L’impact de trois paramètres a été analysé : l’amplitude du forçage acous-tique, le diamètre résiduel des gouttes après extinction de la combustion et le modèle de combustion retenu pour décrire la combustion d’une goutte.
Modifier l’amplitude de forçage a permis de mettre en évidence la réponse de la dynamique de la combustion et le comportement de la source thermoacoustique à cette amplitude.
Trois comportements distincts ont été identifiés : une réponse linéaire, une réponse quadratique et un terme cubique non négligeable dans la réponse.
Augmenter l’amplitude des fluctuations de pression provoque également : (i) une diminution des niveaux de la source thermoacoustique, (ii) une asymétrie du battement de la frontière du nuage de gouttes réactives, (iii) une réduction du temps de combustion moyen tc,0 et (iv) une diminution de la contribution à la source de l’instabilité issue des fluctuations du taux de dégagement de chaleur dans le volume de combustion devant la contribution associée à la dynamique de la frontière du nuage de gouttes réactives.
L’effet du diamètre résiduel Dr modifie le temps de combustion des gouttes tc,0, le taux de dégagement de chaleur en fin de vie et les pertes acoustiques liées aux particules inertes.
On constate également que la source dépend plus fortement du diamètre résiduel Dr des gouttes que les pertes acoustique. En effet, celui-ci impacte la dynamique de fin de vie des gouttes, par la valeur du taux de dégagement de chaleur avant extinction, et le volume de la zone de combustion dépend du temps de combustion.
Les contributions aux fluctuations du taux de dégagement de chaleur issus du volume de combustion et de sa frontière suivent les mêmes tendances et peuvent être associées à un nombre de Strouhal de combustion Sc= !tc,0. Néanmoins, la contribution frontière augmente relativement à la contribution volume en fonction du diamètre résiduel Dr car le taux de dégagement de chaleur en fin de vie augmente.
re-92 Chapitre 5 - Effets du modèle de combustion sur l’ITHAC
vient à la loi du D2. La fonction Heaviside ne joue donc plus aucun rôle, et pourtant une contribution frontière a été identifiée. La loi du D2 implique donc une dynamique de fin de vie particulière identifiable, qui justifierait d’être ap-profondie.
Les résultats de simulations avec le modèle ASSM et le modèle Lobe ont fi-nalement été comparés. Les deux modèles induisent des amplitudes et des fré-quences légèrement différentes. Néanmoins, l’instabilité est observée dans les deux cas. Ce modèle Lobe ne présente aucune dynamique particulière en fin de vie, une dynamique en volume plus faible mais est plus en phase avec la pression acoustique que le modèle ASSM. Bien que le modèle Lobe semble plus sophistiqué, il ne présente pas de modélisation particulière pour la fin de vie mais une combustion complète.2 De plus, rien ne permet de démontrer que ce modèle Lobe a une dynamique plus représentative dans la zone de combustion que le modèle ASSM, qui a permis de reproduire et de prédire les instabilités pour des moteurs à propergol solides (Gallier and Godfroy (2009),Guéry et al. (2001),Ballereau et al. (2003),Ballereau et al. (2006)). Les chapitres suivants sont donc traités avec le modèle ASSM.
2. Une alternative pour la fin de vie serait un modèle représentatif des micro-explosions de goutte (combustion quasi-instantanée de la masse restante de l’aluminium).
Troisième partie
Chapitre 6
Stabilité linéaire dans un MPS
Dans ce chapitre, la méthode de dérivation des pertes et des sources responsables de l’instabilité est explicitée. Les méthodes proposées par Flandro et par Culick pour analyser la stabilité sont d’abord décrites. Une modélisation des pertes acoustiques dans le régime linéaire est pro-posée. En particulier, les taux de croissance et glissements fréquentiels induits par les pertes sont définis. La source associée à la dynamique de la combustion de l’aluminium est développée au chapitre suivant.
6.1 Approches théoriques pour la stabilité linéaire
dans les MPS
6.1.1 Stabilité linéaire
Lors d’une instabilité, le plus souvent, plusieurs comportements peuvent être identifiés : un comportement linéaire et un comportement non-linéaire. Le pre-mier a lieu à la naissance de l’instabilité, c’est-à-dire, à très faible amplitude. Le second permet de converger vers un cycle limite. A très faible amplitude, la croissance ou la décroissance de l’amplitude peut être assimilée à une fonction exponentielle avec un taux de croissance ↵ (figure6.1). Ce taux de croissance dépend de pertes et sources acoustiques linéarisées. De plus, ces sources et pertes acoustiques induisent un glissement fréquentiel par rapport aux modes propres de la chambre.
Les pertes et les sources linéaires peuvent être quantifiées à partir de la li-néarisation des équations de conservation et font apparaitre des expressions complexes (annexeB).
96 Chapitre 6 - Stabilité linéaire dans un MPS
Figure 6.1 – Instabilité, croissance de l’amplitude de pression (Culick (2006))
du champ acoustique dans le moteur à propergol solide. Essentiellement, deux approches simplicatrices existent pour évaluer les pertes acoustiques : une ap-proche irrotationnelle (Culick (1966),Culick and Yang (1992)) et une approche rotationnelle (Flandro (1995),Flandro and Majdalani (2003),Majdalani et al. (2005)). On se propose dans un premier temps d’étudier rapidement la bi-bliographie sur ces deux approches. La validité de ces deux approches est dé-pendante du champ des fluctuations de l’écoulement. La sous-section suivante présente donc des résultats de simulation.
6.1.2 Champ acoustique et rotation de l’écoulement
Le champ acoustique dans un moteur à propergol solide est analysé dans cette sous-section. Le calcul servant d’illustration est le calcul instable de ré-férence du chapitre 4. Gaz et particules sont injectés radialement et sortent ensuite par la tuyère, longitudinalement. L’écoulement tourne alors dans le mo-teur pour changer de direction (voir figure6.2). Dans cette même figure, la zone de combustion des gouttes d’aluminium est illustrée très proche du propergol solide (condition limite d’injection). Après analyse du calcul instable dans le
Figure 6.2 – Zone de combustion des gouttes d’aluminium (en rouge) et lignes de courant du champ moyen gazeux dans la géométrie de calcul
chapitre4, on sait que l’instabilité prend place sur le premier mode longitudinal acoustique (1L), avec un léger glissement fréquentiel de 5.5 Hz :
Part III - Analyse linéaire de stabilité 97 f est la fréquence d’excitation et f1L le premier mode acoustique naturel. Ce glissement fréquentiel est induit par des sources et pertes acoustiques (dont la combustion de l’aluminium).
Par une transformée de Fourier du champ de pression, on peut en extraire le module des fluctuations de pression illustré à la figure6.3.
Figure 6.3 – Module des fluctuations de pression |ˆp| dans le moteur à propergol solide
D’après la figure 6.3, le champ des fluctuations de pression est invariant en radial. La combustion de l’aluminium ne déforme donc pas localement le champ de pression acoustique. La variation observée des fluctuations de pression est seulement dans le sens longitudinal. Le module |ˆp| varie comme la valeur absolue d’une fonction cosinus. Cela correspond à un mode 1L fermé-fermé. Il y a néanmoins une légère asymétrie entre fond avant et fond arrière. On suppose que cette asymétrie est due à la présence de la tuyère.
A priori, on peut donc considérer que les fluctuations de pression sont stric-tement acoustiques, sans contribution rotationnelle ou entropique.
On suppose donc également que la rotation du champ moyen (induit par l’injection radiale) et les gouttes inertes ne perturbent pas non plus localement le champ local des fluctuations de pression.
On sait aussi que les fluctuations de vitesse longitudinale (mode 1L) jouent un rôle important pour l’instabilité puisqu’elles sont à l’origine de l’instation-narité de la combustion (Gallier and Godfroy (2009),Gallier et al. (2011)). Dans les chambres des MPS, la structure des fluctuations longitudinales de vitesse
98 Chapitre 6 - Stabilité linéaire dans un MPS
du gaz est particulière. Elle comprend une couche limite acoustique occupant une grande partie de la chambre (chapitre 1). Flandro et al. (2000) parlent de contributions acoustique (onde plane) et rotationnelle (couche limite acous-tique).
Cette structure peut être observée par simulation, illustrée à la figure 6.4, par le module des fluctuations de vitesse longitudinale |ˆu| à un quart de la chambre du moteur x/L = 1/4. Sur cette figure, la zone de combustion de l’aluminium est également montrée et on peut observer qu’elle est dans une zone où la vi-tesse fluctuante varie fortement en radial. La forte variation des fluctuations de vitesse ˆu devra être prise en compte dans la modélisation de la source, associée à la réponse en combustion aux fluctuations du gaz (chapitre 7).
On identifie deux zones dinstinctes dans la figure 6.4 : une zone de forte va-riation radiale de vitesse ˆu (r/R 2 [0.4; 1]) et une zone où la vava-riation radiale est inexistante (r/R 2 [0; 0.4]). La première zone correspond à la couche li-mite acoustique. Dans la seconde, la vitesse fluctuante est purement acoustique (Flandro et al. (2000), chapitre 1). La combustion de l’aluminium, en rouge dans la figure 6.4, est localisée dans la zone de forte variation de vitesse ˆu. Celle-ci devra être prise en compte dans la modélisation des fluctuations du taux de dégagement de chaleur.
En cas de mode longitudinal excité, des fluctuations de vitesses radiales du gaz
Figure 6.4 – Evolution radiale du module |ˆu| en x/L = 1/4 et zone de combustion des gouttes d’aluminium
apparaissent également. Néanmoins, elles sont négligeables par rapport aux fluc-tuations longitudinales (Flandro et al. (2000),Flandro (1995)).Garcia-Schäfer and Linan (2001)proposent un modèle analytique pour ces fluctuations radiales
Part III - Analyse linéaire de stabilité 99 qui intègrent des effets acoustiques et rotationnels.
Dans cette sous-section, on a observé des fluctuations de pression de nature principalement acoustiques et des fluctuations de vitesse d’origine acoustique et rotationnelle, avec une couche limite acoustique. Dans la sous-section sui-vante, on s’appuiera sur ces observations pour définir un cadre théorique à la modélisation des pertes et sources acoustiques.
6.1.3 Approches irrotationnelle et rotationnelle
Dans la section 6.2, le taux de croissance ↵ et le glissement fréquentiel ! seront exprimés à partir des équations de conservation linéarisées (stabilité li-néaire). Néanmoins, le taux de croissance et le glissement fréquentiel doivent être définis à partir de simplifications de l’écoulement. On sait que la vitesse fluctuante présente des contributions rotationnelles et acoustiques mais que les ondes de pression peuvent être considérées comme acoustiques. Dans un MPS, il existe deux approches pour exprimer le taux de croissance et le glissement fréquentiel, une approche irrotationnelle et une approche rotationnelle.
La première est une approche acoustique et irrotationnelle développée par Cu-lick pour la propulsion solide (Culick (1966),Culick and Yang (1992)) avec une correction pour la rotation de l’écoulement moyen induit par l’injection radiale. L’approche rotationnelle est dérivée par Flandro (Flandro (1995)). Flan-dro justifie cette approche par la nécessité de prendre les fluctuations d’ori-gine rotationnelle. Cette approche permet de justifier l’orid’ori-gine du terme dit de flow-turning. Elle fait également intervenir une contribution rotationnelle en fluctuations de pression.
Or, comme identifié par simulation, les fluctuations de pression sont planes, donc a priori, les fluctuations de pression sont strictement acoustique. Cette observation a également été faite par d’autres auteurs (Gallier et al. (2018),
Roh et al. (1995),Apte and Yang (2002),Chu et al. (2003)).
Finalement, Gallier et al. (2018) démontrent que l’approche à la Culick (acoustique) reproduit mieux les résultats numériques si on considère le terme de flow-turning. En effet, ils justifient cela par une erreur d’admittance dans l’approche à la Flandro (Flandro (1995)). Après correction, les deux méthodes sont équivalentes.
On optera donc pour l’approche irrotationnelle de Culick, a priori la plus simple. A noter qu’il a été vérifié que les approches sont équivalentes pour le taux de
100 Chapitre 6 - Stabilité linéaire dans un MPS
croissance, mais il n’en est rien concernant le glissement fréquentiel. On suppose donc ici que le glissement fréquentiel est également bien modélisé par l’approche à la Culick.
On exprime le taux de croissance et le glissement fréquentiel induit par les sources et pertes acoustiques, à la Culick, à partir d’une équation d’onde sur les fluctuations de pression p1. Cette équation peut être dérivée à partir de la linéarisation des équations de conservation (voir Annexe B). Le terme source associé à la combustion de l’aluminium est modélisé au chapitre suivant. Seules les contributions restantes seront donc développées.