Les instabilités traitées dans ce travail dépendent du modèle de combustion de gouttes d’aluminium choisi qui, aujourd’hui, n’est ni universel ni consensuel. Un état de l’art sur les différents modèles de combustion est donc rappelé au chapitre 3.
Dans le chapitre 4, une simulation numérique de référence est présentée pour mettre en évidence l’instabilité et analyser sa dynamique.
Au chapitre 5, une simulation stable pulsée à différentes amplitudes permet d’étudier les phénomènes non-linéaires associés à la source S de l’instabilité. Les non-linéarités de la réponse de la combustion de l’aluminium à l’acoustique
Part I - Introduction : Propulsion solide et instabilités 35 sont notamment mises en évidence. Une étude paramétrique est ensuite menée et permet d’illustrer l’impact de la modélisation du taux de dégagement de chaleur en fin de vie des gouttes sur l’instabilité. Une comparaison qualitative est finalement faite entre deux modèles de combustion issus de la littérature scientifique.
Pour déterminer la stabilité linéaire d’un MPS, les pertes et sources acous-tiques doivent être modélisées. Le chapitre 6 est consacré à la dérivation des pertes acoustiques à partir des équations bilans. On rappelle que la source, ici, est la source thermoacoustique liée à la réponse de la combustion des gouttes à l’acoustique.
Dans le chapitre 7, le calcul stable, utilisé au chapitre 5, est ensuite étudié pour un forçage à une amplitude relativement faible afin d’observer un compor-tement linéaire de la source thermoacoustique. Un modèle analytique linéaire pour les fluctuations du taux de dégagement de chaleur ˆ˙q est développé et va-lidé avec une simulation pulsée. Ce modèle linéaire présente des améliorations importantes par rapport à l’état de l’art. Il reproduit relativement bien la si-mulation numérique et permet, a priori, d’être utilisé dans un modèle d’ordre réduit pour la prévision de la stabilité linéaire d’un MPS.
L’ingénieur qui souhaite concevoir le moteur peut être intéressé par le déve-loppement d’outils d’ordre réduit mais également par des paramètres dimen-sionnants qui contrôlent l’instabilité. La démarche entreprise au chapitre8 est donc de dériver des nombres adimensionnels qui sont obtenus à partir du mo-dèle linéaire développé pour les fluctuations du taux de dégagement de chaleur. Le dernier chapitre 9 propose un outil d’ordre réduit pour la prédiction du cycle limite lors d’instabilités thermoacoustiques. Il intègre une modélisation non-linéaire du taux de dégagement de chaleur. Cet outil en développement ouvre la voie à des études plus approfondies sur l’étude des non-linéarités et la sensibilité du cycle limite aux données d’entrée (géométrie, propergol, granulo-métrie, ...).
Deuxième partie
Simulations de l’instabilité
thermoacoustique dans un
Moteur à Propergol Solide
Chapitre 3
Modélisation de la combustion
de l’aluminium
La modélisation de la combustion des gouttes d’aluminium est un point clé pour comprendre les instabilités thermoacoustiques qui peuvent se déclencher dans les MPS. Les principaux mécanismes observés lors de la combustion de l’aluminium dans les conditions de fonctionnement d’un moteur sont examinés dans ce chapitre. Les différentes modélisations proposées pour la combustion de gouttes d’aluminium sont également décrites.
3.1 Modèles de la combustion de gouttes
d’alumi-nium
Les principaux modèles de combustion de l’aluminium sont brièvement ex-posés dans cette section. Ils reposent tous sur une combustion de gouttes isolées, hypothèse vérifiée dans un premier temps.
3.1.1 Effet de combustion de groupe
On cherche dans un premier temps à valider l’hypothèse de goutte isolée pour les conditions suivantes : la masse volumique des gouttes égale à ⇢p = 2000 kg/m3 et la masse volumique du gaz environnant à ⇢g = 10kg/m3. Ces valeurs sont typiques de celles rencontrèes en moteur (Gallier and Godfroy (2009)).
La combustion de l’aluminium est généralement supposée comme étant une combustion distribuée de gouttes individuelles (Bind et al. (2012); Beckstead (2002)). Cependant, cette hypothèse n’est pas toujours vraie pour toutes les
40 Chapitre 3 - Modélisation de la combustion de l’aluminium
Figure 3.1 – Deux gouttes en combustion de diamètre D et de rayon de flamme rf
séparées d’une distance dp
conditions opératoires et doit donc être vérifiée. Les effets de combustion de groupe sont généralement évalués par l’approche de Chiu (Chiu and Liu (1977);
Chiu et al. (1982)).Nakamura et al. (2005)ont identifié deux régimes de com-bustion diphasique, une comcom-bustion de type prémélangée et une comcom-bustion de type diffusion. Dans une combustion de type prémélangée, l’oxydant est initialement présent autour de chaque goutte individuelle alors que dans une combustion de type diffusion, l’oxydant est présent seulement à l’extérieur du nuage de gouttes. Pour une combustion de type prémélangée, le critère de Chiu surestime le comportement de combustion de groupe parce qu’il ne prend pas en compte la présence initiale d’oxydant autour des gouttes (Nakamura et al. (2005);Kitano et al. (2014)).
Les gouttes d’aluminium, qui sont injectées dans le moteur, sont entourées des produits gazeux de la combustion du propergol solide qui jouent le rôle de gaz oxydants. Ainsi, la combustion de l’aluminium est classifiée comme étant une combustion de type prémélangée et l’approche de Chiu n’est donc pas per-tinente pour valider l’hypothèse de combustion de gouttes isolées. Il est donc plus adapté de considérer la distance moyenne inter-particules par rapport au rayon de flamme rf comme illustré dans la figure 3.1 (Borghi and Destriau (1998);Bind et al. (2012);Annamalai et al. (1994)). De la théorie de percola-tion, une limite pour l’hypothèse de gouttes isolées peut être déduite (Borghi and Destriau (1998);Kerstein and Law (1982)) :
rf
dp < 0.43 (3.1)
La distance moyenne inter-particules dp peut être évaluée en fonction de la fraction volumique ↵p des gouttes dans la chambre du moteur et du diamètre des gouttes D (Schwarzkopf et al. (2011);Bind et al. (2012)) :
dp D = ✓ 6↵p ⇡ ◆ 1/3 (3.2) Les gouttes d’aluminium étant oxydées essentiellement par deux réactifs CO2 et H2O, il est difficile d’avoir une bonne estimation du rayon de flamme
Part II - Simulations de l’instabilité thermoacoustique dans un Moteur
à Propergol Solide 41
de la théorie (Kerstein and Law (1982)). Les mesures de Bucher et al. (1998)
etBucher et al. (1996)donnent : rf
D ' 3 (3.3)
On rappelle qu’il y a des grandes gouttes provenant de la fusion d’agglo-mérats et des gouttes de petites tailles non agglomérées (comme décrit dans le chapitre 1 à la sous-section 1.3.2). On ne considère que les grandes gouttes provenant d’agglomérats (commeGallier and Godfroy (2009)) car les petites se consumment plus rapidement. Dans ce cas, cela revient à un tiers de la fraction massique de l’aluminium, soit une fraction massique de = 6% pour un moteur d’Ariane 5 (Duterque et al. (1999)). On a alors :
↵p = ⇢g ⇢p
= 3. 10 4 ⌧ 1 rf dp
= 0.25 < 0.43 (3.4)
La fraction volumique ↵p reste petite et permet de supposer une phase par-ticulaire diluée. Le rapport rf/dp est aussi assez petit pour négliger les effets de combustion de groupe et considérer une combustion distribuée de gouttes brûlant individuellement.
3.1.2 La loi du D2
Ce premier modèle est une base commune à tous les autres modèles de combustion de goutte présentés par la suite. Il s’agit d’un modèle désigné par la loi du D2 car le diamètre de la goutte au carré varie linéairement par rapport au temps pour un milieu ambiant constant (Spalding (1951);Sirignano (1999);
Kuo (1986);Law (2006)). Pour établir ce modèle, on utilise les approximations suivantes :
— masse volumique de la goutte constante — goutte isolée
— régime stationnaire — symétrie sphérique
— un seul oxydant est pris en compte — nombre de Lewis unitaire (Le = 1) — chimie infiniment rapide
— température uniforme de la goutte correspondant à un petit nombre de Biot Bi ⌧ 1 (vérifiée pour l’aluminium Gallier et al. (2011))
Le bilan de masse d’une goutte sphérique de diamètre D nous donne ( Spal-ding (1951)) :
dD2 dt =
4 ˙m
42 Chapitre 3 - Modélisation de la combustion de l’aluminium
où ⇢p est la masse volumique de la goutte et ˙m le débit massique d’aluminium émanant de la surface de la goutte qui s’exprime suivant la loi du D2 :
˙
m = ˙mD2 = ⇡D µ
Prln(1 + B)Sh (3.6)
où ˙mD2 est le taux de consommation pour une goutte suivant la loi du D2, µ la viscosité du gaz, Pr le nombre de Prandtl, B le nombre de Spalding qui est défini ci-dessous, Sh le nombre de Sherwood qui caractérise l’effet de la convection et est défini dans la section 3.2. Sans convection, le nombre de Sherwood vaut Sh = 2.
L’équation (3.5) se réécrit donc : dD2 dt = 4 ˙m ⇡D⇢p = 4µ ln(1 + B)Sh Pr⇢p (3.7)
Si le terme de droite de l’équation (3.7) peut être supposé constant, on obtient la relation suivante :
D2(t) = Di2
4µ ln(1 + B)Sh
Pr⇢p t (3.8)
où Di est le diamètre initial de la goutte à t = 0. Avec ce modèle, il est possible de déterminer un temps de combustion d’une goutte tc pour lequel il n’y a plus de masse à brûler (D2(t = tc) = 0) et est donné par :
tc = Pr⇢pD
2 i
4µ ln(1 + B)Sh (3.9)
La définition du nombre de Spalding B peut varier. Si on suppose un nombre de Lewis unitaire, quelle que soit la définition retenue, on obtient la même valeur pour ce nombre. On reproduit, ici, trois définitions pour le nombre de Spalding Butilisé dans la loi du D2 par la combustion de gouttes :
BAl,Ox =YOx,1/s + YAl,S 1 YAl,S , BAl,T = CP,g(T1 TS) YAl,S Hr Lv+ Hr(YAl,S 1) BOx,T = CP,g(T1 TS) + YOx,1 Hr/s Lv (3.10) où Y est la fraction massique, CP,g correspond à la capacité calorifique du gaz environnant à pression constante, S correspond aux conditions en proche surface de la goutte dans le gaz, 1 loin de la goutte dans le gaz, Hr est l’enthalpie de réaction, Al identifie le carburant ici l’aluminium, Lv correspond à la chaleur latente de vaporisation et s est le rapport des fractions massiques oxydant-carburant à la stœchiométrie : s = ✓ YOx YAl ◆ st (3.11)
Part II - Simulations de l’instabilité thermoacoustique dans un Moteur
à Propergol Solide 43
avec l’indice st qui indique l’état à la stœchiométrie. Au cours de la combus-tion de l’aluminium dans des condicombus-tions de type MPS d’Ariane 5, les oxydants sont essentiellement du dioxyde de carbone et de la vapeur d’eau. Ces deux oxydants sont à considérer, il est difficile d’en négliger un. La loi du D2 ne prévoit pas cette possibilité. Elle a été établie pour un seul oxydant. Il faut donc évaluer YOx,1 et s avec un modèle. De plus, les réactions sont multiples. L’aluminium se vaporise, réagit avec l’un des oxydants, puis certains produits gazeux se condensent. Dans ces produits liquides, certains rétro-diffusent vers la goutte d’aluminium et modifient la forme des gouttes d’aluminium comme on l’a vu précédemment (sous-section1.3.3). L’enthalpie de réaction et la frac-tion massique d’aluminium gazeux à la surface de la goutte sont donc d’autres inconnues à déterminer.
3.1.3 Modèle de Law
Le modèle de Law (Law (1973),Cesco (1997)) est une adaptation d’un mo-dèle de flamme de diffusion pour la combustion des gouttes d’aluminium. Pour prendre en compte la condensation de l’alumine, Law (1973) introduit deux paramètres. Il s’agit de ✓, la fraction d’oxydes sous forme vapeur et ⌘, fraction de ces oxydes qui diffusent vers la surface de la goutte et qui se condensent.
Dans ce modèle simple, seul l’alumine gazeux Al2O3, qui est le produit majoritaire, est considéré parmi tous les produits gazeux de combustion Al2O3, AlCl, AlCl2, AlCl3, AlClO, AlOH2, Al, AlO, Al2O. Le système réactionnel deLaw (1973) est donc :
2Alg+3
2O2 ) 2AlOg+1
2O2 (3.12)
avec l’indice g qui indique l’état gazeux et une enthalpie de la réaction qui vaut Hr= 9530 kJ/kg et une condensation partielle en alumine liquide :
2AlOg+ 1
2O2 ) Al2O3,l (3.13)
où l’indice l indique l’état liquide. Les équations de conservation de masse des espèces (sous forme vapeur) et de l’énergie conduisent à un système de six équations. La résolution de ce système donne le débit de combustible évaporé, les deux paramètres ✓ et ⌘, le rayon de la flamme rf, la fraction massique d’oxydes (produits de combustion) sous forme vapeur au niveau de la flamme et la fraction massique de combustible YAl,Sà la surface de la goutte. Ce modèle est basé sur un modèle de diffusion avec un seul oxydant puis a été amélioré par différents auteurs (Brooks and Beckstead (1995),DesJardin et al. (2005)). Cependant, il ne donne pas toujours des résultats cohérents avec les résultats
44 Chapitre 3 - Modélisation de la combustion de l’aluminium
physiques attendus (Cesco (1997)). Nous choisissons alors de l’abandonner pour un modèle plus simple, le modèle issu du groupe de travail ASSM (Aerodyna-mics of Segmented Solid Motors), présenté ci-dessous.
3.1.4 Modèle ASSM
Le modèle ASSM, utilisé dans les codes de simulation d’ArianeGroup, a été développé dans le cadre d’un programme de recherche français Aerodynamics of Segmented Solid Motors (Lupoglazoff et al. (2002);Vuillot and Kuentzmann (1995)). Il s’agit d’un modèle simplifié de la combustion de l’aluminium, issu de la loi du D2, et mono-espèce. Pour prendre en compte la formation de rési-dus d’oxydes d’aluminium, condensats de produits de combustion (Beckstead (2002);Zarko and Glotov (2013)), la combustion est arrêtée par une fonction Heaviside lorsque la goutte atteint une taille de résidu Dr. Cette modélisation de l’extinction par un arrêt abrupt du processus de combustion (sous-section1.3.4) permet également de modéliser plus simplement les résidus. De plus, le modèle ASSM est mono-espèce. Il n’est pas nécessaire de déterminer les fractions mas-siques Yk de l’oxydant et du réducteur. L’expression du nombre de Spalding est, dans ce cas, simplifiée. Le taux de consommation s’exprime alors comme :
˙
m = ˙mD2H(D Dr) = ⇡D µ
Prln(1 + B)ShH(D Dr) (3.14) Dans cette expression, le nombre de Spalding B correspond à une simplification de BOx,T de l’équation Eq. (3.10), tel que :
B = CP,g(T1 TS) + Hr
Lv (3.15)
où CP,gest la capacité calorifique du gaz environnant à pression constante, Hr
l’enthalpie de réaction de combustion et Lv la chaleur latente de vaporisation de l’aluminium.
L’enthalpie de réaction Hr est calculée de la même façon que pour le modèle de Law à partir de l’équation Eq. (3.12). On suppose donc que Hr = 9530kJ/kg.
Le diamètre suit donc la loi du D2 avec une fonction Heaviside pour la condition d’arrêt : dD2 dt = 4 ˙m ⇡D⇢p = 4µ ln(1 + B)Sh Pr⇢p H(D Dr) (3.16)
Lorsque le diamètre de la goutte est supérieur au diamètre résiduel Dr, la goutte d’aluminium brûle selon la loi du D2. Si le diamètre est inférieur ou égal à Dr, la goutte est inerte et correspond à une goutte d’alumine. Le temps
Part II - Simulations de l’instabilité thermoacoustique dans un Moteur
à Propergol Solide 45
de combustion d’une telle goutte est donc défini par (pour un terme source constant de l’équation (3.16)) :
tc = ⇢pPr(D
2 i Dr2)
4Shµ ln(1 + B) (3.17)
Ce modèle sera préféré aux autres dans l’essentiel du manuscrit car il modélise deux phases considérées comme essentielles dans la dynamique : (i) la phase symétrique et (ii) l’extinction abrupte (voir chapitre1).
3.1.5 Modélisation simple du lobe d’alumine : modèle de la calotte sphérique
Beckstead (2002),Brooks and Beckstead (1995) et Widener and Beckstead (1998)démontrent que la consommation des gouttes d’aluminium dévie de la loi du D2, du fait de la présence d’alumine dans la goutte (Fig.3.2). En effet, la sur-face d’échange aluminium-oxydant est d’autant diminuée que le lobe d’alumine est grand et la combustion est modifiée. En considérant la goutte aluminium-alumine sphérique, on peut en déduire une hauteur de dépôt h d’aluminium-alumine qui peut être déterminée par l’équation (Beckstead (2002)) :
h3 3 2Dh
2+3VAl2O3
⇡ = 0 (3.18)
où VAl2O3 représente le volume d’alumine liquide présent dans la goutte, D le diamètre de la goutte aluminium-alumine. Le volume total de la goutte V est :
V = ⇡ 6D
3 (3.19)
Le volume d’aluminium VAl et le volume d’oxyde d’aluminium VAl2O3 sont : VAl2O3 = ⇡ 6(D 3 i D3) 3 1 3, VAl= V VAl2O3 (3.20)
avec Di le diamètre initial et le nombre adimensionnel suivant : = Dr Di ✓ ⇢Al ⇢Al2O3 ◆1/3 (3.21) où Dr est le diamètre résiduel, ⇢Al la masse volumique de l’aluminium liquide et ⇢Al2O3 la masse volumique de l’alumine liquide. Le diamètre D de la goutte aluminium-alumine évolue selon la loi du D2 pour une goutte sphérique bi-composant mais avec un taux de consommation de l’aluminium ˙m différent de la loi du D2 classique :
dD2
dt =
4 ˙m
46 Chapitre 3 - Modélisation de la combustion de l’aluminium
Figure 3.2 – Modélisation de la couche d’alumine dans la goutte / Calotte sphérique (Beckstead (2002))
Dans ces conditions, le taux de consommation ˙m, en considérant la reconden-sation en alumine, est donné par :
˙
m = ⇡(D h)µ
Prln(1 + B)Sh(1
3) (3.23)
Le diamètre de la goutte suit donc l’équation suivante : dD2 dt = 4µ ⇢AlPrln(1 + B)Sh ✓ 1 h D ◆ (1 3) (3.24)
D’autres modèles ont été proposés parDuterque et al. (1999)et par Kuentz-mann (1973).Duterque et al. (1999)représentent la situation en considérant une sphère d’alumine incluse partiellement dans une sphère d’aluminium. Kuentz-mann (1973) calcule en fonction des efforts de tension superficielle la position de l’alumine par rapport à la goutte d’aluminium. Ces deux modèles ne seront pas présentés dans ce manuscrit de thèse. La figure 3.3 représente ces trois modèles.
Figure 3.3 – Différentes géométries du lobe d’alumine : calotte sphérique présentée ici (à gauche), géométrie de Duterque (au centre), de Kuentzmann (à droite) (Duterque et al. (1999),Kuentzmann (1973))
Le modèle issu de l’équation Eq. (3.24) est rapidement étudié dans le ma-nuscrit lors d’une étude paramétrique présentée dans le chapitre 5.
Part II - Simulations de l’instabilité thermoacoustique dans un Moteur
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