L’objectif de cette m´ethode est d’approcher la solution homog´en´eis´ee dans XH avec
2. Homog´en´eisation num´erique 33
r´esoudre les probl`emes auxiliaires qui surviennent en homog´en´eisation (par exemple, les probl`emes cellules p´eriodiques (I.11)). Les composantes de cette solution num´erique doivent prendre en compte les petites fluctuations. Soit `a r´esoudre :
Lu = f dans Ω, (I.24)
o`u L = −∇ ·Aε−→∇.. Cette m´ethode utilise les ´el´ements finis de degr´e un pour r´esoudre
la formulation globale (I.17). Notons H la taille du maillage et prenons p = 1 dans la d´efinition2 (I.23) de XH. Afin de prendre en compte les petites fluctuations, une fonction
de base Φi est l’image d’une fonction Ψi de X
H, par un op´erateur not´e F . En notant
X0 l’espace engendr´e par les fonctions de base {Φi}
i, nous ´ecrivons Φi = F (Ψi), o`u
F : XH → X0. Ces fonctions ´etant d´efinies par (I.18), cet op´erateur est donc d´efini par
F (v) = v ◦ ξ, o`u ξ est la fonction test oscillante (voir section 2.1) solution de : (
−∇ ·Aε−→∇ξ= 0 dans K,
ξ(x) = x sur ∂K,
et Φi = F (Ψi) est alors solution de (I.20), c’est-`a-dire : (
−∇ ·Aε−→∇Φi= 0 dans K,
Φi|∂K = Ψi|∂K sur ∂K. (I.25)
Pla¸cons nous en maillage cart´esien pour des raisons de simplifications. Cette recons- truction prendra tout son sens dans les chapitres suivants. Soit un maillage M `a N0
nœuds {xi}i=1,...,N0 sur le domaine de calcul Ω, o`u N0 est le cardinal de X0. Le calcul se
d´eroule en deux ´etapes : la r´esolution de (I.25), puis celle de (I.17).
Fonctions de base. La premi`ere partie du calcul par MsFEM est la construction des fonctions de base multi´echelles. Comme dans la m´ethode des ´el´ements finis standard, pour chaque nœud xi du maillage M, nous construisons une fonction de base associ´ee
Φi. Pour prendre en compte les variations des cœfficients de l’´equation, cette fonction est solution locale d’une ´equation homog`ene associ´ee `a (I.24), sujette `a certaines conditions aux limites. Le support Λi de Φi est l’ensemble des cellules3 K ayant le nœud xi pour
sommet, soit Λi = ∪ {K ∈ M, xi ∈ K}. La fonction de base multi´echelles Φi est d´efinie,
pour tout K ⊂ Λi, comme solution de :
LΦi = 0 dans K,
Φi
|∂K(x) = Ψi(x) sur ∂K.
(I.26) Ce probl`eme est r´esolu `a l’aide de la m´ethode des ´el´ements finis de degr´e un.
Remarque : Lorsqu’une r´egion, not´ee Kloc, plus petite que K permet de caract´eriser les
h´et´erog´en´eit´es locales (exemple : h´et´erog´en´eit´es p´eriodiques), il est possible de r´esoudre (I.26) sur Kloc. Les matrices de discr´etisation utilisent seulement l’information dans les
petites r´egions de calcul Kloc et les fonctions de base peuvent ˆetre ´etendues p´eriodique-
ment `a la cellule grossi`ere K si n´ecessaire (voir [44]). De telles r´egions sont appel´ees Representative Volume Element (RVE).
2X
H est l’ensemble des ´el´ements finis de degr´e un.
Formulation globale. La caract´eristique de MsFEM est l’utilisation de la formulation variationnelle `a l’´echelle grossi`ere qui permet de coupler les fonctions de base multi- ´
echelles. La solution est cherch´ee sur le maillage M en la d´ecomposant dans la base des Φi :
u0 =X
i
uiΦi,
o`u les ui sont les valeurs approch´ees de la solution aux nœuds grossiers xi. La solution
prend en compte les petites fluctuations grˆace aux fonctions de base multi´echelles. En substituant cette d´ecomposition dans l’´equation `a r´esoudre, puis en utilisant la m´ethode des ´el´ements finis o`u les fonctions de base sont remplac´ees par les Φi, le syst`eme `a r´esoudre
est de taille N0× N0. Cette m´ethode permet donc un calcul rapide de la solution.
En g´en´eral, la formulation globale peut ˆetre facilement modifi´ee avec de nombreuses formulations globales bas´ees sur les volumes finis, les ´el´ements finis mixtes, les m´ethodes du type Galerkin discontinus, et d’autres. MsFEM peut facilement ˆetre ´etendu aux syst`emes d’´equations lin´eaires, tels que les ´equations d’´elasticit´e.
Remarque : Les conditions aux limites pour les fonctions de base jouent un rˆole crutial dans la capture de l’information `a l’´echelle fine. Si les conditions aux limites locales pour les fonctions de base ne refl`etent pas la nature des h´et´erog´en´eit´es sous-jacentes, MsFEM peut avoir de grandes erreurs. Ces erreurs sont due `a la resonnance entre la taille H de l’´echelle grossi`ere et l’´echelle de la longueur caract´eristique ε du probl`eme. Pour des cœfficients p´eriodiques cette longueur est la p´eriode. Par un choix judicieux de conditions aux limites pour les fonctions de base, on peut r´eduire significativement les erreurs de resonnance. Hou et Wu ont propos´e une m´ethode d’oversampling dans [60] pour surmonter cette difficult´e.
D’apr`es Hou ([59]), pour u dans H2(Ω) solution de
( −∇ ·ax ε ∇u= f dans Ω u = 0 sur ∂Ω, (I.27) et u0 dans X0 solution de Z Ω ax ε ∇u0.∇Φidx = Z Ω f Φidx ∀i, (I.28)
lorsque h < ε, nous obtenons l’estimation d’erreur suivante : ||u − u0||
H1 ≤ Ch(||f ||L2 + ||u||H2).
Or ||u||H2 = O 1
ε, ce qui implique que cette estimation devient tr`es grande quand le
rapport hε augmente, c’est-`a-dire quand ε tend vers z´ero. Lorsque h > ε, nous obtenons l’estimation d’erreur suivante :
||u − u0|| H1 ≤ C(h + ε)||f ||L2 + C ε h 1/2 ||u∗||W1,∞,
o`u u∗ ∈ H2(Ω) ∩ W1,∞(Ω) est la solution du probl`eme homog´en´eis´e suivant :
−∇ · (a∗∇u∗) = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
On peut s’apercevoir ici que lorsque h est de l’ordre de ε, l’erreur de la m´ethode est maximale. Cet effet, appel´e effet de r´esonnance d’´echelle (voir [59]), est une r´esonnance entre la taille du maillage et la petite ´echelle du probl`eme.
3. La m´ethodologie multi´echelles 35
3
La m´ethodologie multi´echelles
Le but est d’obtenir la solution d’une ´equation pouvant ˆetre instationnaire et dont les cœfficients n’ont aucune caract´eristique particuli`ere (pas n´ecessairement p´eriodique) en espace. La solution obtenue doit approcher au mieux les variations de la solution exacte avec un coˆut de calcul (en temps et en m´emoire) raisonnable. Il s’agit de s’inspirer de la m´ethode MsFEM pr´esent´ee dans la section pr´ec´edente dont l’id´ee est de pr´ecalculer des fonctions qui prennent en compte les fluctuations des cœfficients de l’´equation, puis de chercher la solution dans l’espace engendr´e par ces fonctions. Nous ne sommes pas int´eress´e par la convergence de la solution num´erique vers la solution homog´en´eis´ee quand ε tend vers z´ero. Nous cherchons une solution num´erique approchant finement la solution de l’´equation dont les h´et´erog´en´eit´es des cœfficients sont fixes.