Placement des portes

Une fois que les dimensions et les positions sont figées, le placement des portes peut commencer. Deux principaux critères impactent cette opération.

- Le premier est la distance minimale (appelée �������������� dans Figure 53) autorisée entre une porte et un mur autre que celui qui contient la porte ; ceci est particulièrement utile lorsque les handicaps sont pris en compte. Il sera détaillé dans la section (5 - Gestion du handicap -).

- Le second critère est l’obligation de satisfaire des contraintes sur la longueur ou la valeur des chemins et cycles fréquents (comme le chemin du salon à la cuisine ou le cycle matinal : chambre à coucher – toilettes – salle de bain – cuisine – chambre à coucher).

Note : pour simplifier les explications, nous utilisons le terme « chemin » pour désigner un chemin, une chaine, un circuit ou un cycle habituellement différenciés dans la théorie des graphes.

Optimiser un chemin ne se réduit pas à minimiser sa valeur : dans certains cas, il est souhaitable d’éloigner une pièce d’une ou plusieurs autres pièces. Par exemple, il peut être souhaité de ne pas placer les toilettes à côté du salon. Par conséquent, une contrainte de chemin est l’agrégation de trois informations : le chemin lui-même (la séquence des pièces, notée (�_C)_{[ Û Ü Û Ý}, où � est le nombre de pièces du chemin), la nature de l’optimisation (≤ pour une minimisation et ≥ pour une maximisation) et un seuil �, qui est sa valeur minimale tolérée (respectivement maximale) dans le cas d’une maximisation (respectivement minimisation).

L’approche de placement de portes a été conçue avec l’hypothèse selon laquelle une seule porte est nécessaire pour chaque pièce. Pour la plupart des appartements, c’est une condition acceptable. Cela peut éventuellement être gênant pour un grand salon ou une chambre ouvrant à la fois sur un couloir et sur un jardin mais, pour notre première version du logiciel développé, nous avons considéré que c’était suffisant. De plus, cette hypothèse réduit les chances d’avoir un aménagement avec des chambres en enfilade. L’enfilade est souhaitable dans un musée ou un magasin parce qu’elle facilite la circulation d’un grand nombre de personnes mais elle est habituellement mal acceptée dans un logement.

Les quatre principales entrées de la procédure de placement des portes sont l’aménagement provenant de la première étape, la distance ��������������, la largeur des portes, qui est déduite du diamètre de l’occupant ou des normes locales de construction et les contraintes sur les chemins à minimiser et à maximiser. La méthode commence par créer plusieurs portes candidates sur chaque mur qui n’est pas superposé à un mur extérieur. La densité des portes est dictée par le pas de discrétisation, la distance entre les centres des portes consécutives ; les portes candidates peuvent donc se chevaucher. Dans Figure 54, les portes candidates sont marquées en trait rouge pour les rendre plus visibles. Une approximation polygonale du plus court chemin est alors calculée entre toutes les paires de portes candidates. À cette fin, un graphe est calculé. Dans ce graphe, un sommet est créé pour chaque porte candidate (sur un point situé en face du milieu de la porte, à une distance de � - le rayon de l’occupant -). Quatre sommets extrêmes sont aussi créés pour chaque pièce ; ils sont positionnés à l’extérieur des pièces, sur les bissectrices des coins à une distance de √2 ∗ �. Les arcs du graphe sont tous les segments de droite qui relient deux sommets différents en n’étant jamais à une distance inférieure à � d’une quelconque pièce du logement (le pourtour du logement inclus). Cette contrainte garantit que l’occupant, s’il suit un segment, ne se heurte à aucun mur du logement. La Figure 54 suivante montre un tel graphe. Le plus court chemin entre deux portes est obtenu en calculant, dans le graphe, le plus court chemin entre les sommets associés à ces deux portes et c'est parce que tous les arcs du graphe sont des segments que les plus courts chemins calculés sont des approximations polygonales des plus courts chemins réels. Cette approximation est une majoration : la plupart des composants d'un plus court chemin dans un environnement où les obstacles sont des rectangles sont des segments ; c'est seulement au moment de tourner autour d'un coin de pièce que des arcs de cercles sont nécessaires. En ne calculant pas ces arcs et en les remplaçant par des segments qui joignent le sommet placé en vis à vis du coin à contourner, on surestime donc la longueur du plus court chemin. Cette majoration est cependant très faible et nous avons estimé qu'elle ne faussait pas significativement les valeurs.

Le graphe utilisé pour les calculs des itinéraires

Une porte est alors choisie pour chaque pièce avec le modèle linéaire suivant. L’idée générale, derrière ce modèle, est de sélectionner parmi toutes les configurations de portes qui satisfont toutes les contraintes d’optimisation de chemins (incluant les contraintes de minimisation et de maximisation), celle où les distances entre les pièces sont minimisées.

Note : le graphe de mobilité construit plus haut permet d’évaluer les valeurs des chemins entre toute paire de portes potentielles. Pour la conception du modèle mathématique pour le choix des portes à installer, le graphe est simplifié en remplaçant chaque chemin par un arc direct portant la valeur du chemin auquel il est substitué.

3.1.Les entrées

�: le nombre de pièces.

�_�: le nombre de portes candidates pour la pièce �.

�_�,�: la fréquence de déplacement journalière de la pièce � vers la pièce �.

�_{�,�,�,�} : la distance entre la porte �, de la pièce � et la porte � de la pièce �.

Notre : Dans un souci de généralité et en prévision de futurs développements, il n’est pas supposé que

�_C,D,w,á= �_D,C,á,w. Par exemple, il se peut que le chemin allant de la pièce � à la pièce � contienne une rampe ou des marches et, si l’effort est considéré à la place de la distance pour évaluer la valeur d’un chemin, il est clairement différent dans un sens et dans un autre.

3.2.Les variables

�_{�,�,�,�}: 1 si et seulement si le chemin retenu pour aller de la pièce � à la pièce � commence à la porte candidate � de la pièce � et arrive à la porte candidate � de la pièce � ; 0 sinon. Il est pratique d’imaginer

�_C,D,w,á comme une valeur booléenne indiquant s’il existe (1) ou non (0) un arc entre la porte � de la pièce � et la porte � de la pièce �.

3.3.Le modèle mathématique

Avec ces conventions, le modèle mathématique pour le placement des portes est le suivant :

��������� � = ^Eâ (�_CDwÚwâ . �_CDwÚwâ. �_CD+ �_DCwâwÚ . �_DCwâwÚ. �_DC) w_âZ[ EÚ w_ÚZ[ Y DZCz[ Yx[ CZ[ �. � (1) �_CDwÚwâ = �_DCwâwÚ ∀ �, �, �_C, �_D ∈ 1, � A× 1, �_C × 1, �_D , � ≠ � 2 ^EÚ ^E_wâ^â_Z[�_CDwÚwâ wÚZ[ = 2 ∀ �, � ∈ 1, � ², � ≠ � 3 ^EÚ �_CDwÚwâ wÚZ[ = ^Eå �_äDwåwâ wåZ[ ∀ �, �, ℎ, �_D ∈ 1, � •× 1, �_D , � ≠ � ≠ ℎ 4 ^bx[_CZ[ ^E_wç^éÚ_Z[ ^E_wè^éÚæç_Z[ �_{GÚ,GÚæç,wç,wè} . �_{GÚ,GÚæç,wç,wè} ^≤_≥ �, ���� �ℎ���� �ℎ����

3.4.Explications des contraintes

La contrainte (1) indique que si le chemin allant de la pièce �à la pièce � emprunte la porte �_C et la porte �_CD, alors le chemin inverse doit utiliser les mêmes portes sinon on risque, pour chacune des deux pièces, d’utiliser une porte différente pour la quitter et pour y entrer, ce qui veut dire une sélection de plus d’une porte par pièce.

La contrainte (2) exige le choix d’exactement un arc (chemin) pour l’aller et un arc pour le retour pour chaque couple de pièces � et � ( �_CDwÚwâ = �_DCwâwÚ= 2).

Ces deux contraintes ne sont pas suffisantes pour garantir que chaque pièce a seulement une porte. Par exemple, trois pièces avec deux portes candidates chacune, pourraient être connectées de cette façon : �_[,A,[,[ = �_A,[,[,[ = �_[,•,A,[= �_•,[,[,A= �_A,•,A,[ = �_•,A,[,A= 2 (Figure 55). Dans ce cas, il y a bien un unique chemin de chacune des trois pièces vers chaque autre pièce donc (2) est satisfaite ; de plus, pour chaque couple de pièces, le chemin aller et le chemin retour utilisent les mêmes portes donc (1) est satisfaite. Pourtant, deux portes sont utilisées pour la pièce 1 et la pièce 2. C’est la raison pour laquelle la contrainte (3) est nécessaire : �, � et ℎ sont trois pièces différentes, �_D est une porte candidate de la pièce �. Le terme gauche de (3) est le nombre total d’arcs (chemins) depuis toutes les portes de la pièce � vers la porte �_D de la pièce �. D’après la contrainte (2), la valeur de ce terme ne peut être que 0 ou 1 ; si cette valeur est de 0, alors le terme de droite de cette contrainte doit être nul aussi, ce qui interdit à tout chemin de ℎ à � d’emprunter �_D; en d’autres termes, si le chemin entre � et

� n’emprunte pas la porte �_Dalors cette porte ne peut être utilisée pour d’autres arcs entre la pièce �

et le restant des pièces. Symétriquement, si la valeur du terme gauche est 1, alors il existe un chemin allant de � à � en empruntant la porte �_D et, d’après la contrainte (2), ce chemin est le seul chemin de

� à � ; et donc, le second terme doit aussi valoir un, ce qui veut dire qu’il y a un seul et unique chemin de ℎ à j qui utilise la porte � aussi. Autrement dit, tous les chemins allant de n’importe quelle pièce à

la pièce � doivent utiliser la même porte pour accéder à � ; ainsi, une seule porte sera choisie pour la pièce � et c’est évidemment vrai pour toutes les autres pièces.

Exemple d’une sélection de portes sans considérer la troisième contrainte

La contrainte (4) permet de traduire les contraintes sur l’optimisation des chemins. Les deux sommations intérieures calculent les distances entre chaque paire de pièces consécutives d’un chemin. La sommation principale est la valeur du chemin.

Note : une modélisation mathématique alternative et peut être plus intuitive aurait été d’utiliser des variables de décisions binaires pour chaque porte � de chaque pièce � : �_C,w (1 si la porte � de la pièce i est choisie, 0 sinon). La contrainte pour choisir uniquement une porte par pièce serait évidente mais, d’autre part, la formule pour calculer la distance entre chaque paire de pièces consécutives serait quadratique : �_GÚ,wç . �_GÚæç,wè . �_{GÚ,GÚæç,wç,wè} E_éÚæç wèZ[ E_éÚ wçZ[

3.5.Explications de la fonction objectif

Comme expliqué au-dessus, la fonction objectif permet de sélectionner l’ensemble de portes qui minimise la somme des distances entre toutes les paires de pièces. Autrement dit, dans la limite où cela est compatible avec les contraintes sur les longueurs des chemins, on réduit le plus possible les itinéraires dans le logement.