Lorsqu’un dipôle est placé dans une cavité, ses propriétés d’émission spontanée sont mo-difiées [14]. Ce couplage émetteur-cavité est d’autant plus important que le facteur de qualité de la cavité est grand. Cet effet a été mis en évidence en physique du solide dans des mi-crocavités semiconductrices à puits quantiques et à conduit à la découverte des polaritons de microcavités [15].
1.1.1 Excitons de puits quantiques
Dans un semi-conducteur à température nulle, un électron de la bande de valence peut être excité vers la bande de conduction par l’absorption d’un photon d’énergie plus grande que la bande interdite (gap). Il laisse place à une lacune, aussi appelée trou, de charge opposée.
L’électron ayant une charge négative et le trou une charge positive, l’attraction coulombienne entre ces deux particules diminue l’énergie d’interaction de la paire qui peut former un exciton1. La charge de la quasi-particule ainsi formée est nulle. Lorsque la densité électronique est faible, les excitons ont un comportement bosonique, c’est-à-dire lorsque la distance entre excitons est plus grande que leur rayon de Bohr. Ceci peut se traduire par la relation n a30 <<1, où n est la densité d’excitons et a0 leur rayon de Bohr. La recombinaison de l’électron et du trou est
1. Un exciton est formé d’une particule négative et d’une particule positive, il possède des états d’énergies et des orbitales analogues à celles de l’atome d’hydrogène.
Figure 1.1 – Représentation d’une microcavité possédant deux puits quantiques. La microcavité est réalisée par dépôt de couches successives de semi-conducteurs. Deux puits quantiques sont placés au centre de la cavité et le champ magnétique intra-cavité est représenté en rouge. Figure extraire de la thèse de Hugo Flayac [18].
accompagnée de l’émission d’un photon. L’énergie d’un exciton est donnée par Eχ(k) =E0χ+h̵2k2
2m∗χ, (1.1)
oùE0χest l’énergie de l’état excitonique et le second terme correspond à son énergie cinétique, avec m∗χ la masse effective de l’exciton, k le vecteur d’onde dans le plan du puits quantique et h̵ est la constante de Planck réduite. Cette relation de dispersion de forme parabolique est tracée sur la figure 1.2 (en trait pointillé bleu) pour m∗χ≃0,1me, avec me=9,109×10−31kg la masse de l’électron [16].
1.1.2 Photons de microcavité
Dans la partie précédente nous avons vu que la création et la destruction d’un exciton se fait par absorption et émission d’un photon. Le couplage entre les photons et les excitons est réalisé par l’utilisation d’une cavité optique. Ces cavités sont formées par des couches successives de semi-conducteurs formant des miroirs de Bragg de grande réflectivité (voir Figure1.1). Lorsque un photon pénètre dans la cavité, il effectue plusieurs aller-retour avant de s’en échapper. Le nombre d’aller-retour est donné par la finesse de la cavité, ici de l’ordre de 3000. Dans ce cas, le temps de vie du photon dans la cavité est de l’ordre de 10 ps [17]. Le couplage entre les photons et les excitons est d’autant plus fort que le photon passe de temps dans la cavité.
L’énergie des modes optiques qui peuvent se propager dans la cavité dépend de leur vecteur d’onde k par la relation Eφ(k) = ̵hc∥k∥/nc, avec c la vitesse de la lumière dans le vide et nc l’indice du milieu intracavité2. Les miroirs de Bragg formant la cavité sont conçus pour avoir une résonance dans la transmission de l’onde incidente à la longueur d’onde λ0. La composante normale du vecteur d’onde qui peut entrer dans la cavité est donc contrainte par
∥k∥ = 2π
λ0nc. (1.2)
2. La microcavité étant formée de couches semiconductrices d’indices différents,ncdésigne l’indice effectif.
De cette façon, la relation de dispersion des modes dans la cavité peut s’écrire
où k est le vecteur d’onde dans le plan de la cavité. Pour des angles d’incidences faibles, c’est-à-dire lorsque le vecteur d’onde orthogonal à la cavité ∥k∥ >> ∥k∥, cette relation peut s’écrire sous une forme parabolique :
Eφ(k) ≃hc
λ0 +h̵2k2
2m∗φ, (1.4)
oùh est la constante de Planck et m∗φ la masse effective du photon de cavité définie par m∗φ≡n2ch
λ0c. (1.5)
Une estimation rapide montre que cette masse est 4 ordres de grandeur inférieure à la masse de l’électron. La relation de dispersion des photons de cavité a donc une courbure autour de ∥k∥ = 0 µm−1 beaucoup plus importante que celle des excitons (voir Figure 1.2).
Ainsi, pour des petits angles d’incidence, c’est-à-dire pour deskpetits, la relation de dispersion des excitons pourra être approximée par une constante (voir Figure1.2, droite). Cette constante est sa valeur à l’origine, soitEχ(k) ≈Eχ(0) et sera prise comme origine des énergies.
Figure 1.2–Relation de dispersion des excitons et des photons de cavité.Ces courbes sont tracées à partir des équations (1.4) et (1.1) normalisées à l’énergie des excitons. La masse des excitons étant beaucoup plus grande que la masse des photons de cavité, leur courbe de dispersion est beaucoup plus large.
1.1.3 Polaritons excitoniques
Dans le cas d’une cavité de très grande finesse (ici F = 3000) et d’une densité faible d’excitons, le hamiltonien d’interaction entre excitons et photons dans la microcavité s’écrit
Hˆ = ∑
où φˆ†k et φˆk (respectivement χˆ†k et χˆk) sont les opérateurs de création et d’annihilation3 de photons de cavité (respectivement d’excitons) etkle vecteur d’onde dans le plan de la cavité.
Les deux premiers termes de cet hamiltonien sont associés respectivement aux photons de cavité et aux excitons libres alors que le troisième terme décrit l’interaction entre un exciton et un photon, c’est-à-dire l’échange d’énergie entre ces deux particules. Les énergies respectives des photons et des excitons sont notées Eφ(k) et Eχ(k) (voir Équations (1.4) et (1.1)). La fréquence de Rabi du vide ΩR donne l’intensité du couplage entre les photons et les excitons, c’est-à-dire la fréquence à laquelle le système passe d’un état à l’autre.
Les deux états propres de cet hamiltonien sont des états mixtes, superpositions linéaires entre un exciton et un photon, dont les opérateurs annihilation s’écrivent
⎧⎪⎪⎨⎪⎪
et leurs relations de dispersions respectives sont
EPB,PH(k) = Eφ(k) +Eχ(k)
2 ±
√δ2(k) +4̵h2Ω2R
2 , (1.8)
avec δ(k) = Eφ(k) −Eχ(k) le désaccord entre les énergies du photon et de l’exciton. Les coefficients Xk et Ck sont appelés coefficients de Hopfield et leurs modules au carré tra-duisent respectivement les fractions excitoniques et photoniques des polaritons ainsi formés.
Ces coefficients valent
et respectent la normalisation Xk2 +Ck2 = 1. Il est important de noter que ces coefficients dépendent fortement du désaccord photon-exciton δ(k). En général, le désaccord entre ces énergies est donné pour k=0, on notera donc δ0 ≡δ(0).
Les opérateurs pˆk etqˆk sont des opérateurs bosoniques qui correspondent aux opérateurs polaritoniques de basse et haute énergies. Ainsi, dans la base des états propres, le hamiltonien du système couplé s’écrit dé-pendance par rapport au vecteur d’onde k dans le plan de la cavité ainsi que l’évolution des coefficients de Hopfield sont données Figure 1.3 pour δ0 =0.
3. Ces opérateurs respectent les règles de commutation canoniques du type[ˆak,ˆa†k] =δk,k′, où ˆak et ˆa†k sont des opérateurs bosoniques d’annihilation et de création de particules de vecteur d’onde k, et δk,k′ le symbole de Kronecker.
Interaction polariton-polariton et condensation de Bose-Einstein Les excitons sont constitués d’une paires électron-trou de charges opposées et sont donc susceptibles, pour des densités élevés, d’interagir entre eux. Ces interactions peuvent en première approximation s’écrire sous la forme d’un hamiltonien de collision
Hˆχ,χ= 1 2 ∑
k,k′∑
q
Vχ,χ(0)χˆ†k+qχˆ†k′−qχˆkχˆk′, (1.11) où Vχ,χ(0) est le potentiel d’interaction entre excitons et hq̵ est l’impulsion échangée entre un exciton de vecteur d’onde k et un autre de vecteur d’onde k′. Cet hamiltonien traduit la destruction de deux excitons de vecteurs d’ondek et k′ accompagnée de la création de deux excitons à k′ −q et k+q. Ce phénomène de collision est à l’origine de la relaxation des polaritons vers des états d’énergies plus basses.
k [μm-1]
Figure 1.3–Relation de dispersion des polaritons hauts et bas.Les courbes en pointillés représentent les énergies des photons de cavité et des excitons en fonction du vecteur d’ondek dans le plan de la cavité, pour un désaccord δ0 = 0. Le couplage entre ces deux systèmes donne lieu à de nouveaux états propres dont les énergies sont tracées en traits pleins ; elles correspondent aux polaritons de branches haute (PH) et basse (PB). Dans ce cas particulier, la fréquence de Rabi est l’écart d’énergie entre les minima des deux branches. Le nuancier donne l’évolution des coefficients de Hopfield qui traduisent les fractions excitoniques et photoniques des polaritons (voir équation (1.9)). Pour un vecteur d’onde nul, le couplage est maximal, alors que pour des grands vecteurs d’onde, les états ne sont pas couplés.Figure extraire de la thèse de Simon Pigeon [19].