Points caractéristiques d’une pièce

Deux types de points sont associés à une pièce : les points qui correspondent à des sommets concaves, et les points de départ et d’arrivée des itinéraires depuis et vers la pièce.

2.3.2.2.1. Sommets concaves

Une pièce est non convexe (nous dirons concave) si au moins un de ses sommets est concave. Un sommet est concave quand ses deux murs forment un angle de plus de 180°, cet angle étant mesuré à l’intérieur de la pièce (le point C dans la Figure 90). Un tel sommet est synonyme d’une jonction qui brise un mouvement rectiligne comme illustré dans la figure suivante : le déplacement du point A vers le point B n’est pas un mouvement rectiligne, il est la somme de deux mouvements rectilignes et d'un mouvement circulaire.

Exemple d’un point concave

Quand un sommet est concave, il faudrait donc lui associer des arcs de cercle pour le contourner, ces arcs dépendant des positions relatives du point qui précède et du point qui suit, dans la trajectoire. Dans le cas de la Figure 90, ces deux points étant � et �, l'arc va de �′ à �′ mais avec d'autres points que � et �, l'arc aurait d'autres extrémités (mais il serait toujours porté par le même cercle). Compte tenu des complications que cela amène dans la mise en œuvre, compte tenu aussi du fait qu'il s'agit d'un problème très annexe par rapport au sujet de cette thèse et compte tenu du très faible gain que cela amène sur la longueur de l'itinéraire, nous nous somme contenté de placer un point caractéristique sur la bissectrice de l'angle formé par les deux murs, à intersection des parallèles aux deux murs à une distance R (voir le point D dans la figure ci-dessus).

Il n'y a pas à craindre que ce point soit placé à une distance excessive sur la bissectrice car, dans la construction du pourtour, les angles très concaves ont été biseautés.

Si la pièce est convexe (tous les coins sont convexes), aucun point caractéristique de cette sorte n’est utile car tout point dans la pièce (pas trop proche des bords) peut être atteint directement depuis n’importe quelle porte.

2.3.2.2.2. Points de départ de la pièce

Quand un itinéraire entre deux pièces est demandé, il faut décider de quel point on part dans la première pièce et sur quel point de la deuxième pièce on arrive. Ces points de départ et d'arrivée ne

de l'itinéraire. De plus, l'itinéraire entre deux pièces partageant une porte serait de longueur nulle, ce qui ne reflète pas la réalité.

La solution la plus intuitive pour pallier à ce problème consiste à choisir le centre de la pièce comme point de départ et d'arrivée. Néanmoins, le centre d’une pièce d’une forme quelconque n’est pas si simple à définir, en particulier quand la pièce est de forme concave ; par exemple, le centre de masse d'une pièce en L peut être à l'extérieur de la pièce (Figure 91).

Le centre de masse G de la pièce en L est en dehors de la pièce

De plus, et comme le montre la figure suivante (Avec D ≈ 2 ∗ �), en partant d'un point "central", on prend le parti de négliger environ une demi-largeur de la pièce dans la longueur de l'itinéraire de cette pièce vers une autre. Dans le souci de ne pas sous-estimer ces longueurs nous n'avons pas retenu cette solution.

Exemple d’un point de départ situé au centre d’une pièce avec deux portes

Notre principal objectif dans le choix des points de départ est de ne pas sous-estimer la distance parcourue dans la pièce lorsque l'occupant la quitte pour une autre pièce. Ceci a orienté notre choix vers le point le plus éloigné de la ou des sorties. Ceci étant, quand il y a plus d'une porte, s'éloigner de l'une peut rapprocher de l'autre. Nous avons donc attribué à une pièce autant de points de départ qu'elle a de portes.

Pour une porte donnée, le point qui lui est associé est le point le plus éloigné parmi tous les points de G

plus proche de cette porte que de toute autre porte. La Figure 93 illustrede manière approximative

cette partition dans le cas d'une pièce à 2 portes : la zone foncée est l'ensemble des points plus proches de la porte du haut que de la porte de droite ; le point de départ pour la porte du haut est Dep1, le plus éloigné de ces points.

Les points de départ d'une pièce à deux portes

Le terme « approximatif » est mis en évidence dans la phrase qui précède car, pour calculer les points de départ, nous avons, dans le but de réduire les temps de développement, utilisé une recherche approchée. Avant de la présenter, notons que les points situés dans une bande de largeur R le long du pourtour de la pièce ne peuvent être atteints par le centre du cercle qui approche l'occupant et, donc, ne peuvent être des points de départ ; ils doivent être exclus de la recherche ; les points Dep1 et Dep2

de la figure précédente sont donc faux. Cette bande interdite est limitée intérieurement par un polygone « parallèle » au pourtour de la pièce : l'offset. Le Chapitre II donne des éléments sur la méthode de calcul de cet offset. Il reste à choisir, dans la zone du plan incluse dans l'offset, les points qui seront les points de départ. Nous avons conjecturé que ces points se situent nécessairement sur l'offset et c'est pour les trouver que nous utilisons une méthode approchée : des points �_C sont placés à intervalle régulier sur l'offset, à 50 �� les uns des autres dans le prototype logiciel (Figure 94).

Offset d’une pièce

Dep2

Pour chaque point �_C, on calcule sa distance à chaque porte et on en déduit de quelle porte il est le plus proche. Ce calcul de distance, donc de plus court chemin, est possible car, à ce stade, les points caractéristiques des portes et des sommets concaves sont déjà calculés. Un graphe des déplacements possibles dans la pièce est donc déjà disponible (Figure 95.a). Les nœuds de ce graphe sont les points caractéristiques - des portes et des points concaves - et il y a un arc entre deux nœuds si et seulement si le segment qui relie les points correspondants est à une distance supérieure à � de tous les murs de la pièce, ce qui implique aussi qu'il ne les coupe pas. Cette contrainte qu'un « segment de déplacement doit être à une distance supérieure à � de tous les murs » est nécessaire pour que l'occupant qui suivrait ce segment ne se heurte pas aux murs.

(a) Le graphe des déplacements possibles entre points caractéristiques d'une pièce et (b) les ajouts à ce graphe pour le calcul de la porte la plus proche d'un point �_Cde l'offset

Il suffit de compléter ce graphe en y ajoutant temporairement un sommet pour le point �_Cet des arcs de �_C vers les points caractéristiques qu'il est possible d'atteindre avec un mouvement rectiligne (il y en a trois dans l'exemple de la Figure 14.b) ; il est alors possible de calculer le plus court chemin de �_C

vers chaque porte pour savoir à quelle porte il faut l'associer (celle dont il est le plus proche). �_C et les arcs incidents peuvent alors être supprimés du graphe. Ensuite, si �_Cétait plus éloigné de sa porte que l'actuel point associé à cette porte, il remplace ce point. De proche en proche, on obtient ainsi, pour chaque porte, le plus éloigné des points les plus proches de cette porte que de toute autre porte. On ajoute alors ces points de départ au graphe des déplacements possibles dans la pièce, ainsi que les arcs qui les connectent aux autres sommets (Figure 14.c). Du fait de l'échantillonnage, on sait que ces points de départ sont proches des points de départ théoriques, à défaut de leur être exactement égaux, mais les erreurs induites sur les longueurs des itinéraires entre pièces sont suffisamment faibles pour que cela ne soit pas préoccupant.

Les exemples qui précèdent montrent des points de départ situés sur des sommets de l'offset. Ce n'est cependant pas systématique. Dans la Figure 96, on constate que les points de départ sont cette fois strictement dans un segment de l'offset.

Des points de départ qui ne sont pas des sommets de l'offset (l'offset n'est pas représenté)