Chapitre V : M´ ethode multi´ echelles pour un mod` ele dis-
3.6 Performance
Pr´ec´edemment, un calcul en temps r´eel se devait d’ˆetre un calcul plus rapide que le temps physique pour une ´equation aux d´eriv´ees partielles d´ependante du temps. Dans ce mod`ele, le temps physique des ph´enom`enes observ´es est quasi-instantan´e et la solution `a un instant donn´e ne d´epend pas de celle `a l’instant pr´ec´edent : il s’agit de la r´eponse du r´eseau `a une condition de g´en´erateurs. G´en´eralement, il est int´eressant de tester un grand nombre de sc´enarii : diff´erentes conditions de g´en´erateurs, diff´erents composants, etc. La m´ethode multi´echelles est bien adapt´ee pour simuler efficacement un grand nombre de simulations. En effet, le pr´ecalcul des vecteurs de base permet de r´eduire notablement le temps de r´esolution d’un syst`eme. Pour une seule simulation, nous consid´erons le temps de calcul du syst`eme grossier (V.10) de la m´ethode multi´echelles, not´e τM, auquel nous
lui ajoutons le temps de pr´ecalcul, not´e τP, des vecteurs de base. Le temps de calcul total de la m´ethode multi´echelles est du mˆeme ordre que τC, celui d’une m´ethode classique, c’est-`a-dire :
τP + τM ≈ τC pour une simulation.
Cependant, pour k 1 simulations, le gain apparaˆıt clairement car, dans ce cas, le temps de calcul est :
τP + k × τM k × τC pour r´ealiser k simulations.
Ceci devient rapidement tr`es coˆuteux lorsque le nombre k de simulations devient grand. Une autre m´ethode optimisant le calcul sur tout le r´eseau, comme une m´ethode de d´ecomposition de domaine, ne permet pas forc´ement de nombreuses simulations s’il faut recalculer sur le r´eseau entier `a chaque fois.
Essayons de fournir une premi`ere analyse des b´en´efices de la m´ethode multi´echelles dans ce contexte. Comme nous avons besoin d’utiliser un r´eseau `a l’´echelle fine pour
4. Conclusion 143
calculer les vecteurs de base multi´echelles avec l’aide des sous-r´eseaux (voir la premi`ere ´
etape du calcul dans la section 3.1), il est logique de comparer une m´ethode multi- ´
echelles avec une r´esolution du probl`eme (V.4) `a l’´echelle fine en utilisant une m´ethode classique. Le premier avantage de cette m´ethode est bien ´evidemment le gain significatif en temps de calcul. En effet, la m´ethode multi´echelles consiste en la formation, puis la r´esolution num´erique d’un syst`eme `a une ´echelle grossi`ere approchant un probl`eme `a ´
echelles multiples. Ceci permet de r´eduire le nombre de degr´es de libert´e (N0 au lieu de
Nε) mais sans la perte de pr´ecision qui survient avec une m´ethode classique, puisque le
syst`eme (V.10) form´e prend en compte les informations aux petites ´echelles. Le syst`eme `
a l’´echelle grossi`ere ´etant plus petit que le syst`eme `a l’´echelle fine, il est en cons´equence plus rapide `a r´esoudre. De plus, les r´esolutions (pour les diff´erents vecteurs de base) du probl`eme (V.5) sont coˆuteuses mais, les vecteurs de base ´etant ind´ependants, ils peuvent ˆ
etre calcul´es efficacement en parall`ele, comme dans le contexte du transport de polluant. La premi`ere ´etape du calcul peut donc aussi ˆetre faite assez rapidement. Les vecteurs de base ne d´ependant pas du terme source et des conditions sur l’op´erateur, ils peuvent ˆetre r´eutilis´es pour d’autres simulations. Un autre avantage de la m´ethode multi´echelles est le gain de place m´emoire. En effet, la m´emoire d’un ordinateur n´ecessaire pour r´esoudre le probl`eme initial avec une m´ethode num´erique classique `a l’´echelle fine est de l’ordre du nombre de nœuds dans le r´eseau, alors que la m´ethode multi´echelles n´ecessite seulement O (max {N0, max
k{Nk}}) quantit´e de m´emoire pour la r´esolution de (V.10) et (V.5), o`u
Nk (cardinal de Nk) est le nombre de nœuds `a l’int´erieur du sous-graphe Gk.
4
Conclusion
Jusqu’`a pr´esent, les m´ethodes multi´echelles n’existent pas pour les r´eseaux ´electriques `
a notre connaissance, malgr´e leur grand potentiel dans ce contexte. En effet, elles ap- portent de la rapidit´e lors de la r´ealisation de nombreuses simulations, un gain de m´emoire non n´egligeable, et surtout la possibilit´e de reconnexions topologiques11.
Nous avons d´evelopp´e, dans ce chapitre, une m´ethode multi´echelles adapt´ee `a ce contexte de r´eseau ´electrique de grande taille. L’espace continu Ω ( Rd (avec d ∈ {1, 2, 3}) des pr´ec´edents chapitres a laiss´e place ici `a un espace discret, de tr`es grande dimension : le domaine de calcul est Ω ( Zd, avec 1 ≤ d ≤ Nε − 1 (cas o`u tous
les nœuds sont connect´es entre eux). Les variantes de MsFEM utilis´ees pour les deux contextes pr´ec´edents, ont ´et´e remplac´ees ici par une m´ethode pour des probl`emes discrets o`u la notion d’´el´ements finis a disparu. L’espace discret implique aussi la disparition du probl`eme des conditions aux limites artificielles, qui a n´ecessit´e la mise en place de tech- niques sp´ecifiques dans les chapitres pr´ec´edents. Cette difficult´e n’apparaˆıt pas dans ce contexte puisque, comme pour le cas de la dimension un en milieu continu, le bord des cellules grossi`eres est constitu´e de points isol´es (voir [44]). La seule condition aux limites impos´ee dans (V.5) est δi,j. Cette m´ethode multi´echelles offre la possibilit´e de r´ealiser, `a
moindre coˆut, de nombreuses simulations afin d’´etudier le comportement du r´eseau face `
a des modifications locales ou globales du r´eseau. La m´ethodologie multi´echelles est donc avantageuse pour la simulation de r´eseaux ´electriques ayant de nombreux composants.
Cette m´ethode multi´echelles doit ˆetre test´ee sur un r´eseau avec diff´erents termes
11Dans un r´eseau, il est int´eressant de pouvoir retirer et/ou ajouter une connexion qui le modifie
sources afin d’observer, par exemple, l’impact d’une d´efaillance de g´en´erateur. Il est aussi possible de simuler la r´eaction du r´eseau face `a des changements de connexions ou de composants.