du pompage d’un rotor dans un modèle 2D

TPMC 2.5D

L’hypothèse de base du modèle 2D est que la coupe radiale au rayon moyen quadratique représente de façon relativement fidèle le modèle 3D équivalent. En réalité, le modèle 2D est fiable uniquement à condition que la variation de performance soit toujours linéaire dans la direction radiale. Dans le cas d’une pompe dite de Becker [34] où toutes les pales sont droites avec un angle d’inclinaison constant, cette hypothèse reste valable. En revanche, cette hypothèse n’est plus vérifiée lorsque l’on analyse des pompes industrielles développées plus récemment, pour lesquelles le profil des pales est devenu de plus en plus complexe. Le modèle dit 2.5D a donc été proposé ensuite pour mieux prendre en compte ces variations non-linéaires.

Le modèle 2.5D consiste à discrétiser le rotor dans la direction radiale en créant un certain nombre de tranches circulaires qui peuvent être assimilées au modèle 2D. La performance globale du rotor est assemblée ensuite en effectuant une moyenne géométrique de toutes les tranches créées précédemment.

TPMC 2.5D corrigé

Afin de prendre en compte les effets 3D dus à la hauteur radiale limitée des pales, Chu [15] a introduit deux paramètres correcteurs qui permettent de prédire d’une façon plus précise la performance des pompes turbomoléculaires dans certaines configurations.

La figure 2.4 présente une vue de dessus d’une coupe axiale d’un étage rotor avec h_r la hauteur des pales dans la direction radiale, d₁ la longueur circonférentielle entre les extrémités de deux pales voisines et d₂ celle entre les pieds de pale de deux pales voisines. Par rapport au modèle 2D où la hauteur radiale des pales est considérée comme infinie et où aucun effet de bord dans la direction radiale n’est considéré, le modèle de Chu est censé être plus pertinent grâce à la prise en compte de la paroi du carter et du moyeu. Selon

d

d

w

O

carter

moyeu

ω

Figure 2.4 – Vue de dessus d’une coupe axiale d’un étage rotor

Chu, la vitesse de pompage S₀ doit être corrigée par un facteur η, donné par l’équation (2.10), car la surface du moyeu ne participe pas au pompage puisqu’elle tourne à la même vitesse que les pales. De même, le taux de compression K₀ augmente de ζ, donné par (2.11) en raison de la présence de la surface du carter qui renforce la compression.

η = ^{2hr+ d1}

2h_r+ d₁+ d₂ ^(2.10)

ζ = ^d1

2h_r ^(2.11)

La vitesse de pompage effective S₀^∗et le taux de compression effectif K₀^∗sont donc exprimés :

S₀^∗= S₀· η (2.12)

K₀^∗ = K₀^1+ζ (2.13)

L’étude menée par Chu [15] montre que l’équation 2.13 permet effectivement de mieux prédire le taux de compression, notamment dans le cas de pompes multi-étagée dont le taux de compression global est très élevé. Concernant la vitesse de pompage, l’équation 2.12 n’a pas pu être vérifiée, car la correction apportée par η soit de 0.90 à 0.95 pour les pompes des années 80, est du même ordre de grandeur que les erreurs expérimentales.

TPMC 3D

La première étude tridimensionnelle de l’écoulement dans une pompe turbomoléculaire avec la méthode TPMC est apparue en 1995 dans l’article de Katsimichas [30]. Le calcul a été effectué pour un rotor ayant des pales droites dans un référentiel tournant, et le jeu radial entre l’extrémité des pales et le carter n’a pas été pris en compte par souci de sim-plicité. Les résultats ont mis en évidence l’intérêt du modèle 3D par rapport à l’approche 2D dont nous avons vu précédemment qu’elle suppose de nombreuses hypothèses (non nécessairement vérifiées en pratique dans les pompes actuelles) pour fournir une prédic-tion satisfaisante. Les résultats obtenus par [30] montrent que le modèle 2D est toujours plus pessimiste que le modèle 3D équivalent en ce qui concerne la prédiction du taux de compression.

Dans l’article plus récent d’Amoli [2], une étude a été réalisée dans le référentiel fixe et les surfaces des pales droites sont modélisées par des équations analytiques dans un repère

cylindrique. Ce choix a permis de calculer plusieurs étages avec une approche monolithique. Les résultats ont été validés par rapport aux mesures réalisées par Sawada [52] [53]. Il faut souligner cependant que la méthode proposée par Amoli est valable uniquement pour des pales droites, une topologie de pale que l’on ne trouve quasiment plus dans les pompes industrielles actuelles.