Ensemble limite

Dans cette partie nous allons introduire un algorithme qui teste si une configuration est dans l’ensemble limite A. Ensuite, nous allons d´efinir un ordre total sur les configurations de l’ensemble limite. Ainsi chaque attracteur est caract´eris´e par l’´el´ement maximal qu’il contient.

D´efinition 9.24 Consid´erons un arbre T = (T,E), l’arbre r´eduit T⁰ = (T⁰,E⁰) de T est d´efini de la fa¸con suivante :

– T⁰ est l’ensemble des sommets de Tde degr´e diff´erent de 2,

– il existe une arˆete entre deux sommets i et j dans E⁰ si et seulement si le chemin entre i et j dans T est constitu´e uniquement de sommets de degr´e2.

D´efinition 9.25 (Corridor) Consid´erons un arbre T, son arbre r´eduit T⁰ et deux sommets i et j de T⁰. Le corridor Pij reliant i `a j est l’ensemble des sommets reliant i `a j dans T (en incluant iet j).

A part les cellules` ietj, toutes les cellules d’un corridorPij sont de degr´e 2.

Fait 9.26 (D´eplacement des particules sur un corridor) Consid´erons un arbre T = (T,E), un corridor Pij de longueur l, nous renommons les sommets de Pij de 0

`

a l−1 tel quei= 0 et le sommet num´ero kest `a distance kdei, doncj=l−1. L’indice d’une particule est le num´ero de son plus petit sommet adjacent. Si la cellule 1≤k≤l−2 se met `a jour, selon la pr´esence de particules en position k−1 etk, il se passe les ´ev´enements suivants :

– si les deux particules d’indice k−1 et k sont pr´esentes, alors elles disparaissent, – si seulement la particule d’indice k−1 est pr´esente, alors elle devient d’indice k, – si seulement la particule d’indice k est pr´esente, alors elle devient d’indice k−1, – si aucune particule n’est pr´esente, alors la cellule n’est pas active.

Ainsi tant que les extr´emit´es d’un corridor ne se mettent pas `a jour, les cellules se d´eplacent comme des marches al´eatoires dans ce corridor et disparaissent quand elles se rencontrent. Ces disparitions entraˆınent des baisses d’´energie.

Lemme 9.27 Une configuration appartenant `a l’ensemble limite n’admet pas deux particules sur le mˆeme corridor.

Preuve. Consid´erons un arbreT = (T,E) et un corridorPij de cet arbre contenant deux

parti-D´efinition 9.28 (Configuration r´eduite) Consid´erons un arbre T = (T,E) et son arbre r´eduit T⁰ = (T⁰,E⁰). Soit c une configuration de T qui ne poss`ede qu’une seule particule par corridor, la configuration r´eduitedecest la configurationc^rdeT⁰ telle qu’il existe une particule sur l’arˆete ij dans c^r si et seulement s’il existe une particule dans le corridor Pij dansc.

Ainsi, l’´energie d’une configuration et l’´energie de sa configuration r´eduite sont ´egales puis-qu’elles contiennent le mˆeme nombre de particules.

Lemme 9.29 Consid´erons un arbre T = (T,E) et son arbre r´eduit T⁰ = (T⁰,E⁰). Soit c une configuration de T appartenant `a l’ensemble limite, et c<sup>r</sup> sa configuration r´eduite. Soit c<sup>0</sup> la configuration obtenue en mettant `a jour la cellule activei∈ T dansc :

– si i∈ T \T⁰, alors c^r est la configuration r´eduite de c⁰.

– si i∈ T⁰, alors la configuration r´eduite decest la configuration obtenue en mettant `a jour la cellule i dansc^r.

Soitc^r0 la configuration obtenue en mettant `a jour la cellule activei∈ T<sup>0</sup> dansc<sup>r</sup>, alors il existe une s´equence de mises `a jour dans T qui transformec en c⁰⁰ telle que la configuration r´eduite de c⁰⁰ soit c^r0.

Preuve. Consid´erons un arbre T = (T,E) et son arbre r´eduit T⁰ = (T⁰,E⁰). Soit c une configuration de T appartenant `a l’ensemble limite, et c<sup>r</sup> sa configuration r´eduite. Soit c<sup>0</sup> la configuration obtenue en mettant `a jour la cellule activei∈ T, de degr´e k, dansc :

– si i∈ T \T⁰, alors par le fait 9.26, la particule reste dans le mˆeme corridor.

– sii∈ T⁰, alors notonskle degr´e dei. Puisquecest dans l’ensemble limite,kest pair et il y a exactementk/2 particules sur les arˆetes adjacentes `ai. Toutes ces arˆetes appartiennent `a des corridors diff´erents et donc lesk/2 arˆetes deT⁰correspondant `a ces corridors poss`edent une particule dans c^r. La cellule i est donc active dans c^r, supposons par l’absurde que dans c^r, elle poss`ede strictement plus de k/2 particules sur ses arˆetes incidentes, alors danscil existej tel quePij poss`ede une particule qui n’est pas sur l’arˆete incidente `aiet en mettant `a jouridansc,Pij poss`ede deux particules, ce qui par le lemme 9.27 contredit le fait que cest dans l’ensemble limite. Donc c<sup>r</sup> poss`ede exactement k/2 particules et en mettanti`a jour on obtient la configuration r´eduite de c⁰.

Soit c^r0 la configuration obtenue en mettant `a jour la cellule activei∈ T<sup>0</sup> dansc<sup>r</sup>. La configu-ration c se transforme en configuration c<sup>00</sup>, telle que la configuration r´eduite de c<sup>00</sup> soitc<sup>r0</sup>, par la s´equence de mises `a jour suivante :

– Pour lesk/2 corridorsPij contenant une particule, ramener la particule pour qu’elle soit sur l’arˆete adjacente `a i(en utilisant le lemme 9.26)

– mettre i`a jour.

Puisquecetc^ront la mˆeme ´energie et que l’existence d’une s´equence de mises `a jour dans une de ces deux configurations entraˆıne l’existence d’une telle s´equence dans l’autre configuration : Corollaire 9.30 Soit un arbre T = (T,E), son arbre r´eduit T<sup>0</sup> = (T<sup>0</sup>,E<sup>0</sup>), une configuration c de T ne poss´edant qu’au plus une particule par corridor et c<sup>r</sup> la configuration r´eduite de c, sic appartient `a l’ensemble limite de T alorsc^r est dans l’ensemble limite deT⁰, la r´eciproque est ´egalement vraie. Soit A l’attracteur qui contient c et A^r l’attracteur qui contient c^r, alors l’ensemble des configurations r´eduites de A estA^r.

Corollaire 9.31 Il existe une bijection entre les attracteurs de T et les attracteurs de T⁰.

Nous pr´esentons maintenant un algorithme testant si une configuration est dans l’ensemble limite. De cet algorithme se d´eduit une condition n´ecessaire et suffisante pour caract´eriser une configuration de l’ensemble limite, malheureusement, cette condition n’est pas facilement exprimable. Heureusement, caract´eriser les attracteurs se r´ev`ele plus simple.

Th´eor`eme 9.32 (Configuration de l’ensemble limite) Consid´erons un arbre T = (T,E) et son arbre r´eduit T⁰ = (T⁰,E⁰). Soit c une configuration de T et c⁰ sa configuration r´eduite.

L’algorithme suivant permet de certifier si c est dans l’ensemble limite : 1. v´erifier que les corridors de c ne contiennent pas deux particules, 2. Dans c⁰, noter toutes les cellules comme ” `A ´etudier”,

3. tant qu’il reste des cellules actives annot´ees ” `A ´etudier”, en s´electionner une et faire : – si strictement plus de la moiti´e des arˆetes incidentes `a ce sommet poss`edent une

parti-cule alors l’algorithme s’arrˆete et renvoie que la configurationcn’est pas dans l’ensemble limite,

– sinon annoter cette cellule comme ”´etudi´ee” et rajouter des particules sur toutes les arˆetes incidentes `a ce sommet qui n’en poss´edaient pas,

4. la configuration est dans l’ensemble limite

Preuve. Si l’algorithme renvoie que la configuration n’est pas dans l’ensemble limite : – soit il existe deux particules dans un corridor et la configuration n’est pas dans l’ensemble

limite,

– soit, posons ila cellule o`u l’algorithme a termin´e. PosonsT^a le sous-arbre deT⁰ enracin´e en iqui contient les sommets :

– annot´es ” ´Etudi´e” par l’algorithme,

– dont le chemin les reliant `a ine poss`ede pas de particule dans c^r.

Consid´erons S la s´equence de cellules de T⁰ correspondant `a un parcours en profondeur deT^a et la s´equenceS⁰ qui est la s´equence miroir deS. Si nous mettons les cellules dec^r

`

a jour suivant S⁰, alors `a chaque fois qu’une cellule se met `a jour, elle poss`ede autant de particules sur ses arˆetes qu’au moment o`u elle a ´et´e ”´etudi´ee” par l’algorithme et elle est donc active. Au final la mise `a jour deifait d´ecroˆıtre l’´energie dec^ret, par le lemme 9.30, la configurationc n’est pas l’ensemble limite.

Si la configurationcn’est pas stable alors il existe une s´equenceS de mises `a jour de taillel faisant d´ecroˆıtre l’´energie. Nous consid´erons que la premi`ere baisse d’´energie a lieu lors de la derni`ere mise `a jour de S et se produit sur la cellule i. Soit S⁰ la s´equence de mises `a jour extraite deS telle qu’une cellule j de S soit dansS<sup>0</sup> si et seulement si l’arˆete incidente `aj qui appartient au chemin reliantj `aine contient pas de particules. La s´equenceS<sup>0</sup> ne contient pas deux fois la mˆeme cellule puisque quand une cellule se met `a jour, elle rajoute une particule sur l’arˆete appartenant au chemin reliant cette cellule `a i. De plus, si nous mettons les cellules

`

a jour dans l’ordre de S⁰, elles ont toujours au moins autant de particules dans leur voisinage que lorsqu’elles sont mises `a jour dans S. Donc mettre `a jour la configuration c en suivant la s´equence S⁰ provoque une baisse d’´energie. Quand l’algorithme aura ´etudi´e toutes les cellules de S⁰, il aura d´etect´e la baisse d’´energie et donc retournera que la configuration n’est pas dans l’ensemble limite.

Par le corollaire 9.31, pour d´eterminer les attracteurs de T, il suffit de d´eterminer les at-tracteurs de T⁰. Donc jusqu’`a la fin de cette section, nous consid´erons que les arbres que nous

´

etudions sont sous leur forme r´eduite.

si l’arˆete de c^r correspondant `a S_i contient une particule et 0 sinon. Nous d´efinissons un ordre sur les configurations en consid´erant l’ordre lexicographique sur leur mot.

Selon cet ordre, une configuration est de plus haut niveau si et seulement si ses particules sont le plus proche possibles de la racine. Puisque l’ordre lexicographique est total :

Th´eor`eme 9.34 Pour tout attracteur A, il existe une unique configuration maximale dans A.

Ainsi on peut caract´eriser un attracteur par sa configuration maximale. Pour cr´eer une configuration maximale, il suffit de placer les particules selon un parcours en largeur de l’arbre et de v´erifier `a chaque fois qu’une particule est rajout´ee que la configuration reste une configuration dans l’ensemble limite.

9.5.2 Temps de relaxation sur les arbres