ÉQUIVALENCE STRUCTURALE AVEC LE MODÈLE GSD Cela donne :

−^{|~V |} c₊ ~i · ~∇K K +^{M λ}K(M) M2−1 |~V | c₊  ~i · ~∇M +^{ M + ~n · ~m} |M~n+ ~m|^{~i − ~n}  · ~∇M+ χ1(M)M^∂nρ+ ρ₊ + χ2(M)M^∂np+ p₊ + χ3(M)M^(∂np)− p₊ + α0= 0. Finalement, en notant dα = c+dt et en posant K = ¹

A, l’équation de bilan dans les tubes de rayon est retrouvée :

~

∇ · ~i

A

! = 0, ainsi qu’une relation A − M propre au modèle Cinématique :

1 A dA dα ⁺ M λK(M) M2−1 dM dα ⁺  M+ ~n · ~m |M~n+ ~m|^{~i − ~n}  · ~∇M+ χ1(M)M^∂nρ+ ρ₊ + χ2(M)M^∂np+ p₊ + χ3(M)M^(∂np)− p₊ + α0= 0. (4.93) Le modèle Cinématique est ainsi formellement équivalent au modèle GSD. Il se compose de l’équation eikonale (3.73) (cf. remarque 4.1) :

c₊ c0 M | ~∇α|= 1 − ^c+ c0 ~ m · ~∇α, de l’équation bilan (3.72) : div ^~i A ! = 0, (4.94)

et de la relation A − M (4.93). Cette dernière relation est spécifique au modèle Cinématique. Pour un milieu amont au repos, elle diffère de celle du modèle GSD, équation (3.67), par l’expression des coefficients et par le terme modélisant les effets arrière. Dans ce dernier cas, l’influence de l’écoulement arrière sur le choc est contenue dans le terme (∂tp+ ρc∂tv)₋ pour le modèle GSD tandis qu’il est pris en compte à travers le terme^~n · ~∇p^

− pour l’approche cinématique. Négliger les effets arrière dans le modèle Cinématique implique donc d’omettre une information différente de celle de l’approche de Whitham. Pour un milieu uniforme, et en négligeant les effets arrière, seule la fonction λ varie entre les deux approches. La relation

A − M s’écrit en effet sous la forme dA

A +^{M λ(M)}

M2−1^{dM = 0, (4.95)}

avec λ définie par (3.79a) pour le modèle GSD et λ = λK donnée par (4.88) pour le modèle Cinématique. Dans ce cas, le pilotage de la vitesse du front est entièrement déterminée par la fonction λ. Cet aspect sera abordé plus en détail au chapitre 6, dans lequel les deux modèles

CHAPITRE 4. LE MODÈLE CINÉMATIQUE

Bien que l’approche cinématique soit différente de celle de Whitham, il apparaît naturel de décomposer la propagation du front de choc en tubes de rayon élémentaires. Néanmoins, contrairement à ce dernier, l’hypothèse de paroi rigide des tubes n’est pas nécessaire pour définir une relation A − M. Cela se traduit alors par la prise en compte de variations tangentielles le long du choc. Dans la relation (4.93), il s’agit d’un terme lié à l’écoulement amont : ~∇S· ~v₊. À l’ordre supérieur de troncature du système, c’est-à-dire avec une équation supplémentaire sur le terme de couplage arrière, cette variation tangentielle apparaît plus concrètement au travers du gradient du nombre de Mach : ~∇SM. Cette extension sera traitée au chapitre 9.

L’équation d’évolution de la position du choc (4.62a) est identique à l’équation eikonale comme souligné en remarque 4.1. De surcroît, l’évolution du vecteur normal au front (4.62c) découle de la vision level-set du choc (2.26) (cf. section 4.3.1) et peut donc être définie pour le modèle GSD. Par conséquent, seule l’évolution de l’intensité du choc (4.62b) diffère entre les modèles. Il a été prouvé dans cette section que cette dernière équation se réécrit sous la forme de l’équation bilan sur les tubes de rayon et d’une relation A − M. L’écriture du modèle GSD à trois dimensions dans la base locale au choc, pour un milieu hétérogène et potentiellement en mouvement, est par conséquent identique au système (4.62), avec des coefficients différents pour l’équation d’évolution sur ζ. Dans ce cas, les ondes s± (4.84b) du modèle de Whitham sont données par

s_±= ±c+

s

M2−1

λ(M) ^, où l’on rappelle que M = q1 +γ+1

2γ ζ, et avec λ définie par (3.79a). En particulier, le théo-rème 4.1 indique que le modèle GSD anisotrope (3.80) est hyperbolique sous la condition k~vS

+k ≤ s+ = −s−, donnant par cette occasion un résultat général d’hyperbolicité du modèle GSD.

L’équivalence structurale du modèle Cinématique avec le modèle GSD permet son étude complète, au travers de l’état de l’art du modèle GSD [143], ainsi qu’une comparaison détaillée des deux approches. Celles-ci feront l’objet du chapitre 6.

4.6 Conclusion

Le modèle Cinématique est un modèle simplifié de propagation d’une onde de choc aé-rienne. Il s’agit d’un modèle alternatif à l’approche GSD, basé sur une vision beaucoup plus mathématique de l’évolution du front du choc. Nous avons choisi dans ce chapitre d’étendre le modèle déjà existant à un milieu stationnaire assimilé à un gaz de van der Waals. Une dé-rivation détaillée du modèle à l’ordre 0, où l’on suppose que l’écoulement arrière est connu, a été présentée ici. À cela s’ajoute une étude globale de la nature du modèle, ainsi qu’une démonstration formelle de l’équivalence structurale du modèle Cinématique avec le modèle de Whitham. L’ensemble de l’étude menée dans ce chapitre n’a jamais été effectuée auparavant à notre connaissance.

Le modèle Cinématique est hyperbolique sous réserve que la vitesse de l’écoulement amont projetée sur la surface de choc ne soit pas trop importante par rapport à celle des ondes lo-cales. Tout comme le modèle GSD, des discontinuités (choc-chocs) peuvent donc se développer sur le front correspondant à la trace du point triple lors de la formation du front de Mach. Bien que l’approche cinématique soit différente de celle de Whitham, il semble toutefois natu-rel de décomposer l’évolution du front de choc en tubes de rayon. Contrairement au modèle GSD, ceux-ci ne sont plus à paroi rigide, autorisant ainsi la prise en compte de l’écoulement transversal amont dans le modèle Cinématique au travers des gradients de ~v+.

L’équivalence structurale du modèle Cinématique avec le modèle GSD autorise son étude complète, tant par l’état de l’art disponible pour le modèle de Whitham [143] (cf. chapitre 3),

4.6. CONCLUSION

que par les schémas numériques développés pour ce dernier [56, 85]. Cette étude ainsi qu’une comparaison détaillée des modèles en deux dimensions d’espace sera effectuée au chapitre 6. Il est toutefois nécessaire de mettre au point un algorithme numérique de résolution pour les problèmes complexes. Le prochain chapitre présente l’algorithme Lagrangien développé à cette fin.