La proc´edure d’homog´en´eisation ´etendue, se basant sur l’usage de conditions aux limites non–homog`ene polynˆomiales sur la cellule ´el´ementaire du mat´eriau h´et´erog`ene, se base g´en´eralement sur le choix `a priori du milieu g´en´eralis´e cibl´e. Le nombre des coefficients ind´ependants dans le polynˆome consid´er´e doit augmenter si la cin´ematique du milieu global g´en´eralis´e est enrichie. La situation la plus g´en´erale `a l’´echelle macroscopique consid´er´ee dans la litt´erature est le milieu micromorphe. Nous faisons d’abord un rappel de la proc´edure d’homog´en´eisation pour le milieu global micromorphe suivant (Forest, 2002; J¨anicke et al., 2009). Nous montrerons ensuite comment cette situation g´en´erale se r´eduit au milieu global de Cosserat et du second gradient comme des cas particuliers, qui ont ´et´e propos´es ind´ependamment dans (Gologanu et al., 1997; Forest and Sab, 1998a).
5.2.1 Milieu global micromorphe
On rappelle que la th´eorie micromorphe introduit les degr´es de libert´e de microd´eformation repr´esent´es par le tenseur du second ordre g´en´eralement non–sym´etrique, χ
∼(X ). Ces nouveaux d´egr´es de libert´e sont ajout´es `a ceux classiques de d´eplacement,U (X ).
On suppose que le d´eveloppement du gradient de microd´eformation : K
∼(X ) := χ∼(X ) ⊗ ∇X (5.1)
est associ´e avec un travail interne et `a un stockage d’´energie. Il y a ´egalement un prix ´energ´etique, caract´eris´e par la mesure de d´eformation relative
e
∼(X ) := U (X ) ⊗ ∇X − χ∼(X ) (5.2)
`
a payer pour que la microd´eformation diff`ere de la macrod´eformation. La substitution d’un mat´eriau de Cauchy h´et´erog`ene par un milieu homog`ene micromorphe exige la d´efinition des degr´es de libert´e suppl´ementaires comme fonctions des micro–champs. Pour un champ local de d´eplacement u (x ) dans le volume ´el´ementaire V , il a ´et´e propos´e dans le chapitre pr´ec´edent et dans (Forest and Sab, 1998a; Forest, 2002; J¨anicke et al., 2009; J¨anicke and Diebels, 2009; Forest and Trinh, 2011) de d´eterminer le champ homog`ene de d´eformation, qui est le plus proche du champ de d´eplacement r´eel, dans le sens du probl`eme de minimisation suivant : min U(X),χ ∼(X) Z V u (x ) − U (X ) − χ∼(X ) · (x − X ) 2 dV (5.3)
pour un point mat´eriel donn´e X . La proc´edure de minimisation est simple et d´elivre, en prenant X comme le centre de V (X ) :
U (X ) =< u (x ) >V, A∼ =< (x − X ) ⊗ (x − X ) >V (5.4) χ ∼(X ) =< (u (x ) − U (X )) ⊗ (x − X ) >V .A∼ −1=< u (x ) ⊗ (x − X ) > V .A∼ −1 (5.5) o`u le moment quadratique est introduit et suppos´e ˆetre uniforme macroscopiquement dans la suite. La d´efinition du milieu global exige ensuite l’´evaluation des gradients macroscopiques des ddls. Le gradient macroscopique du champ de d´eplacement est encore exprim´e par la
5.2. D ´EFINITION DE MILIEU G ´EN ´ERALIS ´E EFFECTIF 101
moyenne (5.11). Le gradient de la microd´eformation (5.1) est calcul´e en utilisant la d´efinition (5.5) comme dans le chapitre pr´ec´edent et (Forest and Trinh, 2011) :
K∼T(X ) =< (u (x ) ⊗ ∇x) ⊗ (x − X ) > ·A∼
−1
, Kijk=< ui,k(xl− Xl) > A−1lj (5.6) o`u la transposition du tenseur de troisi`eme ordre est appliqu´ee aux deux derniers indices. Par cons´equent, le gradient de microd´eformation peut ˆetre interprˆet´e comme le premier moment de la distribution du gradient de d´eplacement local. La d´eformation relative doit ´egalement ˆetre ´evalu´ee et prend la forme de la diff´erence :
e∼(X ) =< u (x ) ⊗ ∇x>V − < u (x ) ⊗ (x − X ) >V ·A∼
−1 (5.7)
Lorsque le champ de d´eplacement u est une transformation lin´eaire, incluant un mouvement du corps rigide et le gradient de d´eformation s’annule comme il le faut.
Le milieu global micromorphe est caract´eris´e par la forme de la densit´e de travail des forces internes, qui implique trois tenseurs de contrainte, conjugu´ees aux trois mesures de d´eformation : p(i)(U , χ ∼) := Σ∼ : U ⊗ ∇X + S∼ : e∼+ M∼ .. . χ ∼⊗ ∇X =< σ∼: ε∼> (5.8)
Le tenseur des contraintes Σ∼ est pris sym´etrique, alors que le tenseur des contraintes relatives S∼ est g´en´erallement non sym´etrique. Le tenseur des doubles contraintes M∼ ne pr´esente en g´en´eral aucune propri´et´e de sym´etrie par rapport `a ses trois indices.
5.2.2 Le milieu du second gradient
Le mod`ele du second gradient se base sur l’introduction du premier et du second gradients du champ de d´eplacement, U (X ). En particulier, la densit´e de travail des efforts int´erieurs prend la forme :
p(i)(U ) := Σ∼ : U ⊗ ∇X + M∼
..
. U ⊗ ∇X ⊗ ∇X (5.9)
o`u Σ∼ est le tenseur sym´etrique des contraintes simples et M∼ est tenseur des contraintes doubles ou hyper–contraintes, qui est sym´etrique par rapport `a ses deux derniers indices. Le tenseur des contraintes remplit les conditions d’´equilibre :
τ∼· ∇X = 0, with τ∼= Σ∼ − M∼ · ∇X (5.10) en l’absence des forces volumiques ni acc´el´eration. Les lois de comportement relient le premier et second gradients de d´eplacement aux deux tenseurs de contraintes. Elles ont ´et´e pr´esent´ees dans les chapitre pr´ec´edents.
Au niveau macro, le d´eplacement, la d´eformation et le gradient de d´eformation sont les valeurs moyennes des quantit´es correspondantes au niveau local partout dans le VER V qui se compose d’un mat´eriau de Cauchy h´et´erog`ene (Forest and Trinh, 2011) :
U (X ) =< u (x ) >V, U ⊗ ∇X =< u ⊗ ∇x>V (5.11)
K∼ := U ⊗ ∇X ⊗ ∇X =< u (x ) ⊗ ∇x⊗ ∇x >V (5.12) Les mesures de d´eformation K∼ dans ce mod`ele du second gradient sont sym´etriques par rapport aux deux derniers indices. C’est la diff´erence principale avec les mesures de d´eformation du mod`ele micromorphe. L’identification des propri´et´es du milieu substitutif du
second gradient se r´ealise `a travers l’identification de la densit´e de marco–´energie et l’´energie moyenne sur V : < σ∼ : ε∼>V= Σ∼(X ) : E∼(X ) + M∼(X ) .. . K ∼(X ) (5.13)
Le mod`ele micromorphe se r´eduit `a la th´eorie du gradient de d´eformation si la liaison interne χ
∼ ≡ U ⊗ ∇X ⇐⇒ e∼≡ 0 (5.14)
est impos´ee (Forest, 2009).
5.2.3 Milieu global de Cosserat
Le mod`ele de Cosserat est un cas sp´ecial de la th´eorie micromorphe, pour lequel la microd´eformation se r´eduit `a une microrotation pure. Cela am`ene `a limiter la minimisation (5.3) `a χ
∼ anti–sym´etrique ou d’une fa¸con ´equivalente `a un vecteur axial Φ propos´e dans
(Forest and Sab, 1998a) : min U(X),Φ(X)
Z
V
||u (x ) − U (X ) − Φ (X ) × (x − X )||2 dV (5.15)
o`u × d´esigne le produit vectoriel. La mˆeme d´efinition (5.4) est appliqu´ee pour le d´eplacement macroscopique. Le vecteur de rotation de Cosserat macroscopique est la solution de
(trace A∼)Φ + Z V Φ · (x − X )(x − X ) dV = Z V (x − X ) × (u − U ) dV (5.16) o`u le tenseur g´eom´etrique A∼ a ´et´e introduit. Les tenseurs de d´eformation et de courbure de Cosserat sont donc d´efinis comme :
e∼:= U ⊗ ∇ +
∼· Φ , K∼ := Φ ⊗ ∇ (5.17)
L’identification des propri´et´es du milieu substitutif de Cosserat se r´ealise `a travers l’identification de la densit´e de macro–´energie et la moyenne d’´energie dans V :
< σ∼: ε∼>V= Σ∼ : e∼
sym+ S
∼ : e∼
skew+ M
∼ ... K∼ (5.18)
o`u Σ∼ est le tenseur des contraintes sym´etrique, S∼ est le tenseur des contraintes anti– sym´etrique, qui travaille successivement avec les parties sym´etrique et anti–sym´etrique de la d´eformation relative, et M∼ est le tenseur des couples de contraintes.
Dans le cas 2D avec un VER carr´e dont la longueur des cˆot´es est l et X au centre, on peut d´eriver `a partir de (5.16) `a la formule suivante
Φ = 6
l2 < (x − X ) × (u − U ) >V (5.19) qui est ´etablie dans (Forest and Sab, 1998a) et sera utilis´ee dans cette contribution. Si le plan de d´eformation est (e1, e2), donc Φ = Φ3e3. Par suite, il n’existe plus que deux composantes du tenseur de courbure, nomm´ement K31, K32 :
K31= 6
l2 < x1u2,1− x2u1,1 >V, K32= 6
5.3. CONDITION POLYN ˆOMIALE DE CHARGEMENT DU VER 103