6.5 R´esultats et tests
6.5.1 Perspectives pour une reconstruction encore plus pr´ecise : raffine-
Les contours fournis par mon algorithme s’av`erent cependant encore trop parcellaires pour mener `a une reconstruction satisfaisante qui puisse ˆetre utilis´ee en conditions r´eelles sur un patient ; ne disposant que de quelques segments de contours appartenant `a la vert`ebre, le recalage sera en effet trop impr´ecis.
L’id´ee est alors d’effectuer quand-mˆeme ce recalage aussi bien que possible, puis de projeter le mod`ele (3D) ainsi obtenu sur les deux radios : cela nous fournira une approximation des contours de la vert`ebre ; nous allons alors d´eformer cette forme initiale jusqu’`a ce qu’elle co¨ıncide avec les points de forts gradients de l’image que nous avions d´etect´es, et obtenir ainsi une bonne segmentation de nos radios initiales.
Principe de la m´ethode des contours actifs
Le principe de la m´ethode des contours actifs fut d´efini dans [KAS88] par Kass, Witkin et Terzopoulos, puis repris dans de nombreux travaux. La pr´esentation que nous faisons ici de cette m´ethode est inspir´ee des travaux de Laurent Cohen (voir [COH91]).
– Nous disposons d’un contour initial (appel´e “snake” ([KAS88])) pas trop ´eloign´e du contour `a d´etecter.
– il doit ´evoluer vers le contour en restant r´egulier.
Le “snake” va ˆetre exprim´e comme une courbe param´etr´ee sur [0,1] : Ω = [0,1]→R2
s→v(s) = (x(s), y(s))
qui va ˆetre d´eform´e pour minimiser une ´energieE(v) (son minimum devra ˆetre atteint sur les arˆetes) :
v→E(v) = Z
[0,1]
w1(s)|v0(s)|2+w2(s)|v00(s)|2+P(v(s)) ds
Les deux premiers termes formentl’´energie interne Eint, et agissent sur la r´egularit´e du snake :
– le terme en v0 empˆeche la courbe de se tendre ; – le terme en v00 empˆeche la courbe de trop s’incurver.
Le dernier constitue l’´energie externe Eext : il doit pousser le snake vers les arˆetes de l’image. P doit pour cela ˆetre minimum sur les arˆetes de l’image.
On montre que chercher minv E(v) revient `a chercherv solution de :
−(w1v0)0+ (w2v00)00+∇P(v) = 0 v(0), v0(0), v(1), v0(1) connus
On peut par exemple, dans le cas d’une courbe ferm´ee, prendre des conditions aux limites p´eriodiques :v(0) =v(1) etv0(0) =v0(1).
On peut poser F = −∇P : F est la force externe, conservative. C’est elle qui pousse le snake vers le contour cherch´e.
On discr´etise ensuite ce probl`eme par diff´erences finies selon un pash= N1 (vi=v(ih), i= 0· · ·N−1,v0i = vi−hvi−1, etc...) et on aboutit au syst`eme :
AV =F o`uV = (vi)i=0···N−1 et F = (Fi)i=0···N−1.
Mais en pratique, on consid`ere un probl`eme d´ependant du temps, dont la solution stationnaire est solution du syst`eme pr´ec´edent ; le snake est alors solution d’une ´equation dynamique qui se stabilise sur les contours :
∂v
∂t −(w1v0)0+ (w2v00)00=F(v) v(0, s) =v0(s)
v(t,0) =v0(0) v(t,1) =v0(1) v0(t,0) =v00(0) v0(t,1) =v00(1)
Apr`es discr´etisation (en temps, on peut utiliser un sch´ema de Euler implicite de pasτ, et en espace, on proc`ede comme pr´ec´edemment avec un pash), le probl`eme revient `a r´esoudre it´erativement une suite de syst`emes lin´eaires :
(Id+τ A)vt = (vt−1+τ F(vt−1)) On it`ere jusqu’`a ce quevt et vt−1 soient suffisamment proches.
6.5.2 Utilisation des contours actifs pour l’algorithme de reconstruction de la surface 3D d’une vert`ebre
Les contours actifs peuvent nous permettre de profiter du fait que la forme d’une vert`ebre soit `a peu pr`es connue pour raffiner la segmentation des deux radiographies de vert`ebre qui sont `a la base de la reconstruction. Une fois effectu´ee la reconstruction du mod`ele 3D de la vert`ebre du patient, on peut reprojeter ce mod`ele sur le plan des deux radiographies : on obtient ainsi un contour initial, que l’on va d´eformer de fa¸con `a ce qu’il co¨ıncide autant que possible aux points de contours qui ont ´et´e d´etect´es en premi`ere ´etape de l’algorithme. On obtiendra ainsi un contour ferm´e unique, correspondant au contour de la vert`ebre, et en accord avec l’algorithme de segmentation initiale (voir figure 6.17). A partir de cette segmentation plus fine et plus compl`ete que la pr´ec´edente, on recommence le processus de reconstruction de la forme 3D de la vert`ebre, qui sera elle-mˆeme plus pr´ecise.
La difficult´e consiste donc `a pousser le snake sur les arˆetes de l’image. Nous avons vu que pour cela, il faut choisir un potentielP qui soit minimum en les points de l’arˆete de la vert`ebre.
Or les points de contours de la vert`ebre d´etect´es par l’algorithme initial de segmentation sont des points en lesquels le module de la transform´ee en ondelettesM f(., ., a0) de l’image
`a l’´echelle la plus finea0 est maximum.
Nous pouvons donc penser `a prendre P(v(s)) = −M f(x(s), y(s), a0), c’est-`a-dire l’in-verse du module de la transform´ee en ondelettes de notre image `a l’´echellea0 la plus fine : ainsi, les points du contour de la vert`ebre attireront bien le snake. Le probl`eme est qu’`a l’´echelle la plus fine, beaucoup de maxima locaux de M f sont g´en´er´es : le snake risque donc d’ˆetre attir´e par des “faux” maxima. Plusieurs parades sont alors possibles.
Tout d’abord, on peut essayer de d´eformer le snake directement sur l’image des contours obtenue `a l’issue du premier algorithme de segmentation. Pour effectuer cette d´eformation, on peut tirer profit de la capacit´e du d´etecteur multi-´echelles de Canny `a tenir compte de la g´eom´etrie de l’image : rappelons que le contour initial est assez proche des points du contour de la vert`ebre. Rappelons aussi qu’`a chacun des points (x, y) d’un contour est associ´ee une orientation,Af(x, y, a0), qui est l’orientation du gradient de l’image (liss´e par un noyau de convolution `a l’´echelle la plus fine ...). Partant d’un point (x0, y0) du snake
`a d´eformer, on regarde si dans son voisinage proche se trouvent des points de contour ; si c’est le cas, nommons les (xi, yi)i=1···I. On compare alors l’orientation θ0 du gradient en (x0, y0) `a chacune des orientationsAf(xi, yi, a0) ; s’il s’av`ere qu’aucune de ces orientations n’est proche de θ0, le point (x0, y0) du snake n’est pas d´eplac´e. Dans le cas contraire, il est d´eplac´e vers le point
(xi0, yi0) =min(xi,yi)i=1···I{|Af(xi, yi, a0)−θ0|}.
Une fois cette d´eformation faite, on reporte le snake `a d´eformer sur les points de la ma-trice M f(., ., a0), `a l’´echelle la plus fine. Les points qui ont d´ej`a ´et´e d´eplac´es en sorte `a correspondre `a des points de contours ne bougent plus, les autres sont d´eplac´es jusqu’`a ce qu’ils correspondent `a un maximum local deM f(., ., a0).
Fig.6.17 – Apr`es d´eformation du contour initial, celui-ci doit correspondre autant que pos-sible `a des points de contours d´etect´es par l’algorithme du chapitre V, et fournir ainsi une segmentation plus pr´ecise de la radiographie, form´ee d’un seul contour ferm´e de vert`ebre.
Une deuxi`eme approche consiste `a faire une d´eformation multi-´echelles du snake.
Puisque beaucoup de maxima locaux sont d´etect´es `a l’´echelle la plus fine, on commence
par faire la d´eformation du snake sur la carteM f(., ., aN) des coefficients `a l’´echelle la plus grossi`ere,aN. On cherche dans ce cas `a minimiser le potentielPN(v(s)) =−M f(x(s), y(s), aN).
Ceci produit un snake d´eform´e que nous appelons vN(s) ; ce snake est alors `a nouveau d´eform´e, cette fois sur l’´echelle imm´ediatement inf´erieure, aN−1, ce qui produit vN−1(s).
On proc`ede ainsi jusqu’`a obtenir v0(s). D’une ´echelle `a l’autre, nous n’autorisons pas le snake `a beaucoup se d´eformer : le principe est d’obtenir sur l’´echelle la plus grossi`ere une mise en correspondance correcte du snake (c’est `a dire qu’il doit bien correspondre aux contours de la vert`ebre), bien que mal localis´e, puis `a relocaliser progressivement le contour.
Au bilan, nous constatons que la transform´ee d´efinie au chapitre IV offre des avantages appr´eciables pour le probl`eme des contours actifs : on dispose de potentiels, `a diff´erentes
´echelles an, Pn(v(s)) =−M f(x(s), y(s), an), grˆace auxquels on peut attirer le snake vers les points des contours. De plus, on dispose facilement d’une information g´eom´etrique capitale, la direction du gradient, qui facilite la mise en correspondance des points du snake `a d´eformer avec les points des contours.