Le développement d’une stratégie analytique implique son optimisation. La majorité des expériences sont optimisées un paramètre à la fois. Donc, un paramètre A est optimisé, puis fixé à son point optimal pour effectuer l’optimisation du paramètre B. Cette méthode demande plusieurs manipulations, prend beaucoup de temps et ne donne que peu d’information sur l’impact des modifications sur le système. Ce faisant, les paramètres obtenus correspondent à l'optimum de la plage observée et pas forcément ceux du système. L’utilisation d’une approche statistique, telle que le plan d’expérience, permet d’optimiser un système avec un minimum de tests en modélisant la réponse du système. Cette méthode permet d’acquérir des données de façon à minimiser les erreurs aléatoires en contrôlant le plus de causes de variations identifiables possible. Pour ce faire, il est important de respecter les trois grands principes de bases de la planification d’expérience soit : la répartition aléatoire, l’utilisation de blocs et la répétition. La répartition aléatoire consiste à effectuer un traitement défini de façon aléatoire sur les échantillons. L’utilisation de blocs permet de regrouper en sous-groupe les échantillons étant dans des conditions différentes et ne pouvant être contrôlés, permettant un meilleur contrôle des erreurs systématiques. Par exemple, des analyses effectuées dans deux laboratoires différents devraient être séparées en 2 blocs, un par laboratoire. La répétition permet de déterminer l’erreur associée au traitement et d’évaluer la robustesse de la méthode. Pour ce faire, chacun des traitements doit être effectué à plus d’une reprise. Dans un système complètement aléatoire, le traitement effectué sur chacun des échantillons est déterminé de façon aléatoire, le bruit de fond est maintenu constant et les variations externes sont les mêmes pour tous les échantillons; il n’y a donc pas la formation de blocs.[91] Les plans factoriels complets sont un type de plan d’expériences complètement aléatoires qui permettent avoir une vue d’ensemble sur le système.
2.1. Plan factoriel complet
Les plans factoriels permettent de déterminer l’effet d’un ou de plusieurs facteurs sur la réponse du système en modélisant les observations. Pour ce faire, les niveaux de tous les paramètres sont variés en même temps. Donc, chacune des observations apporte de l’information sur tous les paramètres de l’expérience.[92] Cette méthode permet de 1) diminuer le nombre d’essais, 2) étudier plusieurs facteurs simultanément, 3) déterminer les interactions entre les facteurs, 4) déterminer l’impact des facteurs, 5) détecter les points optimaux du système, 6) obtenir une meilleure précision, 7) optimiser la réponse et 8) modéliser les réponses possibles en utilisant des modèles linéaires.[92] Pour ce faire, les plans d’expériences doivent être utilisés sur un domaine d’étude précis, ce qui implique la définition des paramètres à optimiser ainsi que leurs valeurs minimales et maximales (les niveaux). Ces niveaux sont représentés par des – ou des + (Figure 15). Les paramètres peuvent être continus ( la température ou la concentration) ou discrets (le type d’acide ou l’espèce de poisson).[93] Le nombre de paramètres à optimiser et leurs niveaux déterminent le nombre d’expériences à effectuer. Pour un système à x paramètres avec deux niveaux chacun (+,-), il faut effectuer 2X expériences soit 4 expériences lorsqu’on travaille avec deux paramètres.[91]
Figure 15 : Représentation d'un domaine d'étude à deux facteurs[93], [94] À l’aide de modèle mathématique, il est possible d’évaluer la réponse du système, de voir l’influence des différents paramètres sur la réponse et les interactions entre ceux-ci. Ce modèle linéaire repose sur les coefficients des paramètres et leurs coefficients d’interaction. Le coefficient du paramètre représente la variation entre les réponses du paramètre. Ce coefficient doit être calculé pour chacun des paramètres (Équation 5).[94]
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 (𝛽𝐴𝑜𝑢 𝛽𝐵) = ∑ 𝑌+ 𝑛+ − ∑ 𝑌− 𝑛− 2 Équation 5
Où ∑𝑌+ est la somme des réponses au niveau élevé du paramètre étudié Où ∑𝑌− est la somme des réponses au niveau bas du paramètre étudié Où 𝑛+est le nombre de points étudiés au niveau élevé du paramètre Où 𝑛−est le nombre de points étudiés au niveau bas du paramètre
Le coefficient d’interaction représente la variation d’un paramètre en fonction de l’autre. Cette valeur est calculée en effectuant la différence de la variation des réponses d’un paramètre aux différents niveaux de l’autre paramètre, divisé par deux.
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛(𝛽 𝐴𝐵) = ∆𝐴𝐵+ 𝑛+ − ∆𝐴𝐵− 𝑛− 2 Équation 6
Où ∆𝐴𝐵+est la variation du paramètre A lorsque B est au point élevé Où ∆𝐴𝐵+est la variation du paramètre A lorsque B est au point bas
Ces différents coefficients et la moyenne des résultats (β0) obtenus permettent de créer le
modèle linéaire représentant le système (Équation 7) et de modéliser la surface de réponse (Figure 16).
𝑦 = β0+ 𝛽𝐴𝑥𝐴+ 𝛽𝐵𝑥𝐵+ 𝛽𝐴𝐵𝑥𝐴𝐵 Équation 7
Figure 16 : Surface de réponse formée par la modélisation de l'ensemble des points expérimentaux du domaine d'étude[94]
L’utilisation de plan d’expérience permet aussi d’évaluer l’impact de chacun des paramètres sur la réponse du système. Ceux-ci sont calculés par la valeur p qui représente l’importance qu’a un paramètre (Équation 8). La valeur p est la probabilité que la réponse obtenue soit
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐼 (𝑡+√𝑡2+𝑣 2√𝑡2+𝑣 | 𝑣 2, 𝑣 2) 𝑡 ∞ Équation 8
Où 𝑣 est le nombre de degré de liberté du système, soit n-1 Où 𝑡 est le ratio t de Student = coefficient
écart type du coefficient
La formule pour le calcul de la valeur p est plutôt complexe, mais plusieurs logiciels informatiques sont disponibles pour la résoudre. Par convention, une valeur p inférieure à 0,05 indique que le paramètre est non négligeable. La plupart des logiciels font plus que simplement calculer la valeur et effectuent aussi la modélisation. Pour faciliter l’interprétation, plusieurs des logiciels présentent les valeurs p par leur logarithme avec le LogWorth (Équation 9).
𝐿𝑜𝑔𝑊𝑜𝑟𝑡ℎ = − log10(𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑝) Équation 9
Pour augmenter la précision de la réponse obtenue par le modèle, un point central peut être ajouté au milieu du domaine d’étude (Figure 17). Ce point supplément permet une meilleure estimation de la valeur p, une meilleure représentation de la surface de réponse en plus de vérifier que la réponse du système peut être représenté par un modèle linéaire. Puisque les niveaux minimum et maximum sont représentés par des – et des +, le niveau central est représenté par un 0.
L’utilisation de logiciels informatiques permet aussi la formation de la matrice d’essais aléatoires permettant d’assurer le respect de la condition d'échantillons aléatoires en statistique.[92] Les logiciels rendent l’utilisation des plans factoriels accessible aux scientifiques qui ne sont pas experts en statistiques ou en mathématique.
Les plans factoriels sont donc une méthode d’optimisation qui est simple, qui réduit le nombre d’expériences et qui permet de comprendre le comportement général du système étudié. Ils seront utilisés dans ce mémoire pour optimiser les méthodes de dissolution.