Tout d’abord, nous construisons un maillage M de taille H sur Ω. a) Etape 1 : construction d’une base de l’espace X0
La premi`ere partie du calcul est la construction de la base multi´echelles, c’est-`a-dire de X0. Il s’agit de modifier la base {Ψi}
i de XH pour l’adapter `a notre probl`eme. Notons
Φiles ´el´ements de la base de X0, comme les fonctions de base multi´echelles dans MsFEM.
Le support Λi de Φi est l’ensemble des cellules K ayant le nœud xi pour sommet, soit
Λi =S {K ∈ M, xi ∈ K}. Une fonction Φi = F (Ψi) est d´efinie pour tout K ⊆ Λi par :
( LΦ◦ R (Φi) = 0 dans K, RΦi |∂K = gi K sur ∂K, (I.29)
o`u LΦ est un op´erateur repr´esentatif du probl`eme, permettant de capturer les effets des petites ´echelles dans K. Les conditions aux limites gKi sont `a choisir.
3. La m´ethodologie multi´echelles 37
Nous pouvons, par exemple, prendre LΦ l’op´erateur de la discr´etisation de L restreint `
a K, gi
K qui co¨ıncide avec Ψi de XH sur ∂K. Dans ce cas, la fonction Ψi est l’approxima-
tion `a l’´echelle grossi`ere de Φi et Φi(xj) = δi,j. Nous remarquons que les ´el´ements R (Φi)
oscillent `a l’int´erieur de K car elles prennent en compte les oscillations fines.
Remarque : S’il s’agit de r´esoudre une ´equation d´ependant du temps, c’est-`a-dire dans [0; T ] × Ω, la fonction Φi = F (Ψi) est d´efinie pour tout K ⊆ Λ
i et tout n par : LΦ◦ R (Φi) = 0 dans [t n; tn+1] × K, R Φi|∂K (t, x) = gKi (t, x) sur [tn; tn+1] × ∂K, RΦi|t=t n = gK0 dans {tn} × K, (I.30)
o`u les conditions initiales g0
K sont aussi `a choisir. Dans ce cas, nous pouvons prendre L Φ
l’op´erateur de la discr´etisation de L restreint `a [tn; tn+1] × K, gKi (t, .) qui co¨ıncide avec
Ψi de XH sur ∂K pour tout t dans [tn; tn+1], g0K ´egale `a Ψi dans K et Φi(., xj) = δi,j.
Dans certains cas, le calcul de la base multi´echelles peut ˆetre fait analytiquement, sinon une m´ethode num´erique est n´ecessaire, par exemple la m´ethode des ´el´ements finis comme pour MsFEM. Afin de r´esoudre le probl`eme (I.29) num´eriquement, nous construi- sons un nouveau maillage, dit fin, sur chaque cellule K du maillage M, dit alors grossier. Pour trouver la solution R (Φi) dans Xε de (I.29) avec la m´ethode des ´el´ements finis
Λi K Ω xi zoom K xα
Fig. I.3 – Maillages grossiers et fin utilis´es dans MsFEM. — A gauche : le maillage grossier M sur le domaine Ω. — A droite : un zoom sur le maillage fin local `a la cellule K. Le point xα est un nœud du maillage fin local `a K. Le support Λi de Φi est dessin´e
par une zone grise.
standard d´ecrite dans la section pr´ec´edente, nous rempla¸cons Xh par Xε, Ω par K et
dans (I.30) [0; T ] est aussi rempla¸c´e par5 [t
n; tn+1]. Pour plus de claret´e, choisissons des
lettres grecques pour les indices qui concernent les maillages fins. Dans chaque cellule K, notons {xα}α les nœuds du maillage fin. Sur la figure Fig. I.3, nous pouvons voir,
pour le cas d’un maillage cart´esien, un zoom sur la construction du maillage fin sur une cellule K du maillage M. Dans le but de ne pas allourdir les notations, nous consid´erons un unique maillage fin sur le domaine entier Ω. Il suffit de renum´eroter globalement les
5La variable temporelle est consid´er´ee comme un param`etre et les composantes de R Φi sont des
nœuds des maillages fins. Le maillage fin est donc constitu´e de Nε nœuds {x
α}α=1,...,Nε.
Le nombre Nε de nœuds fins est la dimension de Xε et le maillage fin sur Ω est donc
celui qui serait utilis´e avec une m´ethode num´erique classique pour r´esoudre le probl`eme Lεuε = fε. En notant ψα un ´el´ement de la base de Xε = {PNε
α=1vαψ α, v
α : R+ → R}, le
probl`eme variationnel approch´e (analogue de (I.22)) de (I.29) devient ici : trouver Φi ∈ Xε telle que ∀K ⊆ Λ
i, < LΦΦi, ψα>= 0 dans K, ∀α = 1, ..., Nε,
ou simplement : trouver Φi = X
α/xα∈Λi
Φiαψα telle que ∀K ⊆ Λi, < LΦΦi, ψα >= 0 dans K, ∀α : xα ∈ Λi.
Ceci est ´equivalent `a la r´esolution de syst`emes lin´eaires (un pour chaque K) de taille NNε0,
petite par rapport `a Nε, en prenant seulement les α tels que le support de ψα et K ne soient pas disjoints, c’est-`a-dire les nœuds xα de K.
Le choix de conditions aux limites gi
K lin´eaires pour le calcul de Φi sont artificielles.
Comme pour les fonctions de base multi´echelles, le choix des conditions aux limites dans (I.29) joue un rˆole crucial dans l’approximation de la solution multi´echelles. Intuitive- ment, les conditions aux limites pour la base de X0 refl`etent l’oscillation multi´echelles
de la solution `a travers le bord d’une cellule grossi`ere K. En choisissant une condition aux limites lin´eaire pour cette base, nous cr´eons une erreur entre la solution exacte et l’approximation num´erique `a travers le bord ∂K de la cellule. Dans le cas monodimen- sionnel ou multidimensionnel discret, cette question n’est pas pr´esente puisque les bords des cellules grossi`eres (les nœuds du maillage grossier M) sont des points isol´es. Dans les chapitres suivants, nous regarderons des am´eliorations `a apporter `a cette ´etape de la m´ethode, en particulier sur le choix des conditions aux limites giK. La m´ethode utilisant MsFEM et les conditions aux limites gi
K lin´eaires est not´ee MsFEM-L. Nous remarquons
que pour des ´equations elliptiques lin´eaires, LΦ est lin´eaire et en cons´equence X0 est un
espace lin´eaire engendr´e par {F (Ψi), Ψi ∈ XH}.
Remarque : Le terme source n’apparaˆıt pas dans les probl`emes (I.29) et (I.30), il n’est donc pris en compte que grossi`erement, mais cela permet de faire le calcul des ´el´ements de la base multi´echelles, qui sont un mod`ele local apriori de la solution. Il suffit de connaˆıtre certaines informations, sur L en particulier, sans pour autant connaˆıtre la situation (terme source, conditions aux limites et conditions initiales). Ceci permet de pr´ecalculer la base de X0.
Une fois cette base construite, nous obtenons l’espace X0 engendr´e par ces ´el´ements
Φi qui sont coupl´es pour obtenir l’´equation globale.
b) Etape 2 : R´esolution de l’´equation globale
Regardons maintenant la deuxi`eme ´etape du calcul. Il s’agit de la r´esolution de Lεuε =
fε en utilisant la premi`ere ´etape.
La m´ethode des ´el´ements finis multi´echelles utilise, dans cette ´etape, les fonctions de base multi´echelles Φi, calcul´ees `a l’´etape pr´ec´edente, comme fonctions de base du maillage
M. Il s’agit de la m´ethode des ´el´ements finis d´ecrite dans la section pr´ec´edente (voir 2.2) en rempla¸cant Xh par X0. Nous utilisons ici aussi la base de X0 comme base pour la
3. La m´ethodologie multi´echelles 39
solution approch´ee, c’est-`a-dire que la solution num´erique u0 est cherch´ee dans l’espace
X0. Pour trouver la solution de notre probl`eme dans X0, nous substituons u0 =P
iuiΦi
dans l’´equation discr´etis´ee sur le maillage fin. Comme u0est d´efini sur le maillage grossier, l’´equation r´esultante est projet´ee sur l’espace X0 de dimension grossi`ere pour trouver les
ui, qui sont les composantes de u0 dans la base de X0. Ceci peut ˆetre fait de diff´erentes
fa¸cons. Choisissons de multiplier l’´equation r´esultante par les fonctions tests `a l’´echelle grossi`ere. D’autres approches peuvent ˆetre prises, notamment pour des probl`emes non lin´eaires. Notons WH l’espace des fonctions tests, qui est de dimension N0. Dans le cas
des m´ethodes des ´el´ements finis de Galerkin, nous cherchons u0 dans X0 et nous prenons les fonctions tests dans WH = X0. Il est aussi possible de choisir les fonctions tests
dans WH = Xh, comme dans la version Petrov-Galerkin de MsFEM introduite dans [62].
Nous remarquons que, dans les deux versions, l’´equation `a l’´echelle fine est multipli´ee par des fonctions test de l’´echelle grossi`ere, donc le syst`eme r´esultant est de dimension N0 grossi`ere.
La formulation variationnelle approch´ee de L0u0 = f0 s’´ecrit donc : trouver u0 ∈ X0 telle que ∀Ψ ∈ W
H, < L0u0, Ψ >=< f0, Ψ >,
avec < ., . > le produit de dualit´e entre L0(X0) et W
H. En g´en´eral, LΦ et L0 sont
diff´erents pour des probl`emes non lin´eaires.
Ceci donne lieu `a un syst`eme d’´equations, de taille N0×N0, pour trouver les valeurs de
la solution aux nœuds grossiers {xi}i, donc le syst`eme d’´equations r´esultant d´etermine
la solution sur le maillage M. En ´ecrivant u0 dans la base multi´echelles de X0, nous obtenons un syst`eme de petite taille N0× N0 :
A u0. = b,
o`u nous avons not´e (u0.) le vecteur des composantes u
i, A la matrice de l’op´erateur
L0 discr´etis´e, c’est-`a-dire Aij =< L0Φj, Φi > si WH = X0 et Aij =< L0Φj, Ψi > si
WH = XH, et b le vecteur de discr´etisation du second membre f0, c’est-`a-dire bi =
P
j <
Φj, Φi > f
j si WH = X0 et bi = Pj < Φj, Ψi > fj si WH = XH. Les composantes
de la solution approch´ee u0 dans la base de X0, obtenues apr`es r´esolution du syst`eme, correspondent aux valeurs approch´ees de la solution sur les nœuds du maillage M. Remarques :
– La matrice A est creuse. En effet, les nœuds grossiers xi ont tr`es peu de nœuds
voisins (nœuds appartenant `a une mˆeme cellule que xi) dans un maillage cart´esien,
donc, pour de nombreux ´el´ements Φj, le support de Φi (et de Ψi) et celui de Φj sont disjoints.
– Si le probl`eme est instationnaire, les composantes ui d´ependent du temps. Mˆeme
dans le cas LΦ instationnaire si Φi et u0 ne sont pas calcul´es sur les mˆemes inter-
valles de temps, les ui d´ependent du temps.
c) Etape 3 : post-traitement
Pour remonter `a Xε, nous reconstruisons la solution en chaque nœud du maillage fin
R `a u0. Nous obtenons ainsi : uε(x) = R u0(x) = R X i uiΦi(x) ! =X i uiR Φi(x) =X i ui X α Φiαψα(x) .
En identifiant Φi ∈ X0 ⊂ Xε et son interpolation R(Φi) ∈ Xε, nous avons tout simple-
ment : uε(x) =X i ui.Φi(x) = X i ui X α Φiαψα(x) ! , x ∈ Ω.
Dans le cas o`u le probl`eme est instationnaire, les composantes ui de u0 d´ependent du
temps et ainsi nous obtenons :
uε(t, x) =X i ui.Φi(t, x) = X i ui X α Φiα(t)ψα(x) ! , x ∈ Ω.
De plus, si LΦ est un op´erateur stationnaire, donc Φi
α r´eel, nous obtenons :
uε(t, x) =X i ui(t).Φi(x) = X i ui(t) X α Φiαψα(x) ! , x ∈ Ω.