Planification du séchage par programmation mixte en nombres entiers

entiers (MIP) et fut développé par Marier et al. (2015). Dans ce cas-ci, le modèle crée ses propres plans de chargement. Il faut donc lui fournir les dimensions des séchoirs et des paquets de bois pour qu’il respecte l’espace disponible. Cela n’était pas nécessaire pour l’utilisation du modèle CP, où le programme prend les décisions de planification à partir d’une liste de plans construite manuellement en fonction de la capacité des séchoirs. Aussi, le modèle MIP réalise automatiquement la planification du rabotage approximative. Toutefois, elle n’est pas prise en compte dans la recherche puisque chez PFR toutes les usines ne procèdent pas nécessairement aux deux étapes de transformation. Il est ainsi indiqué dans les paramètres de recette que les produits qui sortent des séchoirs sont équivalents à ceux qui sortent du rabotage.

Tel que décrit dans l’article de Marier et al. (2015), le modèle MIP ne permet pas d’obtenir directement un plan complet. Il est donc seulement utilisé ici pour déterminer le prochain plan de chargement qui devrait être planifié. Il faut utiliser uneheuristique de planification multi-périodes proposées par Gaudreault et al. (2010) où l’horaire des séchoirs est rempli période par période. Ainsi, à chaque instant t où un séchoir est libre, le programme fait rouler le MIP pour construire le prochain plan de chargement à planifier selon la fonction objectif et la disponibilité des produits. Il ajuste les inventaires et la demande, puis calcule le prochain instant t selon la durée de séchage. Ce processus itératif continu jusqu’à ce que le plan soit complet.

Dans ce cas-ci, l’objectif est d’utiliser l’inventaire disponible pour construire un plan de chargement respectant les règles et dimensions des séchoirs pour permettre de minimiser les retards tout en considérant les priorités de produits. Les ensembles, paramètres et variables utilisés dans le modèle sont les suivants:

Ensembles :

𝑅 Ensemble des rails de séchoir r. 𝑅 = {1, … , 𝑟𝑚𝑎𝑥_};

𝐺 Ensemble des rangées de séchoirs g. 𝐺 = {1, … , 𝑔𝑚𝑎𝑥_};

𝑄 Ensemble des règles de séchage q; 𝐿 Ensemble des longueurs de produits l; 𝐻 Ensemble des hauteurs de produit h; 𝑃 Ensemble des produits p;

𝑃𝑐𝑜𝑛 _{Sous-ensemble des produits p séchés, sortant des séchoirs et entrant au rabotage. 𝑃}𝑐𝑜𝑛_{⊆ 𝑃;}

𝑃𝑑𝑒𝑚 _{Sous-ensemble des produits p rabotés, sortant du rabotage. 𝑃}𝑑𝑒𝑚_{⊆ 𝑃;}

𝑍 Ensemble des processus de production z;

Paramètres

𝑇 Nombre de périodes t dans l’horizon de planification ; ℎ𝑚𝑎𝑥 _{Hauteur maximale que peut contenir le séchoir;}

𝑔𝑚𝑖𝑛_{, 𝑔}𝑚𝑎𝑥 _{Nombre de rangées minimales et maximales par rail;}

𝑟𝑚𝑎𝑥 _{Nombre entier de rails dans le séchoir;}

𝑛𝑚𝑖𝑛_{, 𝑛}𝑚𝑎𝑥 _{Longueur totale minimum et maximum du séchoir;}

𝑙𝑙 Valeur numérique correspondant à la longueur l;

𝑣𝑝 Volume (pmp) par paquet du produit 𝑝 ∈ 𝑃𝑐𝑜𝑛;

𝑝𝑝 Priorité de production du produit 𝑝 ∈ 𝑃𝑐𝑜𝑛;

𝑖𝑝 Inventaire vert disponible du produit 𝑝 ∈ 𝑃𝑐𝑜𝑛;

𝑑𝑝,𝑡 Demande du produit 𝑝 ∈ 𝑃𝑑𝑒𝑚 délivré à la fin de période t;

𝑟𝑐(𝑝,𝑧),𝑝, Recette reliant 𝑝 ∈ 𝑃𝑐𝑜𝑛, séché avec le processus 𝑧 ∈ 𝑍, aux produits sortants 𝑝,∈ 𝑃𝑑𝑒𝑚;

𝑤𝑟 Poids d’importance associé au retard de commande; 𝑤𝑝 Poids d’importance associé aux priorités de produits;

Variables

𝑅𝐸𝑞 {

1, si la règle 𝑞 est utilisée par le séchoir 0, sinon ; 𝑁𝑙,𝑟 Nombre de paquets de longueurs l mis sur le rail r;

𝑄𝑆(𝑝,𝑧),𝑔,𝑟 Volume (pmp) de produit 𝑝 ∈ 𝑃𝑐𝑜𝑛 séché avec le processus 𝑧 ∈ 𝑍 affecté à la rangée g du rail r;

𝑄𝑃𝑝,𝑔,𝑟 Nombre de paquets du produit 𝑝 ∈ 𝑃𝑐𝑜𝑛 dans la rangée g du rail r;

𝐻ℎ,𝑔,𝑟 {

1, si la hauteur ℎ est attribuée à la rangée 𝑔 du rail 𝑟 0, sinon ; 𝑅𝑈𝑔,𝑟 {

1, si la rangée 𝑔 du rail 𝑟 est utilisée 0, sinon ;

𝐸𝑅𝑔,𝑟,𝑙 Longueur vide sur la rangée g du rail r. Combine plusieurs longueurs l donnant le total désiré;

𝐽𝑝 Volume de produit 𝑝 ∈ 𝑃𝑑𝑒𝑚 pouvant être obtenu suite au rabotage du produit séché;

𝜑𝑝,𝑡 Volume comblé de la demande du produit 𝑝 ∈ 𝑃𝑑𝑒𝑚 à la fin de période t;

Fonction objectif

L’objectif du MIP est de minimiser les retards tout en respectant les priorités de produits selon les poids qui leur sont associés tout en respectant les disponibilités et les règles de séchage. Les retards sont définis par la différence entre la production (2.15) et la demande comblée des produits ((2.16) et (2.17)) tandis que le respect des priorités est évalué selon la quantité de volume séché (2.13) par rapport à la valeur de la préférence accordée à chaque produit. 𝑀𝑖𝑛 𝑤𝑟 ( ∑ 𝑆𝑃𝑝(𝑇 + 2) 𝑝∈𝑃𝑑𝑒𝑚 − ∑ ∑ 𝜑𝑝,𝑡 𝑇 𝑡=1 𝑝∈𝑃𝑑𝑒𝑚 (𝑇 − 𝑡 + 1)) − 𝑤𝑝 ( ∑ ∑ ∑ 𝑄𝑆(𝑝,𝑧),𝑔,𝑟× 𝑝𝑝 𝑔∈𝐺 𝑟∈𝑅 (𝑝,𝑧)∈𝑃𝑍 ) (2.1) Contraintes :

Plusieurs contraintes permettent de respecter les différentes restrictions physiques des séchoirs, soit les rangées, la longueur et la hauteur. La contrainte (2.2) assure que les plans de chargement respectent le nombre de rangées par rail en forçant l’utilisation du nombre minimale de rangées. La contrainte (2.3) vient définir les rangées non utilisées comme étant vide sur toute la longueur. Les bornes définies avec la contrainte (2.4) empêchent l’utilisation d’une rangée si la hauteur de celle-ci est nulle.

∑𝑔∈𝐺𝑅𝑈𝑟,𝑔≥ 𝑔𝑚𝑖𝑛 ∀𝑟 ∈ 𝑅 (2.2)

𝐸𝑅𝑔,𝑟,𝑙 ≤ 𝑛𝑚𝑎𝑥(1 − 𝑅𝑈𝑔,𝑟) ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑙 ∈ 𝐿 (2.3)

𝑅𝑈𝑔,𝑟≤ ∑ℎ∈𝐻𝐻ℎ,𝑔,𝑟× ℎ ≤ 𝑅𝑈𝑔,𝑟× ℎ𝑚𝑎𝑥 ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑔 ∈ 𝐺 (2.4)

Puis, la contrainte (2.5) fixe les bornes sur la longueur que l’ensemble des produits peut occuper dans le séchoir. Pour obtenir le nombre de paquets par longueur, l’équation (2.6) lui attribue le nombre de paquets séchés ou l’espace vide dans le séchoir s’il y a lieu.

𝑛𝑚𝑖𝑛_{≤ ∑ 𝑁} 𝑙,𝑟× 𝑙𝑙 𝑙∈𝐿 ≤ 𝑛𝑚𝑎𝑥 ∀𝑟 ∈ 𝑅 (2.5) ∑ 𝑄𝑆(𝑝,𝑧),𝑔,𝑟 𝑣𝑝 + 𝐸𝑅𝑔,𝑟,𝑙 (𝑝,𝑧)∈𝑃𝑍 = 𝑁𝑙,𝑟 ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑙 ∈ 𝐿 (2.6)

Enfin, pour respecter la hauteur des séchoirs, la contrainte (2.7) restreint la quantité séchée au volume de produits en inventaire suivant la hauteur permise. La contrainte (2.8) vient s’assurer que les hauteurs de produits permises respectent la hauteur maximale du séchoir. La somme (2.9) s’assure qu’il n’y ait qu’une seule hauteur permise par rangée et par rail.

𝑄𝑆(𝑝,𝑧),𝑔,𝑟≤ 𝑖𝑝× 𝐻ℎ,𝑔,𝑟 ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑔 ∈ 𝐺, (𝑝, 𝑧) ∈ 𝑃𝑍 (2.7)

∑𝑔∈𝐺∑ℎ∈𝐻𝐻ℎ,𝑔,𝑟× ℎ ≤ ℎ𝑚𝑎𝑥 ∀𝑟 ∈ 𝑅 (2.8)

∑ℎ∈𝐻𝐻ℎ,𝑔,𝑟= 1 ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑔 ∈ 𝐺 (2.9)

Pour que les plans suivent les règles de séchage établies, la contrainte (2.10) restreint la quantité séchée au volume de produits en inventaire suivant la règle active. La contrainte (2.11) vient s’assurer qu’il n’y ait qu’une seule règle active au même moment.

𝑄𝑆(𝑝,𝑧),𝑔,𝑟 ≤ 𝑖𝑝× 𝑅𝐸𝑞 ∀𝑞 ∈ 𝑄, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑔 ∈ 𝐺, (𝑝, 𝑧) ∈ 𝑃𝑍 (2.10)

∑𝑞∈𝑄𝑅𝐸𝑞 = 1 (2.11)

La contrainte (2.12) indique qu’il est impossible de fractionner les paquets de produits au séchage. Ainsi, le nombre de paquets produits doit être égal au nombre de paquets séchés, obtenu en divisant le volume séché par le nombre de pmp par paquet.

𝑄𝑃𝑝,𝑔,𝑟= ∑

𝑄𝑆(𝑝,𝑧),𝑔,𝑟

𝑣_𝑝

(𝑝,𝑧)∈𝑃𝑍 ∀𝑝 ∈ 𝑃𝑐𝑜𝑛, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑔 ∈ 𝐺 (2.12)

La contrainte (2.13) permet au modèle de respecter l’inventaire en s’assurant que la somme de tous les produits séchés provienne des volumes disponibles.

Les contraintes de (2.14) à (2.17) servent à satisfaire la demande en définissant les variables utilisées dans la fonction objectif. La contrainte (2.14) définit les volumes de produits obtenus suite au rabotage en multipliant la quantité séchée avec le ratio de la recette. Dans le cas de PFR, comme le rabotage est planifié plus en détail en utilisant un outil différent, ce ratio est égal à 1 pour que les volumes rabotés soient équivalents aux volumes séchés. L’équation (2.15) indique que la quantité de produits finis doit être supérieure à la somme de la demande à laquelle on soustrait les produits finis, ce qui oblige le modèle à produire malgré l’objectif de minimisation. Les contraintes (2.16) et (2.17) indique que le volume venant combler la demande ne peut pas excéder la demande ni la quantité de volume produit.

𝐽𝑝,= ∑𝑟∈𝑅∑𝑔∈𝐺∑(𝑝,𝑧)∈𝑃𝑄𝑆(𝑝,𝑧),𝑔,𝑟× 𝑟𝑐(𝑝,𝑧),𝑝, ∀𝑝,∈ 𝑃𝑑𝑒𝑚 (2.14)

𝐽𝑝,≥ ∑𝑝∈𝑃𝑑𝑒𝑚∑𝑇𝑡=1𝑑𝑝,𝑡− 𝑆𝑃𝑝, ∀𝑝,∈ 𝑃𝑑𝑒𝑚 (2.15)

𝜑𝑝,𝑡≤ 𝑑𝑝,𝑡 ∀𝑝 ∈ 𝑃𝑑𝑒𝑚, 𝑡 = 1, … , 𝑇 (2.16)

∑𝑝∈𝑃𝑑𝑒𝑚∑𝑇𝑡=1𝜑𝑝,𝑡≤ 𝐽𝑝, ∀𝑝,∈ 𝑃𝑑𝑒𝑚 (2.17)

Enfin, la contrainte (2.18) contient la liste des variables entières. Toutes les données faisant référence aux volumes de production doivent être entières, soit les taux de consommation et de production, les inventaires et les produits en retard.

𝑁𝑙,𝑟 𝑒𝑡 𝑄𝑃𝑝,𝑔,𝑟∈ ℤ ∀ 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑔 ∈ 𝐺 (2.18)

La contrainte (2.19) indique la non-négativité des variables.

𝑁𝑙,𝑟, 𝑄𝑆(𝑝,𝑧),𝑔,𝑟, 𝑄𝑃𝑝,𝑔,𝑟, 𝐸𝑅𝑔,𝑟,𝑡, 𝐽𝑝, 𝜑𝑝,𝑡, 𝑆𝑃𝑝≥ 0 ∀𝑔, 𝑙, 𝑝, 𝑟, 𝑡, (𝑝, 𝑧) (2.19)

3.3.3 Planification du rabotage par programmation mixte en nombres entiers