Algorithme numérique
CHAPITRE 5. ALGORITHME NUMÉRIQUE l’aire est conservée :
5.3. EXTENSIONS POSSIBLES DE L’ALGORITHME
pouvons le voir en figure 5.22(b). On en conclut que l’algorithme est conservatif, ce qui lève la limitation observée avec l’algorithme Eulérien décrit dans [85].
5.3 Extensions possibles de l’algorithme
Nous avons présenté et validé l’algorithme Lagrangien en deux dimensions d’espace. Les extensions de l’algorithme à un milieu non-uniforme ainsi qu’à trois dimensions d’espace sont rapidement évoquées dans cette partie. Ces extensions dépassent le cadre de notre étude et ne sont pas mises en pratique, mais pourraient s’avérer utiles dans l’optique de la mise au point d’une méthode de calcul rapide des effets de souffle.
5.3.1 Extension de l’algorithme à un milieu non-uniforme et au repos
L’extension de l’algorithme Lagrangien à un milieu non-uniforme, mais au repos, est di-recte. Nous proposons dans cette section une amélioration du schéma initialement proposé par Schwendeman [107]. Cette étude se limitera à des considérations théoriques par manque de temps.
L’extension du modèle GSD à un milieu non-uniforme et au repos nécessite de revoir la relation A − M (cf. section 3.2.1). On rappelle la forme de cette équation donnée par (3.67) en l’absence d’effets arrière :
1 A dA dt + M λ(M) M2−1 dM dt + f1(M) 1 ρ+ dρ+ dt + f2(M) 1 p+ dp+ dt = 0. (5.35) Les fonctions f1 et f2dépendent uniquement de M et sont définies par (3.69). Les champs + caractérisent le milieu amont local, ici la pression p+et la masse volumique ρ+. La formulation (5.35) est identique pour le modèle Cinématique avec des coefficients λ et fi différents donnés par (4.88) et (4.89).
Le schéma originel de Schwendeman consiste à intégrer la relation A − M (5.35) depuis l’instant initial. La connaissance de l’historique des termes sources sur chaque rayon est alors nécessaire, ce qui rend difficile la résolution numérique du modèle hors cas triviaux. Dans [107], la méthode est appliquée pour des configurations de type choc-bulle non déformable où l’au-teur suppose des propriétés uniformes dans les différents milieux. Dans ce cas particulier, une intégration simple de la relation A − M depuis l’instant initial est possible.
Les propriétés 5.3 et 5.4 que nous avons développées autorisent l’intégration de la relation
A − M d’un pas de temps à l’autre tout en respectant la conservation de l’aire des tubes de rayon, ce qui simplifie la résolution et autorise tout type de configuration. Hors modification de ces tubes lors de l’étape de régularisation du front, l’intégration entre les instants t et t+∆t s’écrit : ln A(t + ∆t) A(t) + M (t+∆t) Z M (t) mλ(m) m2−1dm + t+∆t Z t f1(M(τ)) 1 ρ+ dρ+ dt dτ + t+∆t Z (M(τ)) 1 dp+dτ = 0. (5.36)
CHAPITRE 5. ALGORITHME NUMÉRIQUE
où ¯M est une pondération de M(t) et M(t + ∆t) : ¯M = xM(t) + (1 − x)M(t + ∆t), avec
x ∈[0, 1]. Faisant cela, la relation (5.36) est alors remplacée par :
ln A(t + ∆t) A(t) + M (t+∆t) Z M (t) mλ(m) m2−1dm + f1( ¯M) ln ρ+(~xsh(t + ∆t)) ρ+(~xsh(t)) +f2( ¯M) ln p+(~xsh(t + ∆t)) p+(~xsh(t)) = 0, (5.37) où l’on rappelle que ~xsh(t) est la position du choc à l’instant t. Il est alors aisé de résoudre (5.37) en approchant l’intégrale restante par une méthode de Simpson par exemple et en cherchant une racine de l’équation non-linéaire à l’aide d’un algorithme de Newton.
Afin d’assurer la conservativité du schéma lors de la régularisation du front, il conviendrait ensuite d’adapter les propriétés 5.3 et 5.4 à la relation (5.37).
5.3.2 Extension de l’algorithme en 3D
L’extension de l’algorithme au 3D n’est pas traitée dans le cadre de cette thèse. Schwen-deman a proposé une méthode [105] que l’on rappelle ici dans un souci de complétude. La procédure est identique à celle décrite précédemment à l’exception que l’auteur n’effectue pas d’interpolation spline du choc, la définition cohérente des coordonnées tangentielles de la sur-face de choc étant une tâche délicate dans ce cas.
Dans cet algorithme, le front de choc est approché par un ensemble fini de points formant un maillage triangulaire (cf. Fig. 5.23(a)). Chaque point est le centre d’un tube de rayon et possède un certain nombre de triangles voisins. Pour un point donné ~xi, l’aire du tube de rayon associé est déterminée en moyennant l’ensemble des aires de ses faces voisines. Le nombre de Mach est ensuite calculé comme précédemment à l’aide de la relation A − M (5.18). L’estimation du vecteur normal associé à ~xi s’effectue en moyennant les vecteurs normaux de chaque face voisine. Chaque point est finalement propagé en considérant l’équation (5.6) (cf. Fig. 5.23(b)). Lors de l’interaction du choc avec un obstacle, on impose au front d’être localement orthogonal à la paroi. Schwendeman propose pour cela d’utiliser la projection orthogonale sur la paroi du barycentre des deux points les plus proches, comme schématisé en figure 5.23(c).
(a) (b) (c)
Figure 5.23 – Algorithme Lagrangien en trois dimensions. Fig. (a) : Maillage triangulaire du front. Fig. (b) : Propagation du front de choc. Fig. (c) : Interaction du choc avec un mur. Les figures sont issues de [105].
Une procédure de régularisation du front est également présente dans l’algorithme. Des points peuvent être supprimés ou ajoutés, et la connectivité entre les points est également sus-ceptible d’être modifiée afin de limiter l’apparition de triangles de mauvaise qualité. Ces trois
5.4. CONCLUSION
actions de base sont effectuées sur chaque paire de triangle comme schématisé en figure 5.24. Cette étape nécessite une attention particulière afin d’éviter l’apparition de triangles dégénérés (i.e. sommets alignés).
Finalement, la procédure de filtrage spatial décrite précédemment est étendue à trois dimen-sions afin d’éliminer les oscillations de haute fréquence en ~xi(t).
Figure 5.24 – Régularisation du front de choc pour l’algorithme Lagrangien à trois dimensions. Fig. (a) : Des points sont fusionnés. Fig. (b) : Un point est ajouté. Fig. (c) : Échange de la connectivité des points. La figure est issue de [105].
L’algorithme en trois dimensions est toutefois difficile à mettre en œuvre pour des géométries complexes, principalement lors de la séparation du front de part et d’autre d’un obstacle et de sa recombinaison à l’arrière de celui-ci. Cette difficulté pourrait être contournée par l’utilisation de la bibliothèque de front tracking FronTier [1].
5.4 Conclusion
L’algorithme Lagrangien [56] est une approche naturelle de résolution numérique du modèle GSD (ou Cinématique). Il est basé sur la décomposition du front de choc en tubes de rayon, assurant la conservativité du schéma. Cet algorithme a été initialement proposé par Henshaw, Smyth et Schwendeman [56]. Dans ce chapitre, nous avons proposé et validé une amélioration à deux dimensions.
L’interpolation spline cubique globale est tout d’abord remplacée par une interpolation spline locale à laquelle un limiteur de pente de type Monotonic third order est appliqué. Cela permet ainsi d’atténuer les oscillations numériques du schéma. La rupture régulière de l’algo-rithme original, causée par l’utilisation d’un schéma en temps du type Leap-Frog, est ensuite évitée en propageant le front à l’aide d’un schéma du type Runge-Kutta d’ordre 3. L’inté-gration de la relation A − M s’effectue originellement depuis l’instant initial, ce qui assure la
CHAPITRE 5. ALGORITHME NUMÉRIQUE
d’expansion radiale, de diffraction sur un dièdre convexe et de diffraction sur un dièdre concave montre les capacités de l’algorithme. L’étude approfondie de ce dernier problème met de plus en évidence le caractère conservatif du schéma. La seule limitation est la convergence d’ordre 1 en présence du lissage. Ce point pourra être amélioré à l’avenir, en mettant au point un algorithme monotone par exemple, mais est secondaire au regard de l’objectif de cette thèse.
L’ensemble de l’étude menée dans ce chapitre est effectuée pour le modèle GSD. L’ana-logie structurale du modèle Cinématique avec ce dernier, prouvée en section 4.5, autorise la même étude pour ce modèle alternatif. En particulier, l’algorithme Lagrangien sera utilisé pour comparer ces deux modèles dans des configurations variées et complexes au chapitre suivant.