Perspectives sur l’´ etude de la dynamique α-asynchrone

a Minorit´e : une transition de phase quand α varie et l’apparition de motifs particuliers qui envahissent la configuration quandα est proche de 0. Nous sommes actuellement en train d’es-sayer d’am´eliorer ces outils pour ´etudier les fronti`eres de n’importe quelle r´egion. Nous esp´erons ainsi prouver que le temps de relaxation est polynomial pour n’importe quelle configuration initiale, tant que n et m sont pairs (nous pensons que le temps de relaxation est O(N<sup>3</sup>) pour les configurations 2Dtoriques non born´ees de dimensions paires). Ce r´esultat conclurait l’´etude de cet automate sous la dynamique totalement asynchrone. L’extension de nos r´esultats `a la dynamique α-asynchrone est un probl`eme difficile, par exemple la plupart des r´esultats sur les mod`eles de spin et les lattices de gaz s’appliquent uniquement quand la temp´erature tend vers 0, i.e., quand une seule transition a lieu `a chaque pas de temps.

7.9 Perspectives sur l’´ etude de la dynamique α-asynchrone

L’´etude de Minorit´e 2D s’est av´er´ee plus complexe que nous le pensions au premier abord.

L’analyse de son comportement en dynamique totalement asynchrone n’est pas encore totale-ment achev´ee mais nous sommes n´eanmoins capables de l’expliquer en grande partie. Nous avons essay´e de porter nos r´esultats `a la dynamique α-asynchrone. Pour le moment, nos tentatives ont abouti `a plusieurs remarques mais nous n’avons pas encore eu le temps de les transformer en r´esultats. Nous r´ecapitulons ici ces premi`eres constatations. La premi`ere d’entre elles ´etant le fait que l’´energie n’est plus d´ecroissante au cours du temps. Il suffit de consid´erer les motifs de la figure 7.9 pour voir que le nombre de fronti`eres peut augmenter.

Fait 7.35 Il existe des configurationsc, telles que la s´equence de variables val´eatoires E(c^t) ne soit pas une s´equence d´ecroissante.

: cellule active se mettant à jour

Fig. 7.9 – Deux motifs repr´esentant une ´evolution possible de Minorit´e 2D en dynamique α-asynchrone impliquant une hausse d’´energie (les fronti`eres sont dessin´ees en rouge).

Ligne simulant l'automate BCDEFG

Pour qu'une cellule détermine si elle est active, elle n'a besoin de connaître que l'état de ses deux

voisines dans la ligne

Une configuration de Minorit´e 2D simu-lant l’automateBCDEFG.

La configuration duale, le rectangle bleu repr´esente une cellule est ses deux voisines dans la ligne.

Fig.7.10 – L’automate BCDEFG apparaˆıt dans le comportement de Minorit´e 2D.

Fait 7.36 Consid´erons une configuration faite de trois bandes horizontales : les deux premi`eres sont de largeur ≥2, pav´ees par des motifs en damier oppos´es (donc stables) et occupent toute la configuration sauf une ligne qui correspond `a la bande de largeur 1 (voir figure 7.10). Les effets des cellules au dessus et en dessous s’annulent et les transitions d´ependent uniquement des deux voisines `a gauche et `a droite et on a donc un automate cellulaire1Dsur cette ligne qui se trouve ˆetre minorit´e1D dans le primal etBCDEFG(i.e.toutes les transitions sont actives sauf tout noir et tout blanc) dans le dual.

Ainsi, le th´eor`eme 5.3 du chapitre 5 page 84 implique que quand α > 0.996 Minorit´e 2D diverge avec probabilit´e strictement positive `a partir d’une configuration infinie o`u une seule cellule diff`ere d’une configuration stable.

Ce r´esultat indique que Minorit´e 2D est au moins aussi complexe `a ´etudier que l’auto-mateBCDEFG. Vraisemblablement, vu que l’analyse de la dynamique totalement asynchrone de Minorit´e 2D est plus compliqu´ee que l’analyse de la dynamique totalement asynchrone de BCDEFG, nous pensons que Minorit´e 2Dest encore plus complexe queBCDEFGpour la dy-namique α-asynchrone. Par contre, les lemmes 7.19 et 7.24 sur les configurations semi-born´ees et born´ees restent vrais en dynamique α-asynchrone et dans ces types de configurations, les comportements de ces deux automates semblent li´es quandα est proche de 0. Si nous d´eplions les cellules de la zone hachur´ee de la figure 7.11 pour former une configuration 1Dalors le com-portement de cette configuration n’est pas exactement identique `a la r`egleBCDEFG mais lui ressemble fortement (la dynamique est biais´ee vers la disparition des cellules noires dans certains cas). Minorit´e 2Dsemble ˆetre une ex´ecution en parall`ele de plusieurs automates 1Dressemblant

`

aBCDEFG. C’est pourquoi nous disions dans le chapitre 5 que tout r´esultat sur cet automate quand α est proche de 0 serait une grande avanc´ee car il est presque certain qu’un tel r´esultat

Pour qu'une cellule détermine si elle est active, elle n'a besoin de connaître que l'état de ses deux

voisines dans la ligne

Fig. 7.11 – L’automateBCDEFG apparaˆıt dans une configuration born´ee de Minorit´e 2D.

permettrait d’´etendre notre ´etude de Minorit´e 2D de la dynamique totalement asynchrone `a la dynamique α-asynchrone.

Chapitre 8

Etude de la baisse initiale d’´ ´ energie

Les r´esultats contenus dans ce chapitre ont ´et´e publi´es dans [79]. Le but de ce chapitre est de g´en´erer automatiquement des preuves du type :

”Consid´erons un automate ´evoluant sous la dynamique totalement asynchrone tel qu’il est possible d’associer `a chaque cellule un po-tentiel o`u l’´energie d’une configuration, d´efinie comme la somme des potentiels des cellules, soit d´ecroissante au cours du temps.

Alors cette ´energie descend en dessous d’une constante b en un temps polynomial en esp´erance.”

Les outils que nous pr´esentons ici, ont ´et´e d´evelopp´es pour Minorit´e 2D. Pour les automates totalisant externes pr´esentant un comportant similaire `a Minorit´e 2D, il doit ˆetre possible de g´en´eraliser les notions de potentiel et d’´energie, mais nous n’avons malheureusement pas encore eu le temps d’explorer cette voie. Si tel est le cas, nos travaux devraient demander tr`es peu de modifications pour fournir des r´esultats semblables pour chacun de ces automates.

Pour arriver au r´esultat voulu, nous pr´esentons ici deux outils compl´ementaires : – l’algorithme 3,

– le th´eor`eme 8.8.

L’algorithme permet de g´en´erer une liste de motifs et une constantek telles que : – toute configuration d’´energie E≥bcontient un des motifs de la liste,

– la pr´esence d’un des motifs de la liste dans une configuration entraˆıne l’existence d’une s´equence de mises `a jour de longueur inf´erieure `a k telle que si les cellules se mettent `a jour dans cet ordre, alors l’´energie d´ecroˆıt.

Le th´eor`eme 8.8 nous permet de conclure en affirmant que si toutes les configurations d’´energie sup´erieure `abadmettent une s´equence de mises `a jour de longueur inf´erieure `akentraˆınant une baisse d’´energie, alors l’´energie descend rapidement en dessous de ben esp´erance.

Notre algorithme prend en entr´ee une taille et ´enum`ere tous les motifs de cette taille. Plus la taille des motifs ´etudi´es est grande plus la borne bobtenue sera petite mais plus la longueur des s´equencesk sera grande. Notons que le th´eor`eme 8.8 prouve que la baisse initiale d’´energie se produit en temps polynomial en la taille de la configuration en esp´erance, mais avec une constante exponentielle en la taille de k (qui est constant une fois une taille de motif fix´ee).

Egalement, par cette m´´ ethode, la borneb obtenue ne sera jamais inf´erieure `a l’´energie la plus haute d’une configuration stable (N dans le cas de Minorit´e 2Davec le voisinage de von Neu-mann). Ceci montre la limite de cette approche mais confirme l’existence de deux phases dans cet automate : une baisse initiale de l’´energie due `a des consid´erations locales puis une baisse due `a l’´evolution de formes 2Do`u les interactions entre les fronti`eres/particules n´ecessitent de r´eunir des fragments d’informations qui peuvent ˆetre arbitrairement loin dans la configuration.

Finalement, dans le chapitre 7 concernant Minorit´e 2D avec le voisinage de von Neumann en dynamique totalement asynchrone, nous avons prouv´e, dans le th´eor`eme 7.10, qu’au bout d’un temps polynomial en esp´erance l’´energie descend en dessous de <sup>5</sup><sub>3</sub>mn (o`u m etn sont les dimensions de la configuration), grˆace `a notre nouvelle m´ethode nous avons prouv´e le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 8.1 Pour l’automate cellulaire Minorit´e 2D avec le voisinage de von Neumann en dynamique totalement asynchrone, la variable al´eatoire T = min{t : E(c^t) < 18d^m₄edⁿ₄e} est presque sˆurement finie etE[T] =O(N²).

8.1 Un th´ eor` eme sur les s´ equences d´ ecroissantes

D´efinition 8.2 (S´equence d´ecroissante) Etant donn´´ ee une configuration c, une s´equence finie S = (c_i)1≤i≤j de cellules (j est la taille de la s´equence) est une s´equence d´ecroissante si mettre successivement `a jour les j cellules dans l’ordre c<sub>1</sub> `a c_j conduit `a une configuration de plus basse ´energie que c. Le voisinage V(S) d’une s´equence S est l’ensemble des cellules de la s´equence et de leurs voisines (pour la relation de voisinage de l’automate consid´er´e : celui de von Neumann dans notre cas).

Notons que si une configuration c poss`ede une s´equence d´ecroissante de taille j, alors pour toutk≥j, elle poss`ede une s´equence d´ecroissante de taillek. Comme l’´energie est d´ecroissante, une suite d´ecroissante le reste quand on la poursuit par une suite quelconque de mises `a jour.

Fait 8.3 ( ´Evolution d’un s´equence d´ecroissante) Etant donn´´ ees une configuration c^t et une s´equence d´ecroissante S = (c_i)1≤i≤j de longueur j, alors :

– avec probabilit´e _N¹, la cellulec₁ se met `a jour, et soit l’´energie d´ecroˆıt, soit S⁰ = (c_i)2≤i≤j

est une s´equence d´ecroissante de c^t+1.

– avec probabilit´e ^|V(S)|−1_N , une cellulec0∈(V(S)\c₁)se met `a jour, et soit le potentiel dec0

est≥3et l’´energie diminue, soit le potentiel de c₀ est2etS⁰ = (c_i)0≤i≤j est une s´equence d´ecroissante, soit le potentiel de c0 est ≤1 et S est encore d´ecroissante.

– avec probabilit´e ^N−|V(S)|_N une cellule qui n’appartient `aV(S) se met `a jour : l’´energie peut

´

eventuellement d´ecroˆıtre mais S est encore une s´equence d´ecroissante.

Pour le moment nous allons prouver notre r´esultat principal, le th´eor`eme 8.8, en faisant des hypoth`eses. Nous verrons dans la prochaine section comment prouver ces hypoth`eses.

D´efinition 8.4 (Hypoth`ese H(E, k)) Pour une taille de configuration N fix´e, soit H(E,k) l’hypoth`ese : ”toutes les configurations d’´energie au moins E admettent une s´equence d´ecroissante de taille inf´erieure `a k”.

D´efinition 8.5 (Marche al´eatoire M_k) Soit k∈ N^∗, une marche al´eatoire de type M_k est un processus stochastique discret (X^t)_t≥0 prenant ses valeurs dans {0, . . . , k} tel que X⁰ = k et :

P(X^t+1=X^t−1) P(X^t+1=X^t) P(X^t+1=X^t+ 1)

siX^t= 0 0 1 0

siX^t∈ {1, . . . , k−1} _N^{1 N−5X}_N ^{t 5X}_N^t−1

si X^t=k ^{1 N−1} 0

Lemme 8.7 Soit une configuration c⁰ d’´energie E et k ∈ N, supposons que l’hy-poth`ese H(E, k) est vraie alors la variable al´eatoire T = min{t:E(c^t)<E} a pour esp´erance E[T] =O((5k)^k+1N).

Preuve. La preuve est bas´ee sur un couplage entre (c^t)t≥0 et une marche M_k = (X^t)t≥0. L’invariant v´erifi´e `a chaque pas de temps de notre couplage est

soit E(c^t) < E, soit il existe une s´equence d´ecroissante S = (ci)_1≤i≤X^t de longueur X^t dans la configurationc^t.

A chaque pas de temps` t, les processus X^tetc^t´evoluent selon le couplage suivant :

– siE(c^t)<E alorsX^test mise `a jour selon la r`egle de la d´efinition 8.5 et ind´ependamment une cellule dec^tchoisie al´eatoirement uniform´ement dans Test mise `a jour.

– Autrement, posons j = X^t, j 6= 0, et nous consid´erons la s´equence choi-sie al´eatoirement et uniform´ement parmi T\{c₁} se met `a jour. choi-sie al´eatoirement et uniform´ement parmi V(S) se met `a jour.

5j−|V(S)|

N

X^t+1=X^t+ 1 et une cellule choi-sie al´eatoirement et uniform´ement parmi T\V(S) se met `a jour.

N−5j N

X^t+1 = X^t une cellule choi-sie al´eatoirement et uniform´ement parmi T\V(S) se met `a jour.

Dans ce couplage, chaque cellule de c^t est mise `a jour de fa¸con uniforme et X<sup>t</sup>´evolue bien selon la r`egle de la d´efinition 8.5. Maintenant, nous prouvons par r´ecurrence surtque ce couplage pr´eserve l’invariant. Au tempst= 0,X⁰=ket puisqueE(c⁰) =E alors selonH(E, k), il existe une s´equence d´ecroissante de taillek dansc^t. Maintenant, consid´erons qu’au tempst :

– E(c^t)<E alors E(c^t+1)<E puisque l’´energie est d´ecroissante au cours du temps.

– X^t=ketE(c^t) =E alors parH(E, k), il existe une s´equence d´ecroissanteS = (c_i)1≤i≤k: si X^t+1 = X^t alors soit E(c^t+1) < E, soit E(c^t+1) = E et par H(E, k) il existe une

s´equence d´ecroissanteS⁰ de taille k,

si X^t+1 = X^t−1 alors la cellule c₁ se met `a jour et selon le fait 8.3 soit E(c^t+1) <E,

Notre couplage est donc correctement d´efini. D´esignons parT⁰= min{t|X^t= 0}la premi`ere fois o`u la marche al´eatoire atteint la valeur 0. `A l’instantT<sup>0</sup>, soitE(c<sup>T0−1</sup>)<E, soitE(c<sup>T0−1</sup>) =E et au temps T<sup>0</sup> −1 une cellule de potentiel ≥ 3 (correspondant `a la derni`ere cellule d’une s´equence d´ecroissante de taille 1) se met `a jour. Donc T ≤ T⁰ et E[T] ≤ E[T⁰]. Selon le fait 8.6,E[T⁰] =O((5k)^k+1N) et doncE[T] =O((5k)^k+1N).

Th´eor`eme 8.8 S’il existe E et k tels que l’hypoth`ese H(E, k) est vraie alors quelle que soit la configuration initialec⁰ la variable al´eatoire T = min{t:E(c^t)<E} est presque sˆurement finie et E[T] =O((5k)^k+1N²).

Preuve. Soit t0 = 0 et pour tout i ∈ N^∗ si E(c^ti−1) > E nous d´efinissons t_i= min{t|E(c^t)< E(c^ti−1)}. Par le lemme 8.7, t_i est presque sˆurement fini si E(c^ti−1)≥ E. Soit j la variable al´eatoire tel que T = tj. Selon le lemme 8.7 pour tout i ≤ j, E[ti−ti−1] =O((5k)^k+1N). Comme l’´energie d’une configuration est entre 0 et 4N,j <4N et doncE[T] =O((5k)^k+1N²).

Dans la prochaine section, nous pr´esentons un algorithme qui calcule une constante k, une fonctionf :N→Net fournit un certificat comme quoi pour toutN ∈N, l’hypoth`eseH(f(N), k) est vraie pour toutes les configurations de taille N. L’algorithme peut calculer plusieurs f etk diff´erents, mais plus la fonctionf calcul´ee renvoie des valeurs faibles plus l’algorithme demandera de ressources et plusk sera grand.