Calcul ` a deux boucles

d³k (2π)^{3n(Ek)[1 + n(Ek)]} k4 E_k²Γ_k = ^β 60π²  d|k|n(Ek)[1 + n(E_k)] k6 E_k²Γ_k^{. (8.23)} Cette expression correspond exactement `a la formule (7.18) du chapitre pr´ec´edent avec Dπ(k) =

I_π(k) ou encore celle de l’annexe E avec Dshear(|k|) = k2 _{(E.2). La seule diff´erence par rapport `a}

la th´eorie scalaire λΦ⁴ se situe donc, `a ce stade du calcul, au niveau de la largeur Γ<sub>k</sub>. Cependant, comme avons d´ej`a vu (cf. (8.17)), les couplages d´erivatifs g´en´eraient d’autres termes correctifs. Nous allons maintenant les calculer explicitement.

8.3.2 Calcul `a deux boucles

Le deuxi`eme terme de l’´equation (8.17) correspond au calcul pr´ec´edent `a une boucle, multipli´e par une correction thermique de la masse (partie r´eelle de la self-´energie du pion). Cette correction thermique repr´esent´ee sur la figure 8.5 se calcule avec les r`egles de Feynman et la partie thermique du propagateur `a temp´erature finie (voir annexe C) :

G₁₁(k) =−2iπ n(|k₀|) δ(k2− m2_).

Ce graphe induit une correction sur la masse des pions `a l’ordre T<sup>2</sup>. De mani`ere explicite, le couplage `a quatre pions contribue pour un facteur m²_πT²/8f_π² (8.19) et le couplage d´erivatif (8.20) pour−p2_T2_/12f2

π (avec p² = m²_π). Soit, globalement :

m²_π(T )

m²_π ^{= 1 +} T²

24f_π^{2. (8.24)}

Nous pouvons donc ´ecrire maintenant l’expression de la viscosit´e cherch´ee (calcul “`a deux bou-cles”) : η^{two loops}= ^β 60π²  d|k|n(Ek)[1 + n(E_k)]  k⁶ E_k²Γ_k
1 + ^{5 m} 2 π T² 6 f_π⁴  . (8.25)

74 CHAPITRE 8. MOD`ELE σ-NON LIN´EAIRE

La seule inconnue est la largeur Γ_kou de mani`ere ´equivalente la partie imaginaire de la self-´energie. Dans le mod`ele λφ⁴, la premi`ere contribution non nulle `a la partie imaginaire est celle de la self-´energie `a deux boucles (“sunset diagram”) et peut ˆetre calcul´ee analytiquement `a un certain ordre dans la constante de couplage ou num´eriquement [23, 48]. Pour le gaz de pions, nous avons choisi d’utiliser la r´ef´erence [49] dans laquelle la largeur des pions est reli´ee, via le th´eor`eme optique, `a l’amplitude de diffusion pion-pion. Cette amplitude ´etant elle-mˆeme param´etr´ee dans [49], nous avons utilis´e en pratique les valeurs num´eriques. Il ne reste donc plus qu’`a calculer explicitement la viscosit´e η.

8.4 R´esultats num´eriques

Voyons maintenant les valeurs num´eriques obtenues pour la viscosit´e. Comme indiqu´e dans le paragraphe pr´ec´edent, la largeur est directement prise de la r´ef´erence [49]. Sur la figure (8.6), on a repr´esent´e les contributions `a une (tirets) et deux boucles (trait plein).

50 100 150 200 T (MeV) 0 50 100 150 200 η (MeV.fm -2 ) one loop two loops ref. [21]

Fig. 8.6: R´esultats num´eriques pour la viscosit´e de cisaillement d’un gaz de pions.

La comparaison entre ces deux courbes montre l’importance de la correction de vertex, c’est-`

a-dire de la fonction de Green `a six points dans le calcul de la viscosit´e. Constatant cela, il serait l´egitime de se demander si la fonction de Green `a huit points ne contribue pas, elle aussi, de mani`ere significative. Cependant le probl`eme est un peu diff´erent. En effet, prendre en compte la

8.4. R ´ESULTATS NUM´ERIQUES 75

fonction de Green `a huit points signifierait en r´ealit´e prendre en compte explicitement des graphes `

a deux boucles. Or, il existe d’autres contributions `a deux boucles provenant des fonctions de Green `a quatre (comme dans la th´eorie λΦ⁴) et six points. Il ne serait donc pas correct, du point de vue de la coh´erence du traitement, de consid´erer uniquement la fonction de Green `a huit points. Nous avons ´egalement report´e sur la figure 8.6 les r´esultats obtenus dans une autre approche (´equation de Boltzmann) [21]. Nous constatons que notre r´esultat (courbe en trait plein) lui est directement comparable : les deux courbes ont le mˆeme comportement croissant, se croisent pour une temp´erature T  160 MeV et diff`erent l’une de l’autre d’environ d’environ 30% dans

le domaine des basses et hautes temp´eratures. ´Etant donn´ees les approximations faites dans ce travail d’une part, nous pouvons conclure que notre approche est non seulement compatible avec celle mentionn´ee ici [21] mais ´egalement avec les autres calculs de viscosit´e de gaz de pions de la litt´erature [42, 51, 52].

La th´eorie cin´etique et l’´equation de Boltzmann sont traditionnellement utilis´ees pour calculer les propri´et´es de transport d’un syst`eme de particules que l’on peut traiter classiquement (except´e durant de br`eves collisions). Quand le syst`eme est `a l’´equilibre local, et ´evolue vers l’´equilibre global, on peut d´eterminer une solution de l’´equation via le d´eveloppement de Chapman-Enskog et ainsi obtenir une formule pour η [21]. La physique statistique hors ´equilibre, quant `a elle, permet d’obtenir via la th´eorie de la r´eponse lin´eaire une formule de Kubo pour η qui est une fonction de corr´elation. La validit´e de l’´equation de Boltzmann est a priori plus r´eduite que l’hydrodynamique en g´en´eral : elle concerne uniquement la physique des syst`emes dilu´es o`u les collisions sont rares et violentes. Mais dans ce cas pr´ecis, il doit ˆetre normalement possible de comprendre pourquoi les deux approches conduisent `a des r´esultats similaires. En fait, on peut montrer que les ingr´edients physiques n´ecessaires `a la description d’un syst`eme dans l’approche boltzmannienne et dans notre approche sont essentiellement les mˆemes et conduisent formellement aux mˆemes ´equations int´egrales pour le calcul de la viscosit´e [24]. D’un cˆot´e nous avons en effet la section efficace pion-pion (dans le terme de collision) et de l’autre l’amplitude de diffusion pion-pion (dans la largeur). En fait, de nouveau, la “seule” diff´erence provient du domaine de validit´e des deux approches. Le domaine de validit´e de l’´equation de Boltzmann est plus restrictif du cˆot´e des hautes temp´eratures (le libre parcours moyen doit ˆetre sup´erieur `a la longueur d’onde de Compton) et donc pr`es de la transition de phase. Donc a priori, mˆeme si des am´eliorations peuvent encore ˆetre apport´ees au calcul, notre approche via les fonctions de corr´elations semble ˆetre la meilleure et la plus prometteuse lorsque l’on approche la transition de phase (mˆeme si dans ce cas, ainsi que nous l’avons d´ej`a mentionn´e, les fluctuations du param`etre d’ordre doivent ˆetre incorpor´ees).

Conclusion

Dans une premi`ere partie, nous avons rappel´e des ´el´ements d’hydrodynamique n´ecessaires `a notre ´etude, `a savoir la d´efinition des modes hydrodynamiques et des coefficients de transport. Dans un fluide normal, les modes hydrodynamiques sont associ´es aux quantit´es conserv´ees, dont les ´equations d’´evolution permettent une description compl`ete du syst`eme. En pr´esence d’une brisure de sym´etrie, comme dans le superfluide, un nouveau mode hydrodynamique apparaˆıt, le mode de Goldstone auquel on associe une variable dont l’´equation d’´evolution compl`ete le syst`eme d’´equations hydrodynamiques. Nous avons ´egalement vu comment la th´eorie de la r´eponse lin´eaire permettait d’obtenir les formules de Kubo, formules qui expriment par exemple la viscosit´e en fonction des limites basse fr´equence et grande longueur d’onde de la fonction de corr´elation du tenseur des contraintes.

Nous nous sommes ensuite int´eress´es, dans la deuxi`eme partie, `a la sym´etrie chirale SU (2)_L× SU (2)_R, qui est spontan´ement bris´ee lorsque les quarks sont confin´es `a l’int´erieur des hadrons. Les modes de Goldstone associ´es `a cette brisure de sym´etrie sont les pions, particules produites en grande quantit´e dans les collisions d’ions lourds. Or, pour d´ecrire le gaz de pions, on utilise g´en´eralement les ´equations d’un fluide parfait, c’est-`a-dire sans tenir compte de la brisure de la sym´etrie chirale ou de la dissipation. Nous avons par cons´equent ´evalu´e dans le cadre simplifi´e de la g´eom´etrie de Bjorken, les effets de ces deux “corrections” au fluide parfait sur le profil d’´evolution de la temp´erature. Tandis que la modification des ´equations due `a la prise en compte de la brisure de sym´etrie introduit un effet n´egligeable, la pr´esence de dissipation via la viscosit´e de cisaillement apparaˆıt importante pour une description correcte de l’´evolution hydrodynamique du gaz de pions. Nous avons ensuite ´etabli les ´equations hydrodynamiques d’un fluide chiral en pr´esence de dissipation et mis en ´evidence les nombreux nouveaux coefficients de transport mis en jeu dans une telle description.

Enfin, dans la derni`ere partie, nous avons regard´e comment nous pouvions calculer la viscosit´e de cisaillement d’apr`es la formule de Kubo, issue de la th´eorie microscopique, qui exprime ce coefficient de transport par la fonction de corr´elation du tenseur des contraintes. Pour cela, nous avons rappel´e le calcul de cette fonction de corr´elation dans le cadre de la th´eorie quantique des champs pour un champ scalaire en auto-interaction par deux m´ethodes distinctes. La premi`ere consiste `a d´eterminer dans un premier temps les classes de diagrammes contribuant `a la viscosit´e puis `a les resommer `a l’aide des r`egles de coupure `a temp´erature finie. La seconde, quant `a elle, est fond´ee sur une approche type probl`eme `a N corps en passant par la r´esolution de l’´equation de Bethe-Salpeter. Ces deux approches [24, 26] sont bien ´evidemment ´equivalentes. Pour pouvoir appliquer l’exemple fourni par la th´eorie λφ⁴ au calcul de la viscosit´e du gaz de pions, nous avons choisi un mod`ele σ non lin´eaire. Le couplage d´erivatif inh´erent au mod`ele introduit des fonctions de Green `a six et huit champs au lieu de quatre pour le mod`ele λφ⁴. Les fonctions de Green `a six points ont ´et´e calcul´ees en tant que correction de vertex et celle `a huit champs a ´et´e n´eglig´ee. L’effet de la correction de vertex s’est av´er´e important au niveau quantitatif et a permis d’obtenir des r´esultats

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comparables `a ceux qui avaient ´et´e obtenus dans le cadre d’une autre approche (´equation de Boltzmann). Bien sˆur, de nombreuses am´eliorations sont possibles au niveau du calcul lui-mˆeme, mais nous avons cependant pu montrer que, malgr´e des approximations, l’approche fond´ee sur la formulation de Kubo donnait des r´esultats corrects. L’avantage de cette m´ethode est que le spectre en temp´erature accessible est beaucoup plus important qu’avec l’approche par l’´equation de Boltzmann. Cela signifie que la formulation de Kubo est plus appropri´ee pour obtenir des informations pr`es la transition de phase. Pour cela, il faudrait incorporer dans les ´equations le module du param`etre d’ordre (mod`ele σ lin´eaire).

Plusieurs extensions de cette ´etude sont possibles. Il serait d´ej`a souhaitable de calculer plus pr´ecis´ement, dans le cadre de l’approche d´evelopp´ee dans ce travail, la valeur de la viscosit´e de cisaillement en calculant explicitement les fonctions de Green `a six et huit points. Par ailleurs, on pourrait ´egalement essayer de d´eterminer la nature des modes hydrodynamiques associ´es aux nouveaux coefficients de transport introduits au deuxi`eme chapitre. On pourrait enfin incorporer dans les ´equations le module du param`etre d’ordre (mod`ele σ lin´eaire) afin d’´etudier la restauration de la sym´etrie chirale. Ensuite, l’utilisation du groupe de renormalisation dynamique permettrait d’obtenir le comportement critique des coefficients de transport du gaz de hadrons et fournirait ainsi des informations pr´ecieuses sur la transitions de phase subie par ce syst`eme (transition de phase de d´econfinement).

Annexe A

Forme du tenseur des contraintes

Dans cette annexe, nous allons ´etablir, dans l’approximation lin´eaire, la forme la plus g´en´erale du tenseur des contraintes qui s’appliquent sur un fluide. On en d´eduira l’´equation du mouvement qui r´egit l’´evolution de ce fluide [1].