Interaction gaz/paroi

    φ(r) = ∞ r < σ_d φ(r) = − ^κ 0 (η⁰− 1)r(η0−1) r > σ_d ^(1.12) La combinaison des équations 1.12 et 1.11 fournit finalement le modèle le plus réaliste, dont le potentiel intermoléculaire s’écrit :

φ = ^κ

(η − 1)r(η−1) − ^κ

0

(η0− 1)r(η0−1) (1.13) Ce modèle présente quatre paramètres ajustables qui permettent de le caler par rapport aux expériences sur une large gamme d’applications. Il a été introduit par Lennard-Jones en 1924. Un cas particulier est connu sous le nom de potentiel (12-6) de Lennard-Jones avec η = 13 et η⁰= 7 soit : φ = 4 " σd r 12 − σd r 6# (1.14)

où  est le minimum du potentiel qui apparaît à√⁶

2σ_det σ_dest la valeur de r pour laquelle φ(r) = 0.

Ces deux modèles attractif-répulsifs sont illustrés sur la figure 1.19.

Les modèles de l’interaction intermoléculaire jouent un rôle primordial dans la modé-lisation du régime de transition(∼ 0.1 < Kn <∼ 10). Nous discuterons ainsi au chapitre 5 les différents modèles de collisions intermoléculaires basés sur les modèles de l’interaction intermoléculaire qui viennent d’être succinctement décrits, ainsi que leur pertinence par rapport à une application aux pompes TMP/MDP.

1.3.2 Interaction gaz/paroi

Les interactions gaz/paroi jouent également un rôle important dans le comportement des écoulements des gaz raréfiés, tout particulièrement dans le contexte (interne) des TMPs ou

« Sutherland » « Lennard-Jones »



r





r





Figure 1.19 – Potentiel intermoléculaire des modèles répulsifs et attractifs MDPs. Les premières observations des effets de l’interaction de gaz avec une paroi solide sont dues à Knuth et Warburg [32] qui remarquèrent que les débits mesurés à travers des tubes pour de très basses pressions étaient sensiblement plus grands que ce que prévoyait le modèle de Poiseuille issu des équations de Navier-Stokes. Ils expliquèrent alors cet effet par un glissement du fluide à la paroi solide. Très rapidement la complexité du phénomène de l’interaction gaz/paroi a conduit à de nombreuses contributions scientifiques sur le sujet. La première base théorique du concept de vitesse de glissement a été développée par Maxwell en 1878. Maxwell a proposé la première expression de la vitesse de glissement à partir de la loi de distribution de vitesse établie par lui-même :

uslip= u_gas− u_wall= ^{2 − σv}

σv λ^∂u ∂n ⁺ 3 4 µ ρT ∂T ∂t ^(1.15)

où u est la vitesse du gaz, n et t sont des directions normales et tangentielles à la paroi, λ est le libre parcours moyen des particules du gaz, µ est la viscosité du gaz, ρ et T sont la masse volumique et la température, σ_v est le coefficient d’accommodation du moment tangentiel, soit aussi TMAC (Tangential Moment Accommodation coefficient), dont nous préciserons ci-dessous la signification.

Le deuxième terme de l’équation (1.15) est lié au phénomène de transpiration ther-mique [16] : il traduit un glissement dans la direction d’accroissement de la température. En l’absence de variation de la température,ce terme disparaît et l’équation 1.15 prend la forme d’un simple glissement au 1^erordre :

u_slip= u_gas− u_wall= ^{2 − σv}

σ_v ^λ

∂u

∂n ^(1.16)

Cette formule (1.16) est notamment celle qui est implémentée dans un logiciel commerical de simulation d’écoulements tel que Fluent pour traiter des problématiques d’écoulements à basse pression.

Le coefficient TMAC est introduit pour caractériser le comportement des molécules après que celles-ci soient entrées en collision avec une surface solide. Une valeur nulle (σ_v = 0) signifie que toutes les molécules sont réfléchies et une valeur 1 (σ_v = 1) signifie que toutes les molécules sont diffusées. Pour une surface ordinaire, la valeur du TMAC se se situe entre 0 et 1.

Dans le cas d’une molécule réfléchie, celle-ci conserve sa vitesse tangentielle à la surface et voit sa vitesse normale à la surface inversée. La vitesse après la collision est donc

0



 0

1 

1

Figure 1.20 – Illustration sur une coupe en 2D de la signification des différentes valeurs du coefficient TMAC

complètement déterminée. Dans le cas d’une molécule diffusée, celle-ci aura une égale probabilité de se trouver après l’impact dans l’une des directions issues du plan tangentiel à la surface, quel que soit l’angle d’incidence de la molécule avant l’impact. Pour ce qui concerne l’angle de réémission par rapport à la normale de la surface de collision, sa distribution suit une loi en cosinus, (1.17), i.e. une molécule a le maximum de chance d’être réémise dans la direction normale à la surface et zéro chance d’être réémise dans la direction parallèle à la surface.

dn

n ^{= cos θdθ (1.17)}

La valeur du coefficient TMAC est difficile à déterminer car elle dépend de la nature du gaz, du matériau constitutif de la paroi et de l’état de surface de la paroi. En général, une valeur très proche de l’unité (soit le modèle de diffusion) est utilisée pour la simulation des écoulements de gaz raréfiés. Néanmoins, il faut souligner que la compréhension du mécanisme de l’interaction entre la molécule et la surface reste toujours partielle dans la littérature actuelle. Ainsi, pour certains gaz, il est possible que le modèle de diffusion ne permette pas de reproduire correctement les comportements observés en réalité. Ce point sera à nouveau discuté dans les chapitres 4 et 5 du mémoire.

Nous avons décrit dans ce chapitre les principes de fonctionnement des pompes à vide turbomoléculaires et précisé la démarche de caractérisation des performances de telles pompes. Nous avons également mis en évidence la large gamme de régimes d’écoulement qui est décrite par le gaz pompé à travers une pompe à vide et souligné l’importance mais aussi la difficulté d’une modélisation adaptée de cet écoulement. Nous allons préciser au chapitre suivant l’état de l’art des méthodes de dimensionnement des pompes TMP/DMP et justifier notre choix stratégique de développer un outil d’estimation des performances d’une pompe à vide hybride qui soit basé sur une stratégie de type Test Particle Monte Carlo 3D.

Chapitre 2

État de l’art des méthodes de