Pions massifs

a l’aide du mod`ele du fluide parfait relativiste constitue apparemment une bonne approximation. Or, ces r´esultats reposent sur les hypoth`eses de la r´ef´erence [18]. Dans le paragraphe suivant nous allons discuter la valeur de la viscosit´e choisie et modifier cette conclusion.

5.4.2 Pions massifs

Il existe deux approches pour trouver les ´equations de transport qui, avec les ´equations de conservation, constituent les ´equations hydrodynamiques du syst`eme. L’approche ph´enom´enologique bas´ee sur la thermodynamique et le principe de positivit´e de l’entropie (cette approche sera utilis´ee dans le chapitre suivant) et l’approche de la th´eorie cin´etique bas´ee sur l’´equation de Boltzmann. Cette derni`ere permet de calculer les coefficients de transport via le d´eveloppement de Chapman-Enskog. Avec la m´ethode des 14 moments de Grad, on peut acc´eder aux temps de relaxation [37]. Dans le paragraphe pr´ec´edent nous reprenions les hypoth`eses faites dans la r´ef´erence [18]. Or, les d´ependances en temp´erature choisies pour la viscosit´e η et le temps de relaxation τ<sub>π</sub> ne sont va-lables que pour des pions de masse nulle et lorsque la section efficace π−π est donn´ee par l’alg`ebre

des courants. Si maintenant nous prenons des pions massifs et une section efficace exp´erimentale, ces d´ependances sont compl`etement diff´erentes, surtout pour la viscosit´e [42, 21]. En effet, cette derni`ere augmente avec la temp´erature et a des valeurs beaucoup plus importantes, comme on peut le voir sur la figure 5.7. Les valeurs pour les pions massifs sont celles de la r´ef´erence [21] qui ont ´et´e calcul´ees avec une distribution de Bose-Einstein dans le terme de collision et pour un potentiel chimique ´egal `a 100 MeV. Les valeurs des temps de relaxation sont elles aussi diff´erentes (voir figure 5.8). Avec ces d´ependances plus r´ealistes pour η et τ<sub>π</sub>, on r´esout une nouvelles fois le syst`eme d’´equations diff´erentielles pour  et Φ, et on obtient de nouvelles courbes pour l’´evolution de la temp´erature (figure 5.9).

5.4. PRISE EN COMPTE DE LA VISCOSIT´E 47 100 120 140 160 180 200 T (MeV) 0 20 40 60 80 100 η (MeV.fm -2 ) pions chiraux pions massifs

Fig. 5.7: Valeurs de la viscosit´e pour des pions de masse nulle [42] et pour des pions massifs [21].

100 120 140 160 180 200 T (MeV) 0 1 2 3 4 τ ^π (fm) pions chiraux pions massifs

Fig. 5.8: Valeurs du temps de relaxation associ´e `a la viscosit´e pour des pions de masse nulle [42] et pour des pions massifs [21].

48 CHAPITRE 5. APPLICATION AUX COLLISIONS D’IONS LOURDS 1 2 3 4 5 6 τ/τ₀ 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 T/T 0 cas idéal

1^er ordre (η pions chiraux) 2^ème ordre (η et τ_π pions chiraux) 1^er ordre (η pions massifs) 2^ème ordre (η et τ_π pions massifs)

Fig. 5.9: Profil de temp´erature par rapport au temps propre pour le fluide parfait, le premier et le second ordre de la th´eorie dissipative.

On peut observer cette fois, pour les pions massifs, que les premier et second ordres sont toujours de mˆeme amplitude mais environ 20% au-dessus du fluide parfait. Par exemple, pour une temp´erature initiale de 200 MeV, la temp´erature passe de 110 MeV pour le cas id´eal `a 140 MeV avec les effets dissipatifs pour τ /τ<sub>0</sub> = 6. Les effets dissipatifs induisent donc un refroidissement plus lent du syst`eme, et par cons´equent devraient ˆetre pris en compte dans les simulations des collisions d’ions lourds.

Chapitre 6

Dissipation

Dans ce chapitre, on va ´etablir les ´equations hydrodynamiques de deux syst`emes avec sym´etrie bris´ee. Le premier est le superfluide qui nous a d´ej`a servi d’exemple dans la premi`ere partie : les ´equations relativistes ainsi que la dissipation dans le cas non relativiste sont connues. Le deuxi`eme syst`eme est celui introduit au d´ebut de cette partie et qui nous permet de d´ecrire la mati`ere hadronique.

6.1 Hydrodynamique relativiste du superfluide :

proces-sus dissipatifs

Rappelons tout d’abord les ´equations pour le superfluide relativiste id´eal (c’est-`a-dire non dissipatif) :

∂_µ(n₀u^µ− V2_∂µφ) = 0 (6.1)

∂_µ[( + p)u^µu^ν − pgµν+ V²∂^µφ∂^νφ] = 0 (6.2)

u^µ∂_µφ =−µ0 ^(6.3)

Ces ´equations contiennent la conservation de l’entropie, puisqu’il n’y a pas de processus dissipatifs. Pour le montrer explicitement, il suffit de projeter la deuxi`eme ´equation pr´ec´edente sur la direction de la quadri-vitesse uν : u_ν∂_µTµν = 0. On obtient alors facilement que : ∂_µ(s₀uµ) = 0

Pour ´etablir les ´equations en pr´esence de processus dissipatifs, on doit d´eterminer la forme des termes suppl´ementaires apparaissant dans les flux d’´energie-impulsion, de particules et de l’´equation pour la phase, soit respectivement νµ, τµν et φ^₀ :

∂_µ(n₀u^µ− V2_∂µφ + ν^µ) = 0 (6.4) ∂_µ ( + p)u^µu^ν− pgµν + V²∂^µφ∂^νφ + τ^µν = 0 (6.5) u^µ∂_µφ =−µ₀− φ 0 ^(6.6)

La vitesse hydrodynamique uµpr´esente dans les ´equations ci-dessus peut tout aussi bien repr´esenter physiquement la vitesse du transport d’´energie ou la vitesse du transport de particules. Il existe en effet une libert´e de choix qui n’a aucune influence sur la forme des ´equations en l’absence de dissipation mais, qui, en pr´esence de dissipation impose des contraintes sur la forme des termes

50 CHAPITRE 6. DISSIPATION

rajout´es dans les ´equations hydrodynamiques. En ce qui nous concerne, nous allons faire le choix, purement arbitraire, de Landau et Lifshitz, c’est-`a-dire que la vitesse uµ repr´esentera d´esormais la vitesse de transport d’´energie. Les contraintes pour les termes suppl´ementaires prendront alors la forme ([5]) :

u_µτ^µν = 0 et u_µν^µ = 0.

Le choix de Eckart donne lieu `a d’autres contraintes [41].

Avec ces ´equations, il est alors possible d’´etablir explicitement la loi d’accroissement de l’entropie, qui est contenue dans les ´equations du mouvement. En ´ecrivant u_ν∂_µT^µν = 0, on obtient en effet :

∂_µ(s₀u^µ−^µ0 T₀^ν µ) =−νµ∂_µ^µ0 T₀ ⁺ φ^₀ T₀^∂µ(V 2_∂µφ) +^τ µν T₀ ^{∂µuν (6.7)}

Cette ´equation est de la forme g´en´erique : ∂_µSµ = σ o`u Sµ est le quadri-vecteur densit´e de flux d’entropie et σ la production d’entropie due aux processus dissipatifs. σ est une forme bilin´eaire entre les densit´es de flux et les forces thermodynamiques.

Par ailleurs, dans le r´egime hydrodynamique, on est par d´efinition pr`es de l’´equilibre. Par cons´equent, les termes τµν, νµ et φ<sup></sup><sub>0</sub> peuvent s’exprimer lin´eairement en fonction des forces ther-modynamiques. Les coefficients de proportionnalit´e sont les coefficients de transport. Leur signi-fication physique est la caract´erisation de l’amplitude de la r´eponse du syst`eme (les flux) `a une certaine perturbation (les forces). La solution la plus g´en´erale permet ainsi d’exprimer a priori les flux en fonction de l’ensemble des forces. Cependant il existe des contraintes qui permettent d’´eliminer certains termes : les relations u<sub>µ</sub>τ<sup>µν</sup> = 0 et u<sub>µ</sub>ν<sup>µ</sup> = 0 imposent que certains couplages soient nuls. Ensuite, le principe de r´eciprocit´e d’Onsager, combin´e `a la positivit´e de l’entropie conduit `a : ν<sup>µ</sup>= κ(g<sup>µν</sup>− uµu<sup>ν</sup>)∂<sub>ν</sub>(<sup>µ0</sup> T<sub>0</sub><sup>) (6.8)</sup> τ<sup>µν</sup> = (g<sup>µν</sup>− uµu<sup>ν</sup>)  ζ<sub>1</sub>∂<sub>λ</sub>(V<sup>2</sup>∂<sup>λ</sup>φ) + (ζ<sub>2</sub>− <sup>2</sup> 3<sup>η)∂λu</sup> λ  + η (g<sup>µλ</sup>− uµu<sup>λ</sup>)∂<sub>λ</sub>u<sup>ν</sup> + (g<sup>λν</sup>− uλu<sup>ν</sup>)∂<sub>λ</sub>u<sup>µ</sup>) (6.9) φ<sup></sup><sub>0</sub>= ζ<sub>1</sub>∂<sub>µ</sub>u<sup>µ</sup>+ ζ<sub>3</sub>∂<sub>µ</sub>(V<sup>2</sup>∂<sup>µ</sup>φ) (6.10) o`u κ est proportionnel `a la conduction thermique et η, ζ₁, ζ₂, ζ₃ sont les viscosit´es de cisaillement et volumiques (les notations sont celle d´efinies dans [5]). La thermodynamique impose que le taux d’accroissement de l’entropie σ doit ˆetre essentiellement positif. Cela implique que η, ζ₂, ζ₃

sont positifs et ζ₁² ≤ ζ₂ζ₃. Le signe de ζ₁ doit quant `a lui ˆetre d´etermin´e par des consid´erations physiques. On peut en fait v´erifier par comparaison directe avec [5] que ζ₁ est ´egalement positive.