Dans cette section, on souhaite vérifier si on peut supposer les pertes acous-tiques linéaires dans le domaine des amplitudes rencontrées dans le manuscrit. Les niveaux des cycles limites rencontrés en simulation sont faibles, de l’ordre de p1/p0 ⇡ 0.1% (voir chapitre4). De plus, à la section précédente, on a remar-qué que le taux de croissance associé à la tuyère ↵tétait le plus important parmi les pertes. Enfin,Javed and Chakraborty (2013)ont montré par simulation que le taux de croissance associé à la tuyère ↵t était invariant pour des amplitudes inférieures à p1/p0 ⇡ 15%. En dessous de cette amplitude p1/p0 < 15%, les pertes par la tuyère peuvent donc être supposées linéaires.
110 Chapitre 6 - Stabilité linéaire dans un MPS
On supposera alors que l’ensemble des pertes peuvent être supposées linéaires par rapport à la source thermoacoustique qui est non-linéaire pour des niveaux de p1/p0⇡ 0.1% (voir chapitre5).
6.5 Conclusion
Dans ce chapitre, la méthode de Culick a été choisie pour modéliser les pertes acoustiques, dans le domaine linéaire.
Le taux de croissance et le glissement fréquentiel des pertes acoustiques do-minantes associées à la rotation de l’écoulement, aux pertes par la tuyère, à la réponse de la combustion du propergol solide et à la présence de particules inertes sont donnés par :
↵l= ↵F T + ↵t+ ↵i+ ↵inert< 0 !l= !|{z}t ⇡0
+ !inert (6.51) avec l l’indice pour pertes acoustiques ("losses"), F T pour flow-turning, t pour tuyère, i pour propergol solide, inert pour particules inertes. Parmi les pertes, seules la tuyère et les particules inertes participent au glissement fréquentiel. On supposera dans la suite du manuscrit que la tuyère est suffisamment courte pour négliger le glissement fréquentiel induit par la tuyère. Cette hypothèse justifierait d’être vérifiée.
Pour le calcul de référence instable Di = 120 µm et Dr = 60 µm, on trouve des valeurs de taux de croissance satisfaisantes par la méthode à la Culick. Ce résultat est confirmé parGallier et al. (2018).
Pour en déduire le taux de croissance ↵ et le glissement fréquentiel ! de l’in-stabilité, il faut dorénavant proposer une modélisation pour la source (↵IT HAC,
!IT HAC) :
↵ = ↵IT HAC+ ↵l ! = !IT HAC+ !l (6.52)
Les expressions du taux de croissance ↵IT HAC et du glissement fréquentiel !IT HAC, associées à la source de combustion des gouttes, sont développées dans le chapitre suivant (chapitre 7).
Enfin, on supposera dans l’ensemble du manuscrit que les pertes acoustiques sont strictement linéaires et que les non-linéarités permettant d’atteindre un cycle limite sont associées à la source thermoacoustique. Le chapitre9s’appuie notamment sur cette hypothèse.
Chapitre 7
Modèle analytique linéaire pour
la réponse de la combustion
Un modèle analytique est développé pour déterminer les fluctuations locales du taux de dégagement de chaleur produites par le nuage de gouttes réactives soumis à de petites perturbations acoustiques. Deux contributions aux fluctuations du taux de dégagement de chaleur sont identifiées. La première provient des fluctuations du taux d’évaporation dues à l’écoulement oscillant autour des gouttes. La seconde est asso-ciée au mouvement de la frontière du nuage réactif, à la fin du proces-sus de combustion des gouttes. Ce mouvement est dû aux oscillations du temps de combustion des gouttes. Les deux contributions aux fluc-tuations du taux de dégagement de chaleur sont situées dans la couche limite acoustique, proche de la surface débitante du propergol solide. Des modèles quasi-stationnaires pour la réponse à l’excitation acoustique des fluctuations du diamètre des gouttes et de vitesse des gouttes sont dé-veloppés. Avec un modèle de fluctuations de vitesse du gaz intégrant la couche limite acoustique, on peut finalement obtenir des expressions pour les fluctuations du taux de dégagement de chaleur dans le volume du nuage de gouttes et à sa frontière. Les résultats du modèle développé sont comparés à un modèle antérieur et à des simulations numériques. Il est montré que le nouveau modèle est plus proche de la simulation numérique. Les expressions obtenues permettent une meilleure compré-hension de l’origine des fluctuations du taux de dégagement de chaleur. Elles peuvent être utilisées pour prévoir la stabilité linéaire d’un moteur fusée à propergol solide à un coût de calcul réduit.
112 Chapitre 7 - Modèle analytique linéaire pour la réponse de lacombustion
7.1 Introduction
Le chapitre précédent propose une modélisation linéaire des pertes acous-tiques. L’unique source d’instabilité considérée dans ce travail de thèse est le couplage thermoacoustique. Ce couplage est lié aux fluctuations de pression et aux fluctuations du taux de dégagement de chaleur.
Les oscillations de pression dans le moteur peuvent être supposées acous-tiques. La structure du champ acoustique correspond à celle d’un tube fermé-fermé. Pour modéliser le couplage qui constitue la source thermoacoustique, il reste à proposer une modélisation pour les fluctuations du taux de dégagement de chaleur. Ces fluctuations proviennent de la réponse des gouttes réactives à l’oscillation acoustique dans le moteur.
Ce chapitre est donc consacré à la modélisation des fluctuations du taux de dégagement de chaleur. Une simulation de référence est d’abord décrite dans un premier temps. Dans un second temps, un modèle provenant de l’état de l’art et les résultats de cette simulation sont comparés. Des améliorations sont ensuite proposées. Les résultats de ce nouveau modèle sont comparés à la simulation de référence. Ce nouveau modèle pour les fluctuations du taux de dégagement de chaleur peut être utilisé pour déterminer le taux de croissance de l’instabilité en régime linéaire.