Le modèle SIDRA-2 est testé en régime permanent et en régime de tarissement non influencé pour lesquels des solutions analytiques existent et où l'hypothèse de pseudo-séparation des variables est rigoureusement exacte. Les hauteurs de nappe et les débits en sols homogènes sont comparés à ceux simulés par le modèle SIDRA. Le test porte également sur le calcul des facteurs de forme de nappe connus pour ces deux régimes.
4.3.1. Débits et hauteurs de nappe
Trois profondeurs de l'imperméable sont testées : (1) profondeur nulle ; (2) faible profondeur (d = 0,1m) ; dans ce cas, les valeurs de la profondeur de l'imperméable réduite D = d
H varient, en régime de tarissement non influencé, d'une valeur faible à une valeur élevée ; (3) profondeur infinie (en pratique d = 20m, soit une valeur de D faible, les hauteurs de nappe à l'interdrain utilisées ayant une valeur maximale de 1 m).
En régime permanent, dans les trois cas, le débit calculé par le modèle est égal à la recharge ; les hauteurs de nappe à l'interdrain calculées par le modèle sont égales à celles prédites par l'équation (3.49) soit Q = I = J(H). On vérifie de même que les débits et les hauteurs de nappe à l'interdrain calculés par les deux modèles en régime de tarissement non influencé sont identiques. 0.77 0.79 0.81 0.83 0.85 0.87 0.89 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 D Fact eur A
A numérique A analytique corrigé A analytique non corrigé
Figure 4.2. Comparaison entre les facteurs de forme de nappe A calculés analytiquement (corrigés et non corrigés) et numériquement (SIDRA-2) en régime de tarissement non influencé, en fonction de la profondeur réduite de l'imperméable.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 D n
Figure 4.3. Evolution de l'exposant n de la fonction W = (1 - X2)n en fonction de la profondeur réduite (D=Hd de l'imperméable en régime de tarissement non influencé.
4.3.2. Facteurs de forme de nappe
Lorsque les drains reposent sur l'imperméable ou lorsque celui-ci est très profond, les facteurs de forme de nappe calculés par le modèle SIDRA-2 en régime permanent d'une part, et en régime de tarissement non influencé d'autre part, sont identiques à ceux calculés analytiquement (équations (3.41), (3.42) (3.41a) et (3.42a)). Ces résultats ont aussi été obtenus par Lorre et al. (1994) par la résolution de l'équation de Boussinesq (3.15) aux différences finies.
Lorsque la profondeur de l'imperméable se situe à une position intermédiaire entre les deux cas extrêmes, les facteurs de forme de nappe sont des fonctions de la profondeur réduite de l'imperméable D (Hd). La comparaison porte, en régime de tarissement non influencé, sur le troisième facteur de forme de nappe A(D) qui est fonction des deux autres (A = B
C). L'approche de pseudo-séparation des variables dans SIDRA permet en effet de calculer A en régime de tarissement non influencé, en effectuant le rapport entre les facteurs
(
B - DdDdB)
et(
C - DdCdD)
puis en appliquant la correction empirique proposée par Lesaffre (relation 3.47). Par ailleurs, dans le modèle SIDRA-2, le facteur A(D) correspondant sera égal au rapport du débit sur la fonction de Hooghoudt ( QJ(H)) calculés en régime de tarissement non influencé (équation (3.38)). La simulation est effectuée avec une hauteur de nappe initiale de 1 m dont la forme
initiale correspond à celle du régime de tarissement non influencé, drains sur imperméable (d = 0,1 donc D = 0,1).
La figure 4.2 illustre l'évolution des facteurs A calculés par le modèle, puis analytiquement avec et sans application de l’équation 3.47. Le facteur A calculé numériquement est identique à ses valeurs calculées analytiquement, puis corrigées par l’équation 3.47. Ce résultat justifie à la fois la technique de correction empirique des facteurs de Lesaffre (1989), et la validité du modèle SIDRA-2 en régime de tarissement non influencé.
On vérifie par ailleurs que l'exposant n (critère global de caractérisation du gonflement de la nappe, c'est à dire de sa tendance à tendre vers une forme limite rectangulaire) de la fonction W obtenu par ajustement linéaire dans SIDRA-2 correspond aux valeurs obtenues analytiquement en régime permanent et en régime de tarissement non influencé (relations (3.25), (3.26), (3.43) et (3.44)). Il est en outre possible de calculer la valeur de cet exposant en régime de tarissement non influencé en fonction de la profondeur réduite de l'imperméable D (cf. figure 4.3). L'ajustement est toujours de bonne qualité (r2>0,999).
Le modèle SIDRA-2 vérifie bien les propriétés relatives aux phases de régime permanent et de tarissement non influencé. Il permet de plus de valider l'approche de pseudo-séparation des variables relative aux facteurs de forme de nappe dépendantes de D en régime de tarissement lorsque les drains ne reposent pas sur l'imperméable.
4.4. Influence de l'hypothèse de pseudo-séparation des
variables sur le calcul des facteurs de forme de
nappe, des débits et des hauteurs de nappe
L'hypothèse de pseudo-séparation des variables, exacte en régime permanent ou en régime de tarissement non influencé, ne permet pas, lorsqu'elle est généralisée aux phases de recharge positives de la nappe, de décrire rigoureusement les phénomènes transitoires.
1. Quelle que soit la profondeur de l'imperméable, deux formes de nappes ont été distinguées, correspondant au régime permanent d'une part, et au régime de tarissement non influencé d'autre part (cf. section 3.6.4.). Or, le passage d'un régime à l'autre, qui doit théoriquement s'accompagner d'un changement de forme de la nappe, est impossible à modéliser lorsque les facteurs de forme de nappe sont indépendants de l'intensité de la recharge.
2. En vertu de l'équation (3.49), un brusque changement du régime pluviométrique génère des discontinuités dans les débits, puisque le réseau va instantanément restituer 15 à 20 % de la recharge (en fonction de la valeur de A), indépendamment des propriétés hydrodynamiques
3. L'expression du débit de la relation (3.49) suppose qu'une infinité de débits peuvent correspondre à une même forme de nappe et une même hauteur de nappe à l'interdrain ce qui est difficilement admissible puisque l'équation de Boussinesq est fondée sur l'équation de Darcy qui relie le flux dans la nappe à la pente de la surface libre (grâce à l'hypothèse de Dupuit).
Par ailleurs, les résultats obtenus par Lorre et al. (1994) par la résolution de l'équation de Boussinesq montrent qualitativement que la nappe se déforme lors de l'imposition d'une recharge. En effet, durant la recharge, l'élévation de la nappe est quasiment égale à l'élévation
à l'interdrain, jusqu'à une abscisse très proche du drain. Cette observation est aussi réalisée
avec le modèle SIDRA-2. La nappe a en revanche une position imposée nulle au niveau du
drain qui n'est pas supposé fonctionner en charge. Ceci signifie que la nappe se « gonfle » (on
entend par gonflement la tendance de la nappe à tendre vers une forme rectangulaire) sous l'effet de la recharge, stocke de l'eau, et change donc nécessairement de forme. Il en résulte une augmentation des facteurs de forme de nappe.
Dans cette section, seul le cas des drains reposant sur l'imperméable en sols homogènes est traité. Il s'agit en effet ici de mettre en évidence l'action que peut avoir l'imposition d'une recharge sur les facteurs de forme de nappe, sur le calcul des débits et des hauteurs de nappe par SIDRA-2. L'analyse est donc facilitée par le fait que, lorsque les drains reposent sur l'imperméable, les facteurs sont indépendants de H, et ne peuvent dépendre que de l'intensité de la recharge pluviométrique et de la combinaison de paramètres K
µ2L2 (cf. section 4.2.3).
Dans les simulations réalisées, le système est en régime de tarissement non influencé à l'état initial. La nappe à la forme de Boussinesq décrite par l'équation (3.43). Deux hauteurs de nappes initiales sont considérées : 1 m et 0,05 m. Deux intensités pluviométriques sont testées : 1 mm/h et 5 mm/h ; elles sont appliquées après 12 heures de tarissement, soit sous forme d'échelon jusqu'à l'obtention du régime permanent, soit sous forme d'impulsion d'une durée d'une heure. L'influence du paramètre µ2KL2 est évaluée pour les valeurs de : 0,1 ; 1 ; 10 ; et 100 m-1h-1.
Dans une première étape, les évolutions des facteurs de forme de nappe en fonction des conditions initiales, du paramètre µ2KL2, et de l'intensité pluviométrique sont analysées. Les conséquences de la prise en compte de la déformation de la nappe sur le calcul des hauteurs de nappe et des débits sont ensuite évaluées.
La technique utilisée est la suivante : ainsi que nous l'avons décrit à la section 3.6.4., les équations parcellaires (3.37) et (3.38) sont calculées dans SIDRA-2. L'analyse de leurs différentes composantes permet de quantifier le poids du terme de déformation de nappe dans le calcul de la hauteur de nappe et du débit et ainsi établir la différence liée à sa négligence.
La validité du calcul est vérifiée à chaque simulation. Les hauteurs de nappe à l'interdrain calculées par la méthode des éléments finis (3.15) et par l'équation (3.37) d'une part, ainsi que les débits calculés par l'intégration numérique du bilan hydrique (4.3), par la résolution de l'équation de Darcy à la première maille du système (4.5), et par l'équation (3.38) d'autre part, sont identiques.
Le mécanisme de gonflement de la nappe sous l'effet de la recharge, qui est analysé dans cette section, suppose la hauteur de nappe nulle au dessus du drain. Cette simplification est fausse pour les deux raisons suivantes : (1) l'hypothèse de Dupuit est la moins valide au niveau du drain, où l'écoulement est radial ; la perte de charge se traduit par une hauteur d'eau au dessus du drain (qui reste à surface libre) ; (2) le drain n'est pas idéal, ce qui suppose une perte de charge et donc une hauteur d'eau supplémentaire au dessus du drain. L'effet d'une prise en compte de ces deux pertes de charge dans le calcul des débits sera analysée plus avant dans ce chapitre.