Polynˆ ome quadratique propos´ e

Le polynˆome quadratique a ´et´e propos´e initialement dans (Gologanu et al., 1997; Forest, 1998; Kruch and Forest, 1998; Forest and Sab, 1998a; Enakoutsa and Leblond, 2009) en ´elargissant les conditions affines usuelles de chargement d’un volume ´el´ementaire afin d’int´egrer l’effet de second gradient dans le proc´ed´e d’homog´en´eisation. Un tel d´eveloppement polynˆomial repr´esente une alternative aux m´ethodes de d´eveloppements asymptotiques multi– ´echelle dans le but de d´eduire des propri´et´es d’ordre sup´erieur, son advantage est d’utiliser une mani`ere simple, sans compter du comportement local lin´eaire ou non–lin´eaire du mat´eriau composite.

Consid´erons au d´ebut un champ de d´eplacement quadratique prescrit `a tout un volume ´el´ementaire V : u∗(x ) = E<sub>∼</sub> · x +1 2D∼ : (x ⊗ x ), u ∗ i = Eijxj+ 1 2Dijkxjxk, ∀x ∈ V (X ) (4.10) o`u E_∼ est un tenseur constant d’ordre deux et D_∼, ayant les propri´et´es de sym´etrie Dijk= Dikj, est un tenseur constant d’ordre trois. Quand X est pris comme le centre g´eom´etrique de V (X ), on calcule successivement :

< u∗(x ) ⊗ ∇x >_{V (X)}= E∼ + D∼ · X , < u

∗

La prescription du champ complet de d´eplacement (4.10) peut ˆetre utilis´ee comme une extension du mod`ele d’homog´en´eisation de Voigt et Taylor, pour lequel seuls les d´eformations sont suppos´ees homog`enes, afin d’estimer les propri´et´es effectives du second gradient. N´eanmoins, comme dans le cas classique, les propri´et´es obtenues sont trop rigides en g´en´eral. Par cons´equent, les conditions quadratiques peuvent ˆetre limit´ees au bord ∂V (X ) de la cellule ´el´ementaire :

u (x ) = u∗(x ) = E_∼ · x +1

2D∼ : (x ⊗ x ), ∀x ∈ ∂V (X ) (4.12)

Cette prescription d´etermine enti`erement les d´eformations moyennes engendr´ees dans la cellule ´el´ementaire, en vertu du th´eor`eme de Gauss :

< u (x ) ⊗ ∇x >_{V (X)} = 1 V Z ∂V (X) u (x ) ⊗ n dS = 1 V Z ∂V (X) u∗(x ) ⊗ n dS = 1 V Z V (X) u∗(x ) ⊗ ∇xdV = 1 V Z V (X) (E_∼ + D ∼ · x )dV = E∼ + D∼ · X (4.13) Cependant, on ne peut rien dire en g´en´eral sur la valeur moyenne du second gradient du d´eplacement dans le volume ´el´ementaire mat´eriel

< u (x ) ⊗ ∇x⊗ ∇x >_{V (X)}= 1 V Z ∂V (u ⊗ ∇x) ⊗ n dS (4.14) car le gradient du champ de d´eplacement n’est a priori ni contrˆol´e ni connu sur la fronti`ere de la cellule, `a partir des seules conditions de Dirichlet. En fait, l’usage des conditions aux limites quadratiques de Dirichlet permet le contrˆole des d´eformations moyennes mais ne donne qu’une information partielle sur les valeurs de leurs gradients (u ⊗ ∇x)(x ) sur le bord. Par cons´equent, aucune information ne peut ˆetre obtenue sur les valeurs de la moyenne de second gradient et cette moyenne ne peut donc pas ˆetre directement contrˆol´ee par les coefficients du polynˆome quadratique. Pour cette raison, la condition < u ⊗ ∇x ⊗ ∇x >V= D∼ doit ˆetre

consid´er´ee comme une restriction suppl´ementaire `a imposer `a la solution du probl`eme aux limites sur le volume ´el´ementaire. Jusqu’`a pr´esent, aucun sch´ema num´erique rigoureux n’a ´et´e propos´e pour imposer cette restriction suppl´ementaire de mani`ere correcte. Cela sera discut´e plus dans la section 4.1.5.

Dans l’homog´en´eisation classique, it est bien connu que l’application de la condition aux limites de d´eformation homog`ene sur une cellule ´el´ementaire de milieu p´eriodique conduit `

a des modules d’´elasticit´e trop rigides (Kanit et al., 2006). Les conditions aux limites p´eriodiques introduisant une fluctuation qui est p´eriodique aux bords sont les conditions les mieux adapt´ees. Une fluctuation doit ´egalement ˆetre introduite dans le cas des conditions quadratiques de chargement. Un champ de fluctuation est ainsi ajout´e sous la forme :

u (x ) = E∼· x +

1

2D∼ : (x ⊗ x ) + v (x ), ui = Eijxj+

1

2Dijkxjxk+ vi, ∀x ∈ V (X ) (4.15) o`u v (x ) est le champ de fluctuation. Le champ de fluctuation peut contribuer ensuite aux moyennes de d´eformation et de gradient de d´eformation :

< u (x ) ⊗ ∇x >_{V (X)}= E∼ + D∼ · X + < v (x ) ⊗ ∇x>V (X) (4.16)

4.1. HOMOG ´EN ´EISATION AU SECOND ORDRE 71

Si la fluctuation est p´eriodique, i.e. si elle prend la mˆeme valeur en deux points homologues de la bordure de la cellule ´el´ementaire, les moyennes des premier et second gradients du champ de fluctuation disparaissent et les moyennes de d´eformation et de gradient de d´eformation peuvent ˆetre contrˆol´ees par les coefficients du polynˆome. Une telle hypoth`ese est compatible avec l’homog´en´eisation au premier ordre classique caract´eris´ee par la prescription du tenseur E<sub>∼</sub>. Mais il n’y pas aucune raison d’avoir une telle exigence de p´eriodicit´e en pr´esence du chargement de gradient de d´eformation, comme l’ont indiqu´e (Yuan et al., 2008). D’autre part, la condition p´eriodique sur le champ de fluctuation doit ˆetre accompagn´ee par des conditions statiques correspondantes afin d’obtenir un probl`eme aux limites bien pos´e. Dans la th´eorie d’homog´en´eisation classique, la propri´et´e d’anti–p´eriodicit´e du vecteur contrainte aux points homologues est requise :

v (x−) = v (x+), t (x+) = −t (x−) (4.18) o`u t = σ<sub>∼</sub>±· n± <sub>est le vecteur contrainte et x</sub>± <sub>sont des points homologues au bord. Quand</sub> un gradient de d´eformation est appliqu´e `a une cellule ´el´ementaire, les vecteurs contraintes ne sont plus anti–p´eriodiques en g´en´eral, comme le montre la figure 4.2 o`u les vecteurs de traction ne sont plus anti–p´eriodiques, l’illustration la plus visible est sur la deuxi`eme ligne (le contenu de ces figures sera d´etaill´e dans la suite). En flexion par exemple, la contrainte peut ˆetre p´eriodique dans une direction mais ne l’est pas dans la direction perpendiculaire `a l’axe neutre.

Quand le champ local de d´eplacement est exprim´e sous la forme (4.15), ce qui est toujours possible, la condition Hill–Mandell (4.9) devient :

< σ_∼(x ) : ε_∼(x ) >_{V (X)}=< σ_∼(x ) >_{V (X)}: E_∼+D

∼

..

. < σ_∼(x )⊗x >_{V (X)}+ < σ_∼(x ) : v (x )⊗∇x >_{V (X)} (4.19)

Lorsque la contribution < σ_∼(x ) : v (x ) ⊗ ∇x >_{V (X)} de la fluctuation au travail global des forces internes disparaˆıt, les d´efinitions suivantes des tenseurs de contraintes et de d´eformations globales sont l´egitimes :

< u (x ) ⊗ ∇x >_{V (X)}= E∼, K∼(X ) =< u (x ) ⊗ ∇x⊗ ∇x >V (X)= D∼ (4.20)

Σ_∼(X ) :=< σ_∼(x ) >_{V (X)}, M_∼(X ) :=< σ_∼(x ) ⊗ x >_{V (X)} (4.21) ainsi le tenseur des contraintes sup´erieures est li´e au premier moment de la distribution du champ des contraintes de Cauchy `a l’int´erieur du volume ´el´ementaire.

Lorsque le champ de fluctuation v est p´eriodique et que le vecteur-contrainte est anti– p´eriodique, la contribution de la fluctuation au travail global des forces internes disparaˆıt clairement. Les d´efinitions pr´ec´edentes des contraintes et de d´eformation sont donc licites. Tel est le cas si D_∼ = 0, i.e dans le cadre d’homog´en´eisation classique. Pourtant, dans le cas g´en´eral D_∼ 6= 0, la fluctuation n’est pas n´ecessairement p´eriodique et ´egalement, il n’y a pas de raison d’esp´erer la disparition de sa contribution `a l’´energie globale. En effet, les identifications (4.20) et (4.21) ne sont licites que dans le cas o`u le d´eplacement est quadratique sur tout le volume, comme dans (4.10). Lorsque le polynˆome est prescrit seulement sur la bordure de la cellule suivant (4.15), rien n’assure que < u (x ) ⊗ ∇x⊗ ∇x >_{V (X)}= D∼, comme discut´e

au-dessus.

Donc, en g´en´eral, l’´energie associ´ee `a la fluctuation ne s’annule pas :

< σ_∼(x ) : v (x ) ⊗ ∇x >_{V (X)}6= 0 (4.22) Cette contribution sera examin´ee dans la section 4.4 et 4.5. Lorsque cette contribution est connue, les tenseurs des contraintes au niveau global sont d´efinis d’une mani`ere implicite par (4.19).

Ainsi, des conditions suppl´ementaires sur la fluctuation restent `a d´efinir afin que la moyenne du gradient de d´eformation puisse ˆetre prescrite sur la cellule ´el´ementaire. C’est aujourd’hui encore une question ouverte.