ln(1−p)
n
X
i=0
1
i ≤E[T]<1− 1 ln(1−p)
n
X
i=0
1 i.
Et donc :
Proposition 1.30 La moyenne du maximum de n variables al´eatoires i.i.d. suivant la loi g´eom´etrique de param`etrep est Θ(ln(1−p)−lnn ).
1.2 Automates cellulaires asynchrones
1.2.1 D´efinition
D´efinition 1.31 (Automate cellulaire) Un automate cellulaire est un quadruplet constitu´e de :
– un ensemble de cellules, repr´esent´e sous la forme d’un groupe (T,+).
– un ensemble d’´etats Q fini.
– un voisinage V qui est un sous-ensemble de T. – une fonction de transition δ:QV →Q.
Quand un chapitre est d´edi´e `a un automate sp´ecifique, nous utiliserons, par abus de nota-tion, δ pour d´esigner la r`egle de transition de l’automate consid´er´e. Ainsi selon le chapitre, la fonction de transition d´esign´ee par δ n’est pas la mˆeme. Nous sp´ecifions toujours en d´ebut de chapitre quelle r`egle est associ´ee `a δ.
D´efinition 1.32 (Configuration et voisinage) Une configuration c est une fonc-tion c:T→Q; soit i∈T, ci est l’´etat de la cellule idans la configuration c et le voisinage de la cellule i est l’ensemble des cellules {k:∃j∈V, i+j=k}.
D´efinition 1.33 (Dynamique) Une dynamique (Dt)t∈N est une suite de variables i.i.d. o`u pour chaque t ≥ 0, Dt ⊂ T. Au temps t, on dit que toute cellule appartenant `a Dt se met `a jour.
D´efinition 1.34 (Trajectoire) Etant donn´e un automate cellulaire asynchrone, une configu-rationc0 appel´ee configuration initialeet une dynamique (Dt)t≥0, une trajectoire est une suite de variables al´eatoires(ct)t>0 o`u pour tout t≥1, la variable al´eatoirectd´esigne la configuration au temps t et elle est d´efinie de la fa¸con suivante :
cti =
δ(ct−1i ) sii∈Dt−1 ct−1i sinon
Par abus de langage, δ(ci) d´esigne l’´etat renvoy´e par la fonction de transition δ appliqu´ee aux ´etats des cellules du voisinage de la cellulei dans la configurationc. Pourt >0, quand la dynamique Dtest explicite, δ(ct) repr´esente la variable al´eatoire ct+1.
D´efinition 1.35 (Transition active) Une transition est un ´el´ement deQV et elle est active pour la fonction de transition δ si une cellule, dont les ´etats de son voisinage correspondent `a cette transition, change d’´etat quand elle est mise `a jour.
D´efinition 1.36 (Cellule active) Une cellule est activedans la configurationcsi elle change d’´etat quand elle se met `a jour. Si une cellule n’est pas active, elle est dite inactive.
D´efinition 1.37 (Configuration stable) Une configuration c est stable si pour tout i∈T, δ(ci) =ci (i.e. toutes les cellules de la configuration sont inactives).
Consid´erons une trajectoire (ct)t≥0. Sictest une configuration stable, alors pour toutt0 ≥t, on act0 =ctet cela quelle que soit la dynamique. Remarquons que la dynamique choisie n’influe pas sur le fait qu’une configuration soit stable ou non.
D´efinition 1.38 (Temps de relaxation) On dit qu’une trajectoire (ct)t≥0
converge presque sˆurement `a partir de la configuration initiale c0 si la variable al´eatoire Tc0 = min{t:ct est stable} est finie avec probabilit´e 1. La variable al´eatoire Tc0 est appel´ee le temps de relaxation 1 depuis c0. La variable al´eatoire T = maxconf igurationγ{Tγ} est appel´ee le pire temps de relaxation (PTR). Abusivement, nous dirons que l’automate cellulaire diverge si son pire temps de relaxation est infini.
L’objet de cette th`ese est d’´evaluer E[T] pour diff´erentes fonctions de transition sous les dynamiques asynchrones. Nous verrons que cette ´etude permet de d´ecrire assez pr´ecis´ement le comportement des automates consid´er´es.
1.2.2 Les automates cellulaires consid´er´es dans cette th`ese
Les automates cellulaires peuvent ˆetre extrˆemement vari´es. Dans cette th`ese, nous ´etudions l’influence des dynamiques asynchrones. Nous utilisons les ensembles de cellules, les ensembles d’´etats et les voisinages les plus usit´es. Ainsi, le comportement de ces automates cellulaires est g´en´eralement connu dans le cas de la dynamique synchrone, classiquement utilis´ee dans la litt´erature, et les changements de comportements constat´es sont dus aux dynamiques asyn-chrones.
Ensemble d’´etats
Dor´enavant nous consid´erons toujours que l’ensemble d’´etats Q est {0,1} (0 correspond `a blanc et 1 `a noir dans les figures).
Ensemble de cellules
Nous allons utiliser les diff´erents ensembles de cellules suivants :
– Ensemble infini de cellules: nous consid`eronsZdlagrilleinfinie de cellules dedimensiond.
– Ensemble torique fini de cellules 1D et 2D : ´etant donn´e un entier positif n (resp. deux entiers positifsnetm), on noteTn=Z/nZ (resp.Tn,m =Z/nZ×Z/mZ) le tore fini de dimension 1 (resp. 2). En dimension 2, on d´esigne parN =n×m le nombre de cellules.
Par abus de langage, on parlera de configurations 1D finies quand l’ensemble des cellules est fini torique de dimension 1, de configurations 1D infinies quand l’ensemble des cellules est infini de dimension 1, de configurations 2D finies quand l’ensemble des cellules est fini torique de dimension 2 et de configurations 2D infinies quand l’ensemble des cellules est infini de
Voisinage
Les voisinages que nous utilisons sont les voisinages 1D et 2D des plus proches voisins les plus couramment utilis´es :
– Voisinage1D : En dimension 1, on appelle voisinage premier le voisinage{−1,0,1}.
– Voisinage de von Neumann (2D): En dimension 2, on appellevoisinage de von Neumann le voisinage des 4 plus proches voisins :
{(0,−1),(−1,0),(0,0),(1,0),(0,1)}.
– Voisinage de Moore (2D) : En dimension 2, on appelle voisinage de Moore le voisinage des 8 plus proches voisins :
{(−1,−1),(0,−1),(−1,0),(−1,1),(0,0),(1,−1),(1,0),(0,1),(1,1)}.
Dynamique
La dynamique synchrone est la dynamique sous laquelle ´evoluent classiquement les auto-mates cellulaires, notre but est d’´etudier les dynamiques asynchrones :
– Dynamique synchrone : La dynamique (Dt)t≥0 o`u pour tout t≥0, Dt =T est la dyna-miquesynchrone (cette dynamique est d´eterministe).
– Dynamique totalement synchrone : Quand l’ensemble de cellules est fini, on parle de dynamique totalement asynchrone (Dt)t≥0 quand ∀t≥0, Dt contient une seule cellule choisie al´eatoirement de mani`ere uniforme parmiT.
– Dynamiqueα-synchrone: Une dynamique (Dt)t≥0 estα-asynchrone quand∀t≥0, chaque cellule ind´ependamment les unes des autres a une probabilit´e α d’appartenir `a Dt. La valeurα est appel´ee letaux d’asynchronisme.
La dynamique α-asynchrone est ´equivalente `a la dynamique synchrone quandα= 1. Abusi-vement, nous d´esignerons parα= 0 la dynamique totalement asynchrone. Lorsque nous parlons de dynamiques asynchrones, nous d´esignons les deux dynamiques totalement asynchrone et α-asynchrone.
D´efinition 1.39 Soitδ une r`egle de transition, Tn (resp. Tn,α) est le pire temps de relaxation deδ sur une configuration de taillenen dynamique totalement asynchrone (resp.α-asynchrone).
Esp´erance du pire temps de relaxation d’une r`egle de transition
L’esp´erance du pire temps de relaxation d’un automate cellulaire d´epend bien entendu de la r`egle de transition de l’automate mais ´egalement de la taille de la configuration (et du taux de synchronisme α dans le cas de la dynamique α-asynchrone). Pour une r`egle de transition donn´ee, nous cherchons `a encadrer l’esp´erance du pire temps de relaxation de cette r`egle sur diff´erentes topologies de la mani`ere suivante :
Notation 1.40 Soit f :N→R+. L’esp´erance du pire temps de relaxation E[T] d’une r`egle de transition δ en dynamique totalement asynchrone est :
– E[T] = O(f) s’il existe des contantes k > 0 et N telles que pour tout n ≥ N, E[Tn]≤kf(n).
– E[T] = Ω(f) s’il existe des contantes k > 0 et N telles que pour tout n ≥ N, E[Tn]≥kf(n).
– E[T] = Θ(f) siE[T] =O(f) et E[T] = Ω(f).
Notation 1.41 Soit f : N×]0,1[→ R+. L’esp´erance du pire temps de relaxation E[T] d’une r`egle de transition δ en dynamiqueα-asynchrone, est :
– E[T] =O(f) s’il existe des contantes k >0 et N telles que pour tout n≥N et α∈]0,1[, E[Tn,α]≤kf(n, α).
– E[T] = O(f) s’il existe des contantes k > 0 telles que pour tout n ≥ N et α ∈]0,1[, E[Tn,α]≥kf(n, α).
– E[T] = Θ(f) siE[T] =O(f) et E[T] = Ω(f).