hydraulique du drainage
4.1. Modèle SIDRA-2
Le modèle SIDRA-2 est développé dans le but de fonctionner sans le recours de l'hypothèse de pseudo-séparation des variables. Il est fondé sur une résolution numérique par la méthode des éléments finis qui résout l'équation de Boussinesq à chaque noeud d'un maillage pré défini ; la hauteur de nappe n'est plus calculée qu'au seul interdrain mais selon une densité quelconque, entre le drain et l'interdrain. La forme de la nappe est donc calculée dans SIDRA-2 alors qu'elle est imposée dans SIDRA. Dans cette version, le modèle ne prend en compte que les sols homogènes.
Plusieurs méthodes de résolution numérique ont été développées par les auteurs. Skaggs (1975) et Lorre et al. (1994) utilisent une méthode explicite aux différences finies décrite par Moody (1966) alors que Tzimopoulos (1976) utilise la méthode des éléments finis. Le programme numérique de résolution utilisé dans le cadre de l'étude est basé sur cette seconde méthode.
4.1.1. Maillage
Le maillage est réalisé suivant l'axe x du système, entre le drain et l'interdrain (cf. figure 4.1). La densité du maillage, déterminée par l'utilisateur, peut être variable. L'ensemble des simulations réalisées dans cette étude seront effectuées avec un maillage identique : raffiné dans la partie du système proche des drains en raison de la forte courbure de la hauteur piézométrique (et donc de la variation des gradients hydrauliques), la densité du maillage diminue du drain vers l'interdrain.
Le système est maillé de la façon suivante : un pas d'espace maximal est défini en fonction de l'écartement entre les drains souhaité. Il est reproduit 10 fois à partir de l'interdrain vers le drain. Le pas est ensuite divisé par 2, 5, 20 et 50 ; il est respectivement reproduit 4, 10, 15 et 25 fois. Le pas de temps de calcul est fixé par l'utilisateur.
4.1.2. Conditions initiales et aux limites
Les conditions initiales portent sur la valeur de la hauteur de nappe à chaque noeud du système. Les conditions aux limites correspondent aux hypothèses (H1) à (H4) (cf. chapitre 3) d'une part, et à la valeur de la recharge, positive, négative ou nulle, d'autre part.
A bsc isse x Ha ute u r de na ppe Noe ud
inte rdra in dra in
Figure 4.1. Maillage du modèle SIDRA-2. Une charge nulle est imposée au drain ; l’équation de Boussinesq est résolue à tous les autres noeuds.
Lorsque la recharge est positive (infiltration de la pluie I(t)), elle sera supposée répartie de manière homogène entre le drain et l'interdrain car cette hypothèse est également réalisée dans le modèle SIDRA (Lesaffre, 1989). La comparaison de SIDRA et SIDRA-2 a en effet pour but
de tester l'hypothèse de pseudo-séparation des variables, toutes choses étant égales par ailleurs.
Lorsque la recharge est négative (prélèvement dans la nappe, P(y,t)), elle varie en fonction de l'abscisse selon une gestion qui sera détaillée au chapitre 5.
4.1.3. Calcul des hauteurs de nappe et du débit
La résolution numérique de l'équation de Boussinesq permet de calculer les hauteurs de nappe à chaque abscisse du maillage. Les équations parcellaires (3.37) et (3.38) sont également résolues pour tester l'hypothèse de pseudo-séparation des variables vis-à-vis du calcul des hauteurs de nappe à l'interdrain et des débits respectivement. Deux méthodes supplémentaires sont développées pour le calcul du débit : (1) le calcul du bilan hydrique, par l'intégration de l'équation de continuité du système ; (2) le calcul de l'équation dynamique de Darcy, entre le noeud au drain et le noeud le plus proche du drain.
4.1.3.1. Résolution des équations parcellaires
Le calcul, à chaque pas de temps, de la hauteur de nappe à chaque noeud du système, permet le calcul des facteurs de forme de nappe B (équation (3.31)), et C (équation (3.34)) par l'intégration numérique (méthode des trapèzes) de la fonction W. Celle-ci est calculée, à chaque abscisse, par division de la hauteur de nappe par la hauteur de nappe à l'interdrain. Les pas de temps sont choisis suffisamment faibles (de l’ordre d’une minute), pour pouvoir calculer la dérivée des facteurs de forme de nappe par rapport au temps grâce à leurs variations entre deux pas de temps successifs. Les différentes composantes des équations (3.37) et (3.38) spatialisées à l'échelle du système drainant peuvent ensuite être déterminées.
Par ailleurs, l'exposant n de la fonction (1-X2)n est ajusté à chaque pas de temps sur les différentes valeurs calculées du ratio W(X) = h(X)/H. L'ajustement est effectué par régression linéaire sur le logarithme de la fonction W. La qualité de la régression, estimée par le coefficient de corrélation r2, est calculée à chaque pas de temps. L'exposant n est intéressant à déterminer car il permet de caractériser globalement la forme de la nappe : plus n est faible plus la nappe tend vers une forme rectangulaire ; on emploiera dans ce cas le terme de « gonflement » de la nappe.
4.1.3.2. Calcul du débit par bilan hydrique
Le débit unitaire restitué par le réseau de drainage sous l'effet d'une variation de hauteur de nappe et d'une recharge peut être calculé par l'intégration de l'équation de continuité (3.12) :
∂ ∂ ∂ ∂ q x t x dx I t dx h tdx x x x ( , ) ( ) 0 0 0
∫
=∫
− μ∫
(4.1)ce qui donne directement :
q L t I t L h tdx L ( , )= ( ) − μ
∫
∂∂ 0 (4.2)où q est un débit unitaire (L2T-1). L'équation est divisée par le demi-écartement des drains L pour obtenir l'expression du débit surfacique Q(t) :
q L t I t L h t dx L ( , )= ( )−μ
∫
∂∂ 0 (4.3) Les deux termes du membre de droite de l'équation sont intégrés numériquement par la4.1.3.3. Calcul du débit par l'équation de Darcy à la première maille du système
Le débit traversant une section d'abscisse x, verticale et de largeur unitaire (au sens définit à la section 3.5.3.), peut être calculé par l'équation (3.14). Le débit entrant dans le drain peut donc être déterminé par l'application de cette équation sur la première maille du système (i.e. à partir du drain où la charge, h1, est nulle). Dans ce cas, le débit moyen traversant la section située à la moitié de la première maille, s'écrit :
q(L,t) = K
(
h2(t)2 + d
)
h2(t)Δx1 (4.4)
où q(L,t) est un débit unitaire ; h2 la hauteur de nappe au second noeud du système, comptée à partir du niveau des drains ; Δx1 la taille de la première maille. Le débit surfacique s'écrit donc :
Q(t) = Kh2
2+2Kdh2
2LΔx1 (4.5)
Le calcul du débit par cette méthode est, de manière évidente, d'autant plus fiable que la taille de la maille est faible. Le gradient hydraulique moyen hΔx2(t)1 sera en effet d'autant plus précis que Δx1 est petit. Par ailleurs, cette méthode n'est valide que si l'on peut négliger l'apport d'eau entre les deux noeuds de la maille considérée, ce qui n'est vrai que lorsque la maille est de faible taille. Les débits fournis par le modèle selon les deux méthodes, bilan hydrique et loi de Darcy, seront comparés à la section 4.4.