L’interaction d’une onde de choc avec une surface rigide résulte en une réflexion non triviale, comme illustré en figure 1.13.
L’intensité du choc réfléchi dépend de l’intensité de l’onde incidente et de son angle avec la paroi. En pratique, la pression réfléchie, pr, est souvent donnée via le coefficient de réflexion,
Cr, défini comme le rapport de la surpression réfléchie à la surpression incidente :
Cr=pr− p1
p2− p1 ,
p1 étant la pression atmosphérique et p2 la pression à l’arrière du choc incident. Des abaques graphiques, comme celui issu de la référence TM5-1300 [3], permettent d’estimer rapidement ce coefficient, cf. figure 1.14.
2. Nous ne discuterons pas de l’épaisseur physique du choc. Pour les applications visées, l’hypothèse de surface de discontinuité est suffisante.
1.3. INTERACTION D’UNE ONDE DE CHOC AVEC UNE STRUCTURE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre de Mach du choc
r (m/kg1/3)
Figure 1.12 – Nombre de Mach du choc calculé à partir de la loi de Needham (1.6) lors de l’explosion d’une charge sphérique de TNT en champ libre.
CHAPITRE 1. CONTEXTE DE L’ÉTUDE
Figure 1.14 – Coefficients de réflexion, issus de [3], d’un choc plan sur une surface plane en fonction de l’angle d’incidence (β) pour différentes valeurs de la surpression incidente.
On notera tout d’abord qu’en choc fort, lors de l’interaction à incidence normale, i.e. β = 0◦, le coefficient de réflexion est supérieur à huit3. Ces abaques tiennent ainsi compte des effets de haute température sur γ. Toutefois, le niveau de pression à considérer pour les ondes de souffle étant rapidement assez faible, inférieur à 0.43 bar d’après la table 1.1, on pourra supposer que
γ= 1.4 dans le cadre de cette thèse. En choc faible, on retrouve un coefficient intuitif de deux. On notera également qu’à mesure que l’angle d’incidence augmente, le coefficient de réflexion diminue puis reforme un pic : la réflexion n’est plus régulière, un front de Mach se forme. Enfin, pour β = 90◦, le choc glisse le long de la paroi et Cr= 1.
La transition d’une réflexion régulière à non régulière a été étudiée par de nombreux auteurs. Von Neumann s’est intéressé théoriquement à ce sujet dès 1943 [135]. Le diagramme de Ben-Dor [15], figure 1.15 issue de [41], présente les différents régimes répertoriés.
L’appartenance à l’un de ces régimes dépend de la vitesse incidente du choc (le nombre de Mach incident Mi) et de son angle d’incidence β (angle entre la normale au choc incident et la tangente à la paroi). Selon la valeur de ces paramètres, deux types de réflexion sont observés (cf. Fig. 1.13). La réflexion régulière (RR) correspond à une réflexion spéculaire mais avec des angles d’incidence et de réflexion non égaux en général. Lorsque l’angle d’incidence est plus grand qu’un angle limite βlim, dépendant de l’intensité incidente de l’onde, le choc réfléchi n’est plus attaché à la paroi. On parle alors de réflexion irrégulière (RI) ou non régulière. Dans ce cas, une troisième onde apparaît, le front de Mach, joignant la paroi et les chocs incident/réfléchi en un point dit triple. L’angle de transition entre ces deux régimes de réflexion peut être estimé théoriquement en fonction du nombre de Mach incident, Mi. Cet aspect est détaillé en annexe B. La formulation empirique établie par Kinney [64] permet d’estimer rapidement cet angle de transition :
βlim= 1.75
Mi−1+ 39.
En figure 1.16 sont tracés les angles de transition théorique et empirique entre une réflexion régulière et une une réflexion irrégulière. Pour un nombre de Mach incident approchant l’unité
3. La surpression réfléchie est en effet donnée par pr− p1 = 2(p2− p1) + (γ + 1)q où q est la pression dynamique. Après calcul on obtient ainsi Crnormal = (3γ−1)p2+(γ+1)p1
(γ−1)p2+(γ+1)p1 qui tend vers huit en choc fort en supposant que γ = 1.4.
1.3. INTERACTION D’UNE ONDE DE CHOC AVEC UNE STRUCTURE
Figure 1.15 – Diagramme des différents régimes de réflexions selon Ben-Dor [15]. La figure est issue de [41].
(limite du choc faible), l’angle d’incidence de transition entre ces deux régimes se rapproche de 90◦et la réflexion est régulière dans la plupart des cas. Lorsque l’intensité du choc augmente, cet angle limite diminue rapidement et tend vers 40◦ environ. Cette transition d’un régime à l’autre a été observée expérimentalement autour de l’angle de transition théorique βlim. L’expérience montre toutefois que la réflexion régulière peut persister au-delà de cet angle en raison des forces visqueuses [11].
La réflexion de Mach est caractérisée par un front localement perpendiculaire à la paroi, relié aux chocs incident et réfléchi par un point singulier, appelé point triple. Le front de Mach, ou pied de Mach (nommé ainsi après sa première observation expérimentale par Ernst Mach en 1878 [78]), peut être vu comme la fusion des ondes incidente et réfléchie ce qui génère une amplification du pic de surpression, cf. figure 1.14. Suivant la trajectoire du point triple, on distingue trois régimes de réflexion de Mach :
• la réflexion de Mach directe, lorsque le point triple s’éloigne de la paroi. La réflexion est dite simple réflexion de Mach lorsqu’un seul front de Mach est présent. Dans le cas d’une double réflexion de Mach [14], un second pied de Mach se forme à l’arrière du premier. Ce type de réflexion n’est pas étudié dans le cadre de cette thèse. La transition entre réflexion de Mach simple et réflexion de Mach double est représentée en figure 1.16 à titre indicatif ;
CHAPITRE 1. CONTEXTE DE L’ÉTUDE 20 30 40 50 60 70 80 90 1 2 3 4 5 6 minimum : 39.23° pour Mi=2.48 limite : 39.97° pour Mi >> 1 simple réflexion
de Mach transition vers une double réflexion de Mach double réflexion de Mach Réflexion Régulière Réflexion Irrégulière Angle d’incidence β (en degré)
Nombre de Mach incident Mi
transition RR/RI FIT Kinney
Figure 1.16 – Transition d’une réflexion régulière (RR) à une réflexion irrégulière (RI), et transition entre une simple réflexion de Mach et une double réflexion de Mach. Les courbes pointillées noires délimitent les régimes de simple et double réflexion de Mach et proviennent de données expérimentales [11].
Neumann [14], qui n’est également pas traitée dans ce travail.
Pour un choc sphérique suffisamment fort, une réflexion irrégulière peut ainsi apparaître au-delà d’une certaine distance. Prenons le cas d’une charge explosive se trouvant à une hau-teur HOB (Height Of Burst en anglais) au-dessus d’un sol plat, cf. Fig. 1.17. L’onde de choc interagit d’abord de manière normale (perpendiculaire) à la surface, puis l’angle d’interaction
β augmente jusqu’à atteindre environ 40◦. La réflexion devient alors non régulière à partir de la distance xm. Des abaques permettent d’estimer cette distance de transition, ainsi que
Figure 1.17 – Représentation schématique de la réflexion de l’onde de souffle sphérique sur le sol.
la hauteur du point triple, HTP pour Height of Triple Point, en fonction de la hauteur de la charge et de la distance à la source x. Parmi ces abaques, la formule issue de [81] et adaptée
1.3. INTERACTION D’UNE ONDE DE CHOC AVEC UNE STRUCTURE
au cas des explosifs chimiques, est retenue. La distance normalisée (en m/kg1/3) de formation du front de Mach est définie par
xm= SHOB
2.5
5822 + 2.09 · SHOB
0.75, (1.8)
où SHOB est la hauteur de la charge, en mètres, rapportée à la masse de l’explosif W en kg de TNT : SHOB = 100/21/3HOB/W1/3. La hauteur physique du point triple, en mètres, est donnée par la formule :
HTP(x) = W1/3 h+h2+ 100x (2W )1/3 −0.9xm 2 −x2m 100 1/2 5.98 × 10−5·SHOB2+ 3.8 × 10−3·SHOB + 0.766, (1.9) avec h = 0.9xm−3.6·SHOB. Pour x suffisamment grand, le point triple évolue linéairement avec la distance.