Phase gazeuse

Le modèle de Cruz (1997) utilise la combinaison des relations de Masliyah (1979) et de

Richardson et Zaki (1954) pour déterminer la valeur de Ugs (vitesse relative entre le gaz et la pulpe en cm/s, (gas/slurry)). Le fait de procéder ainsi suppose, selon les hypothèses à la base de ces relations, que les bulles se comportent comme des sphères solides.

Zhou et Egiebor (1993) ont toutefois démontré qu’un biais important apparaît lorsque Ugsest calculée de cette façon. Selon eux, le comportement des bulles d’air, contrairement aux parti- cules solides, est fortement influencé par la présence d’agent moussant, un réactif typiquement ajouté en flottation. La relation

Ubs = G   1 + 3, 36Ck(Db/2)2 0,5 − 1 2 [2Ck(Db/2)]2 (2.15)

permet de tenir compte de la concentration et du type de moussant utilisé afin de déterminer la vitesse terminale d’une bulle isolée dans un liquide stagnant Ubs (en cm/s). Dans cette équation, Db correspond au diamètre moyen des bulles (en cm) et G est une constante qui dépend de l’accélération gravitationnelle (g en cm/s2_{), de la masse volumique du liquide et du} gaz (ρl, ρg en g/cm3) et de la viscosité du liquide (µ en P). La constante G est définie telle que

G = g(ρl− ρg)

9µ (2.16)

Pour ce qui est de Ck, il s’agit d’un facteur de contamination associé au type et à la concen- tration de moussant Cf. Par exemple, pour le MIBC (Cf ≤ 6 cm3/100L) le paramètre prend la forme de

Ck = 110 + 260(1 − exp(−0, 11Cf)) (2.17)

Il est ensuite possible de déterminer le flux volumique gaz/pulpe avec la relation semi- empirique (pour une concentration en gaz εg ≤ 30% )

Jgs= Ubsεg(1 − 1, 06εg) (2.18)

Par la suite, la démarche utilisée pour écrire les équations différentielles décrivant les transferts de matières est inspirée des travaux deCruz (1997). En ce sens, la théorie des flux multipha- siques sert également à écrire ces équations. Dans le cas des cellules de flottation à lit fluidisé, le débit d’air ascendant est en co-courant avec le débit net de pulpe (voir la figure 2.2). Selon l’équation (2.13), la vitesse moyenne de la phase gazeuse Ug peut donc s’écrire comme étant

Ug = Us+ Ugs (2.19) où Us correspond à la vitesse moyenne de la pulpe et Ugs est la vitesse relative entre les deux phases pouvant être définie telle que

Ugs = Jgs

εgεs (2.20)

En utilisant le fait que

Ug = Qg

εgA (2.21)

et si l’on s’intéresse à une classe de taille de bulles b en particulier, on trouve finalement une expression de la forme

Qgb = Qsεgb

εs

+ AUgsbεgb (2.22)

Il est intéressant de noter que le premier terme à droite de l’égalité correspond au phénomène d’entrainement (par le débit de pulpe ascendant), tandis que le deuxième terme lui est associé purement à la poussée d’Archimède (buoyancy) des bulles prises individuellement par rapport à la matrice liquide (c.-à-d. la flottation) (Cruz,1997).

Le bilan volumique général pour la phase gazeuse peut s’écrire sous la forme d’une variation de la fraction de gaz pour chaque zone i de volume Vi

dεi_gb dt =

(Qi−1_gb − Qi gb)

Vi (2.23)

Pour toutes les zones, à l’exception de la zone de fluidisation (située à la base) on utilise l’équation (2.22) pour réécrire que

Qi−1_gb = Q i−1 s εi−1gb εi−1s + AU_gsbi−1εi−1_gb (2.24) et Qi_gb = Q i sεigb εi s + AU_gsbi εi_gb (2.25)

Le débit de gaz entrant dans la zone de fluidisation (i = 1) est une exception à l’équation (2.24) puisqu’il dépend uniquement du débit alimenté à l’appareil

où fb représente la fonction de distribution volumique des tailles des bulles dans le flux QG. De plus, le débit de pulpe dans la zone de fluidisation est calculé par bilan de matière

Qi=1_s = QW − QU (2.27)

2.3.3 Modélisation de la flottation

Le processus de flottation a depuis longtemps, et dans de nombreux cas, été décrit comme une série de conditions ou d’évènements probabilistes devant se produire pour qu’une particule soit flottée : la collision entre une bulle et une particule, l’adhésion entre les deux et la stabilité de l’agrégat formé. La probabilité de flottation P peut donc s’écrire sous la forme de (Sutherland,

1948;Dobby et Finch,1986;Yoon et Luttrell,1989)

P = PcPa(1 − Pd) (2.28)

avec Pc la probabilité de collision, Pa la probabilité d’adhésion et Pd la probabilité de décrochage. Dans le cas présent, on pose l’hypothèse qu’aucun décrochage des particules n’est possible (Pd= 0) étant donné la faible turbulence dans les équipements de FLF.

La probabilité de collision peut quant à elle être calculée en utilisant la formule proposée par

Yoon et Luttrell (1989) Pc= (1, 5 + 0, 267Re0,72b )  Dp Db 2 (2.29) où Dp est le diamètre de la particule, Db le diamètre de la bulle et Reb le nombre de Reynolds de la bulle

Reb =

DbUbsρl

µ (2.30)

La probabilité d’adhésion constitue donc le seul paramètre qui permet de tenir compte de l’hydrophobicité des particules. Dans le modèle proposé, ce paramètre est calibré en fonction de la minéralogie et des réactifs grâce à des essais expérimentaux. Le chapitre 3 explique de façon détaillée la stratégie utilisée pour le calibrage du modèle.

La probabilité de flottation permet ensuite de calculer une constante cinétique de flottation de 1er _{ordre k selon la formule proposée parLuttrell et Yoon (1991)}

k = 1, 5P Jg

Db (2.31)

En plus de la probabilité de flottation, il est souvent approprié d’ajouter une contrainte associée au recouvrement maximal des bulles (maximum bubble coverage) β . Au-delà de cette valeur,

une bulle est considérée comme recouverte et les particules ne pourraient, en théorie, plus s’y attacher. Luttrell et Yoon (1991) ont utilisé une valeur βmax= 0, 8 pour leur simulation et le recouvrement surfacique des bulles de classe b est défini comme (Cruz,1997)

βb =

εabDb

4Dabεgb (2.32)

où Dab correspond au diamètre des particules accrochées aux bulles de classe b.

La série d’équations (2.28) à (2.32) doit être résolue pour chaque combinaison de minéraux, de taille de particules, de libération et de tailles de bulles (m, d, e et b).

2.3.4 Particules libres

Pour les particules libres, l’équation différentielle volumique prend une forme similaire à l’équation (2.23). Un terme s’ajoute toutefois pour tenir compte du processus de flottation, soit le passage des particules de leur état libre à leur état accroché

dεi_p dt = Q⇒i_p − Qi⇒ p Vi − X b kεi_p  1 − βb βmax  (2.33)

où Qp correspond au débit de particules libres.

À cette étape, deux précisions méritent d’être faites. Premièrement, étant donné que les mouvements des particules libres ne sont pas unidirectionnels (contrairement aux bulles) (voir figure 2.3), la notation ⇒ i est utilisée pour définir le débit net de particules entrant dans la zone et i ⇒ pour le débit net sortant. Deuxièmement, à des fins de simplification, les indices associés aux classes de particules (m, d, e) ont été omis dans l’équation (2.33) et dans les équations subséquentes. De façon rigoureuse, on devrait donc lire εpm,d,e plutôt que εp, Qpm,d,e plutôt que Qp et km,d,e,b plutôt que k.

L’équation (2.19) représente une hydrodynamique biphasique (pulpe et air). Pour suivre le déplacement des particules solides, il faut donc également considérer le phénomène de sédi- mentation, ou en d’autres mots le déplacement relatif des particules par rapport à la matrice liquide. Dans ce cas, les particules sédimentent à contre-courant par rapport au liquide. Les particules qui sédimentent auront donc une vitesse Up égale à leur vitesse relative de sédimen- tation entravée Ups moins la vitesse interstitielle de la pulpe Us

La vitesse relative de sédimentation entravée peut se calculer à l’aide de l’équation générale proposée par Masliyah(1979)

Ups= gD2_p(ρp− ρs)ε2,7_l 18µ(1 + 0, 15Re0,687_p ) (2.35) avec Rep= DpUpsρlεl µ (2.36)

où ρp et ρs sont respectivement les masses volumiques des particules solides et de la pulpe. Un calcul itératif doit donc être effectué afin de déterminer la valeur de Ups.

En remplaçant l’équation (2.19) dans (2.34) on trouve que

Up = Ups+ Ugs− Ug (2.37)

Finalement, puisque

Qp= UpεpA (2.38)

on trouve une équation de la forme

Qp = AUpsεp+ AUgsεp− Qgεp

εg (2.39)

Il est intéressant de noter que dans l’équation (2.39), le premier terme à droite de l’égalité correspond à la sédimentation, le deuxième, au drainage des particules et le troisième, au phénomène d’entrainement. En se référant à la figure2.3, c’est ce qui explique le signe négatif devant le troisième terme puisque l’entrainement déplace les particules dans le sens inverse de la sédimentation et du drainage. Cette analyse permet d’écrire plus facilement les équations pour les débits entrant et sortant d’une zone i. De manière générale, pour le débit entrant on trouve

Q⇒i_p = AU_gsi+1ε_pi+1+ AU_psi+1εi+1_p + Q i−1 g εi−1p

εi−1g

(2.40)

et pour le débit sortant

Qi⇒_p = AU_psi ε_pi + AU_gsi εi_p+ Q i gεip εi g (2.41)

• Zone de fluidisation :

Q⇒i_p = AU_gsi+1εi+1_p + AU_psi+1εi+1_p (2.42)

Qi⇒_p = QUεip+ Qi_gεi_p

εi g

(2.43) où QU correspond au débit de pulpe à la sousverse qui est calculé en fonction de l’ou- verture de la valve à la décharge.

• Zone d’alimentation :

Q⇒i_p = AU_gsi+1ε_pi+1+ AU_psi+1εi+1_p +Q i−1 g εi−1p

εi−1g

+ QFεpF (2.44) où QF représente le débit d’alimentation fraîche et εpF la fraction volumique de solide dans l’alimentation.

Tel que mentionné précédemment, le modèle tient compte de différentes classes de particules. Pour obtenir les débits par classes, les équations (2.40) à (2.44) peuvent être réécrites en remplaçant εp par εpm,d,e et Ups par Upsm,d,e.

2.3.5 Particules accrochées

Pour les particules accrochées, l’équation différentielle volumique est très similaire à celle des particules libres ; la seule différence étant le signe positif du terme de flottation. Ainsi, le changement en concentration volumique pour les particules accrochées est donné par

dεi_a dt = (Qi−1_a − Qi a) Vi + X b kεi_p  1 − βb βmax  (2.45)

De façon rigoureuse, les indices a et p devraient être respectivement remplacés par am,d,e,b et pm,d,e et on devrait lire km,d,e,b plutôt que k.

Par la suite, les particules accrochées suivent nécessairement le flux des bulles avec lesquelles elles forment l’agrégat. Les équations de flux sont donc les mêmes que celles pour le gaz. On trouve Qi−1_a = Q i−1 s εi−1a εi−1s + AU_gsi−1εi−1_a (2.46) et Qi_a= Q i sεia εi s + AU_gsi εi_a (2.47)

Ainsi, comme cela était le cas pour la phase gazeuse, le premier terme à droite de l’égalité correspond au phénomène d’entrainement, tandis que le deuxième terme lui est associé purement à la flottabilité des agrégats bulles-particules.

La zone de fluidisation (i = 1) constitue la seule exception à l’équation (2.46). Dans ce cas particulier, le débit de particules attachées entrant est nul

Qi=0_a = 0 (2.48)

Il est également important de noter que la vitesse d’ascension relative des bulles Ugs est corrigée pour chaque classe de taille b en fonction de leur charge moyenne en particules. La masse volumique des bulles chargées devient donc

ρb = X m,d,e 4ρpm,eDpm,d,eβb Db (2.49)

2.4

Méthodologie de simulation

La figure 2.4 schématise les intrants, les sorties et la procédure de simulation du modèle.

2.4.1 Intrants et sorties

Les intrants peuvent être divisés en six groupes : • Classes :

— nombre de tailles de bulles Nb, — nombre d’espèces minérales Nm,

— nombre de classes granulométriques Nd, — nombre de classe de libération Ne. • Variables d’opération :

— débit de gaz QG,

— débit d’eau de fluidisation QW,

— hauteur du lit fluidisé HL ou la pression hydrostatique HH. • Paramètres de calibrage :

— probabilité d’adhésion Pam,d,e,b, — nombre de zones totales Ni.

• Caractéristiques de la pulpe et de l’air alimentés : — débit d’alimentation QF ,

— fraction massique des différentes classes de particules ϕSm,d,e, — masse volumique du solide ρm,d,e,

— distribution des tailles de bulles fb,

— recouvrement surfacique maximal des bulles βmax. • Caractéristiques de l’équipement ;

— surface de la cellule A, — hauteur de la cellule H. • Paramètres de simulation ;

— pas de simulation δt,

— temps de simulation total T .

Alimentation

(𝑸

_𝑭

, 𝝋

_𝑭

, 𝝋

_{𝑺𝒎,𝒅,𝒆}

,

𝝆

_{𝒎,𝒅,𝒆}

, 𝑵

_𝒎

, 𝑵

_𝒅

, 𝑵

_𝒆

)

Air

(𝑸𝑮, 𝒇

_𝒃

, 𝑵

_𝒃

, β

_max

)

Eau

(𝑸

_𝑾

)

Flottation

( 𝑷

_{𝒂𝒎,𝒅,𝒆,𝒃}

)

Caractéristiques

de l’équipement

(𝑵

_𝒊

, 𝑨, 𝑯)

Hauteur du lit

(𝑯

_𝑳

)

Surverse

𝒚 𝒐

(𝑸

𝒎,𝒅,𝒆

, 𝑹

,

𝒚

𝒐

₎

x

Sousverse

(𝑸

_𝒚𝒖 𝒎,𝒅,𝒆

, 𝒚

𝒎,𝒅,𝒆 𝒖

₎

À chaque pas d’intégration 𝜹_𝒕

Calcul de 𝑸𝑼

Mise à jour : 𝑸𝑮, 𝑸𝑾 et 𝑯𝑳

Pour chaque zone 𝒊

Calculs auxiliaires Débits entrant et sortant Mise à jour des états 𝝆𝒃 𝝆𝒔𝒍 𝑸𝒈 𝜺𝒈 𝜷𝒃 𝑸𝒑 𝜺𝒑 𝑼𝒈𝒔 𝑸𝒂 𝜺𝒂 𝑼𝒑𝒔 Jusqu’à 𝑵_𝒊 𝒕 = 𝒕 + 𝜹𝒕 Jusqu’à 𝑻/𝜹_𝒕

Modèle

𝒎,𝒅,𝒆 𝒎,𝒅,𝒆

Les sorties les plus importantes du modèle sont les débits massiques de particules solides allant à la surverse Qo

ym,d,e et à la sousverse Quym,d,e. À partir de ces valeurs, il est également possible de calculer la teneur d’une espèce en particulier dans le produit de la surverse yo

m,d,e ou de la sousverse yu

m,d,e et la récupération au concentré de chaque espèce Rm,d,e.

Dans le document Modélisation d'une cellule de flottation à lit fluidisé : application à la concentration d'un minerai de lithium (Page 34-42)