Maximum local
local Minimum
Point d’inflexion f
Fig. 2.4 – maximum local, minimum local et point d’inflexion
qu’a g´en´er´es la singularit´e, `a savoir les maxima locaux, les coefficients d’ondelettes qui sont dans le cˆone d’influence et localement maximum (cf figure 2.2).
Proposition 2.3.3 Soit f une fonction d´erivable ; f(x0) est un minimum local de f : R−→R s’il existe >0 tel que f0(x)≤0 sur ]x0−,x0] et f0(x)≥0 sur [x0,x0+[
Avec ces propositions, il faut que f soit d´erivable au moins sur un voisinage dex0; on peut relˆacher cette contrainte en rempla¸cant les conditions du typef0(x)≥0 sur ]x0−,x0] parf(x) croissante sur ]x0−, x0] : on ne fait plus intervenir la d´eriv´ee.
Cas bidimensionnel
On consid`ere maintenant une fonction f : R2 −→ R; on peut g´en´eraliser la notion d’extremum local de deux fa¸cons :
– Soit on trouve une boule D(x0,y0) (un disque en l’occurrence) centr´ee sur (x0, y0) et telle que f(x0, y0) soit sup´erieur (pour un maximum) ou inf´erieur (pour un mini-mum) `af(x, y) pour tout (x, y) dansD(x0,y0) :
D´efinition 2.3.2 Soit f : I ×J −→ R o`u I et J sont des intervalles ouverts ; f est localement maximum (resp. minimum) en(x0, y0)∈I×J s’il existe D(x0,y0) un disque ouvert centr´e sur(x0, y0)tel quef(x0, y0)≥f(x, y)(resp f(x0, y0)≤f(x, y)) pour tout (x, y) dans D(x0,y0).
– Soit on parle d’extremum local dans une direction~ndonn´ee, et on se ram`ene au cas monodimensionnel : si on appelleD :y =D(x) la droite passant par (x0, y0) et de direction~n, et fD la fonction
fD : D −→ R
x −→ f(x,D(x)), alors
D´efinition 2.3.3 Soit f : I×J −→ R o`u I×J ⊂R; f est localement maximum (resp. minimum) en(x0, y0)∈I×J dans la direction de~n sif(x0, y0) est un maxi-mum (resp. minimaxi-mum) local (au sens de la d´efinition 2.3.1) de la fonction 1DfD. Au-trement dit,f(x0, y0)est un maximum (resp. minimum) local de f s’il existeλ0 >0 tel que∀|λ|< λ0, f(x0, y0)≥f((x0, y0) +λ~n) (resp. f(x0, y0)≤f((x0, y0) +λ~n)).
Avec cette d´efinition, f(x0, y0) peut ˆetre un maximum local dans une direction ~n, mais pas dans une autre directionm.~
Dans la suite, quand nous parlerons de maximum local d’une fonction `a valeurs sur R2 sans pr´eciser de direction, nous nous r´ef´ererons `a la premi`ere d´efinition ; quand nous parlerons de maximum local dans une direction~n, c’est `a la deuxi`eme d´efinition que nous ferons appel. C’est cette deuxi`eme d´efinition qui sera utilis´ee pour la d´etection d’arˆete dans une image, probl`eme qui sera ´etudi´e dans la partie II.
2.3.2 D´efinition des lignes de maxima
Nous avons vu que le th´eor`eme 2.2.1 sugg`ere, pour caract´eriser la r´egularit´e locale enx0 d’une fonctionf, d’observer le comportement asymptotique `a travers les ´echelles des coef-ficients d’ondelettes def plac´es dans le cˆone d’influence dex0. Mallat et ses collaborateurs
(voir [MH92]) sugg`erent de ne pas suivre n’importe quels coefficients d’ondelettes plac´es dans le cˆone d’influence, mais seulement ceux qui sont des maxima locaux. Ils d´efinissent ainsi deslignes de maxima. Avant de donner des pr´ecisions sur cette notion, pr´ecisons,
`a la lumi`ere du paragraphe pr´ec´edent, la d´efinition de maximum local de la transform´ee en ondelettes.
Consid´erons f : R −→ R, une fonction 1D, et sa transform´ee en ondelettes de f, W f(x, a).
D´efinition 2.3.4 Soit W f(x, a) la transform´ee en ondelettes de f. Nous parlerons de maximum local d’ondelettes, ou encore demodule max pour d´esigner un maximum local de la fonctionx7→ |W f(x, a)| (qui doit ˆetre strict `a gauche ou `a droite, de sorte `a ne pas g´en´erer de module max dans les zones o`u |W f| est constante). Les points en lesquels se situent ces modules max sont donc des points (x0, a) du plan espace-´echelle en lesquels
|W f(x0, a)| est un maximum local de x 7→ |W f(x, a)|. Les points (x0, a) sont eux-mˆemes parfois appel´es, par abus de langage, maxima d’ondelettes.
La pr´esence en x0 d’une singularit´e va g´en´erer, dans le cˆone d’influence (voir figure 2.2) de x0, jusqu’`a une certaine ´echelle ax0, des maxima locaux d’ondelettes. Pour ca-ract´eriser la singularit´e de la fonction enx0, on va vouloir observer la d´ecroissance de ces maxima locaux d’ondelettes en fonction de l’´echelle, ce qui sera plus facile si ces maxima locaux sont connect´es et forment une courbe continue dans le plan espace-´echelle. Une telle configuration s’appelle une ligne de maxima.
D´efinition 2.3.5 (Mallat-Hwang) On appelleligne de maximatoute courbe connexe (xa, a)du plan espace-´echelle telle que|W f(xa, a)|soit un maximum local dex7→ |W f(x, a)|.
Un exemple de fonction et de ses lignes de maxima, pointant sur des points singuliers de cette fonction, est donn´e figure 2.5.
La d´efinition d’une ligne de maxima ouvre bien des questions : une ligne de maxima peut-elle, en ´evoluant vers les ´echelles grossi`eres, se d´edoubler, ou inversement, deux courbes venant des ´echelles grossi`eres peuvent-elles se rejoindre aux ´echelles fines ? Dans quels cas peut-on ˆetre sˆur que les maxima locaux appartiennent bien `a des courbes connect´ees ? Nous ne r´epondrons pas ici `a toutes ces questions ; des ´el´ements de r´eponse peuvent ˆetre trouv´es dans [MH92] et dans la th`ese de J´er´emie Bigot (voir [BIG03]) qui a approfondi ces questions.
2.3.3 Maxima locaux d’ondelettes et d´etection des singularit´es
Th´eor`eme 2.3.1 ([MH92]) Soitψune ondeletteCn`a support compact ; on suppose qu’il existe θ v´erifiant R+∞
−∞ θ(t)dt 6= 0 tel que ψ = (−1)nθ(n). Soit f ∈ L1[c, d]. S’il existe a0 >0 tel que |W f(x, a)| n’a pas de maximum local pour x∈[c, d] et a < a0, alors f est uniform´ement Lipschitz-n sur [c−, d+],∀ >0.
D’apr`es ce th´eor`eme, d´emontr´e dans [MH92], f ne pourra comporter des singularit´es qu’aux endroits o`u le module de sa transform´ee en ondelettes atteint des maxima locaux
Fig.2.5 – En haut : un signal. En bas : lignes de maxima des coefficients de la transform´ee en ondelettes de ce signal : celles-ci pointent sur les endroits du signal qui ont g´en´er´e ces maxima locaux.
(ce qui n’est pas r´eciproque : des maxima locaux peuvent apparaˆıtre en des zones r´eguli`eres de l’image). Pour caract´eriser la r´egularit´e de f en un point x0, on se place dans le cˆone d’influence de x0 et on y observe les maxima locaux. Le th´eor`eme suivant montre qu’ils caract´erisent bien la singularit´e enx0.
Th´eor`eme 2.3.2 ([MH92]) On suppose que l’ondelette ψ utilis´ee ici est Cn `a support compact et qu’il existeθ v´erifiant R+∞
−∞ θ(t)dt6= 0 tel queψ= (−1)nθ(n).
Soit f une distribution temp´er´ee, α < n non entier et x0 ∈]c, d[. On suppose qu’il existe a0 >0 etC >0 tels que les maxima(a, x)de|W f(x, a)| sous l’´echellea0 (a < a0) et dans l’intervalle]c, d[ (x∈]c, d[) soient contenus dans le cˆone |x−x0| ≤Ca.
Alors f est Lipschitz-α en x0 si et seulement si ∃A tel que pour tout max (a, x) de
|W f(x, a)| dans le cˆone d´efini plus haut (voir figure 2.2), |W f(x, a)| ≤Aaα+12.
Les hypoth`eses du th´eor`eme ci-dessus nous placent dans le cadre d’une singularit´e isol´ee (si les cˆones d’influence de deux singularit´es se chevauchent, il faut trouver un moyen de distinguer les maxima produits par la premi`ere singularit´e de ceux produits par la seconde ; cela peut ˆetre fait `a l’aide de l’amplitude des coefficients d’ondelettes, si elles sont suffi-samment diff´erentes pour les deux singularit´es). Dans ce cas, en s’int´eressant uniquement aux maxima locaux de |W f|(x, a) et en regardant leur comportement asymptotique, on peut caract´eriser la r´egularit´e lipschitzienne de notre fonctionf en un point isol´e x0.
Toutefois, rien ne garantit que les maxima du module de la transform´ee en ondelettes, dont on doit observer la d´ecroissance, appartiennent `a des courbes connect´ees : si, en dessous d’une certaine ´echelle, on est sˆur de trouver des maxima, rien ne dit qu’ils forment une ligne continue dans le plan temps-´echelle. Le th´eor`eme suivant prouve que si l’on choisit une d´eriv´ee de gaussienne comme ondelette, on obtiendra des lignes de maxima (voir figure 2.5) ininterrompues quand l’´echelle diminue (voir [MAL98]).
Th´eor`eme 2.3.3 Soit ψ = (−1)n ddxnGn o`u G est une gaussienne (voir Annexe A). Soit f
une fonction de L2(R). Alors les maxima des modules de W f(x, a) appartiennent `a des courbes connexes jamais interrompues quand l’´echelle ad´ecroˆıt.
V´erifions maintenant l’efficacit´e du crit`ere fourni par le th´eor`eme 2.3.2 en impl´ementant un algorithme 1D de d´etection de singularit´e bas´e sur lui. Nous utiliserons une d´eriv´ee de gaussienne comme ondelettes de fa¸con `a obtenir des lignes de maxima ininterrompues en allant vers les petites ´echelles.