Homog´ en´ eisation d’ordre sup´ erieur et conditions aux limites non-

homog`enes

La th´eorie d’homog´en´eisation classique est d´evelopp´ee en respectant la condition de s´eparation d’´echelle (2.147). Pourtant, cette condition n’est pas v´erifi´ee dans de nombreux cas de mat´eriaux r´eels : mat´eriaux `a gros grains, des mat´eriaux multicouches de type sandwich, et lorsque la longueur caract´eristique de sollicitation n’est pas beaucoup plus grande par rapport `a l’h´et´erogn´eit´e du mat´eriau. Afin de trouver un milieu effectif qui peut simuler le comportement global, la m´ethode d’homog´en´eisation classique est ´elargie `a l’homog´en´eisation d’ordre sup´erieur, o`u 4“la strat´egie d’homog´en´eisation” reste inchang´ee mais la condition de s´eparation d’´echelle n’est plus prise en compte. L’apparition de la m´ethode d’homog´en´eisation d’ordre sup´erieur entraine l’utilisation des conditions appel´ees non–homog`enes aux limites. Ces derni`eres se basent sur le d´eveloppement polynomial de Taylor :

u = E_∼.x + 1 2D∼ : (x ⊗ x ) + 1 6D∼ .. .(x ⊗ x ⊗ x ) + .... (2.156) L’ordre du d´eveloppement `a consid´erer pour donner une bonne estimation du comportement effectif fait encore l’objet de discussions et il d´epend ´egalement au mod`ele de milieu continu choisi comme milieu de substitution. Une pr´esentation plus d´etaill´ee de cette nouvelle m´ethode d’homog´en´eisation sera mention´ee dans le chapitre 4.

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Il faut remarquer que dans la convergence des propri´et´es effectives, les conditions p´eriodiques aux limites

ne d´ependent pas de la taille des VEs. Cette strat´egie d’homog´en´eisation reviendra dans le chapitre 4 afin

d’examiner les fluctuations aux bords d’une cellule unitaire p´eriodique.

4

la strat´egie d’homog´en´eisation : attache d’un VER `a un un point mat´eriel en consid´eration, calcul des

Chapitre 3

El´ements bibliographiques

Sommaire

3.1 Mod´elisation des mat´eriaux h´et´erog`enes par le mod`ele de Cosserat 30 3.1.1 Cin´ematique . . . 30 3.1.2 Identification d’un milieu de substitution de Cosserat au niveau global 31 3.1.3 Exemple d’homog´en´eisation d’un mat´eriau multi-couches . . . 32 3.2 Homog´en´eiser des mat´eriaux h´et´erog`enes en utilisant le mod`ele

du second gradient comme MHGE . . . 33 3.2.1 Cin´ematique . . . 34 3.2.2 Exemples . . . 36 3.2.3 Effets de taille . . . 37 3.3 La taille du VER dans l’homog´en´eisation au second ordre . . . 39 3.3.1 Le cas de VER homog`ene . . . 40 3.3.2 Le cas d’un VER h´et´erog`ene . . . 41 Comportement ´elastique lin´eaire . . . 42 Comportement ´elasto-plastique . . . 42 3.3.3 Probl`eme de cisaillement aux bords . . . 42 3.4 Application du mod`ele `a couples de contraintes pour homog´e-

n´eiser un composite biphas´e . . . 48 3.4.1 Premiers essais dans (Ostoja-Starzewski et al., 1999a) . . . 48 Cin´ematique . . . 48 Formulation du probl`eme . . . 50 R´esultats num´eriques . . . 51 3.4.2 Les am´eliorations et d´eveloppements dans (Bouyge et al., 2001a) . . 53 Conditions aux limites en d´eplacement . . . 53 Conditions aux limites p´eriodiques . . . 53 Conditions de contraintes impos´ees . . . 54 Les essais sur deux VER sous diff´erents chargements . . . 54 3.5 Strat´egie de mod´elisation multi-´echelles num´erique pour le

milieu micromorphe . . . 58 3.5.1 Cin´ematique . . . 58 Mesures de d´eformation . . . 59 Contraintes . . . 59 Energie . . . 59 3.5.2 D´efinition des ddls `a partir de la microstructure . . . 59 3.6 M´ethode de correction des modules homog´en´eis´es d’ordre

3.1

Mod´elisation des mat´eriaux h´et´erog`enes par le mod`ele de

Cosserat

Tr`es tˆot, certains auteurs ont propos´e de remplacer un milieu composite par un milieu homog`ene de Cosserat afin d’am´eliorer la pr´evision de la r´eponse des structures `a des sollicitations complexes (Besdo, 1985). Une telle proc´edure d’homog´en´eisation syst´ematique a ´et´e propos´ee plus r´ecemment par (Forest and Sab, 1998a). On a chois de commencer par expliciter ces travaux car les d´eveloppements de ma th`ese en constituent une extension. Dans l’homog´en´eisation classique, un mat´eriau h´et´erog`ene dont la micro-structure est p´eriodique, est remplac´e par un mat´eriau homog`ene ´equivalent. Cependant, cette m´ethode n’est valable que dans le cas o`u la taille caract´eristique de la micro-structure est tr`es petite devant celle de la structure en consid´eration. Il faut remarquer que le mat´eriau h´et´erog`ene et son mat´eriau homog`ene ´equivalent sont consid´er´es en tant que milieux classiques autrement dit milieux de Cauchy ou bri`evement milieu continu, qui est tr`es connu dans les ouvrages de m´ecanique. Pour mod´eliser plus pr´ecis´ement le comportement des mat´eriaux, on a donn´e autre mod`eles plus riches en terme de cin´ematique du point mat´eriel. Dans ces mod`eles, les degr´es de libert´e `

a chaque point sont plus de trois (comme dans le milieu classique). Le nombre des degr´es de libert´e sont 6, 9, etc en fonction de mod`ele. Mais il y toujours les 3 ddls du milieu classique (le vecteur de d´eplacement) et de nouveaux degr´es de libert´e sont introduits.

Il y a aussi des travaux sur l’homog´en´eisation dans lesquels le mat´eriau h´et´erog`ene initial et le mat´eriau homog`enes ´equivalent final sont tous mod´elis´es par des mod`eles g´en´eralis´es. Dans cette th`ese, il ne sera pas question de ce type d’approches, cf. (Forest et al., 2001). Dans la r´ef´erence (Forest and Sab, 1998a), les auteurs ´emettent l’id´ee de remplacer un mat´eriau h´et´erog`ene qui est consid´er´e comme un milieu classique, par un mat´eriau ´equivalent qui est mod´elis´e par un mod`ele de Cosserat. Pour bien illustrer leur id´ee, ils donnent un exemple de l’homog´en´eisation d’un mat´eriau sandwich dont le cœur est beaucoup plus raide que les peaux. De plus, pour simplifier le probl`eme, le sch´ema de l’homog´en´eisation est donn´e sur un probl`eme plan. Nous d´etaillons cette approche dans la suite.