PDBID R 2CFM 110 8,37 1,49 3,35 0,65 8,37 1,

ANEXO I – Projeto de Intervenção Pedagógica Profa _Marilu

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

ANÁLISE DE ERROS DE ALUNOS DE 5a SÉRIE NA RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS: NOVAS JANELAS QUE SE ABREM...

CURITIBA NOVEMBRO/07

MARILU

ANÁLISE DE ERROS DE ALUNOS DE 5a SÉRIE NA RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS: NOVAS JANELAS QUE SE ABREM...

Plano de trabalho elaborado para conclusão do Projeto de Desenvolvimentoda Educação da SEED xxxx.

CURITIBA NOVEMBRO/07

1. IDENTIFICAÇÃO:

1.1. ÁREA: Matemática 1.2. Professor PDE : Marilu 1.3. Professor Orientador: x

2. TEMA DE ESTUDO DA INTERVENÇÃO: Educação Matemática e a formação de professores

3. TÍTULO: ANÁLISE DE ERROS DE ALUNOS DE 5a SÉRIE NA RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS: NOVAS JANELAS QUE SE ABREM...

4. PROBLEMATIZAÇÃO DO TEMA:

Nesta proposta, a autora estará focalizando os erros que os alunos cometem ao chegar a 5a série, no que tange a resolução dos algoritmos das operações fundamentais, após quase 20 anos de observação em sua atuação em sala de aula.

Também acredita que não se nasce professor e sim torna-se professor ao longo dos anos, sendo a formação acadêmica apenas um pontapé inicial para um processo contínuo, pois o professor deve estar em constante formação. Um ponto importante é que, o professor deve dominar os conteúdos que ensina, aprofundando-se cada vez mais em sua área, além de também dominar as características dos processos de desenvolvimento a de aprendizagem, para somente assim acompanhar as mudanças que a educação e os educandos como um todo, sofrem ao longo do tempo.

A autora apresentará algumas situações que podem estar levando o aluno de 5asérie ao fracasso escolar, pois, após anos de observação notou que determinados erros na resolução dos algoritmos das operações fundamentais repetem-se ano após ano, em alunos de escolas estaduais oriundos de diferentes níveis sócio-econômico-cultural, bem como de diferentes escolas da primeira parte do ensino fundamental, o que motivou a autora a pesquisar tal fato.

Dessa forma, inicialmente a autora discutirá o papel do professor na análise dos erros para entender a organização das idéias dos alunos.

Em seguida, serão levantados alguns motivos que levam ao erro na resolução da dos algoritmos das operações, principalmente na subtração e na divisão.

Finalizando, será discutido o papel dos erros cometidos em Matemática na busca de compreensão da construção do conhecimento lógico-matemático do aluno bem como uma proposta de encaminhamentos metodológicos para auxiliar o trabalho do professor em sala de aula.

5. DEFINIÇÃO DO OBJETO DE ESTUDO:

É muito comum dar-se grande valor ao acerto do aluno, pois o senso comum leva a crer que a Matemática, sendo ciência exata, é disciplina onde todos devem sempre chegar à mesma resposta frente às situações similares.

Este estudo buscará mostrar que o erro em Matemática é um reflexo e ao mesmo tempo um instrumento de modificação do pensamento que está em constante (trans) formação. Acredita-se que saber Matemática é muito mais que decorar e aplicar fórmulas, regras ou algoritmos para realizar certos exercícios com êxito. Saber Matemática é tudo isso, porém sempre a partir da compreensão e da contextualização do que se aprende, a fim de aplicar esse conhecimento em diversas situações. Para que o aluno possa ter sucesso em Matemática, não basta ensinar definições, regras, esquemas e treinar tais procedimentos repetidamente, deve-se preocupar muito mais com a compreensão e com a formação dos conceitos levando assim ao desenvolvimento do pensamento matemático.

A partir dessas conclusões, pode-se concordar com Moro (1996) quando diz que:

Se um professor descobriu, nele próprio, o prazer real de fazer Matemática, de compreender suas noções, de percorrer os caminhos dessa compreensão, seria impossível ele não colocar seus alunos nesse caminho não lhes proporcionar situações para viver esse tipo de sentimento. (p. 132) Quando se amplia as considerações sobre o erro do aluno, percebe-se que novas janelas se abrem permitindo assim novos sentimentos, novas idéias, novas perspectivas de ensino-aprendizagem. Assim, essas novas janelas abertas exigem do professor, a reavaliação do que se está fazendo em sala de aula, do que se está ensinando e como se está ensinando.

6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA:

O PAPEL DO PROFESSOR

Quando se fala em algoritmos das operações fundamentais, a discussão fica restrita à idéia de adicionar ou retirar quantidades, porém, é necessário que o professor oportunize ao aluno lidar com as situações que constituem o campo aditivo, bem como a composição e decomposição dos números dentro do sistema de numeração, para que possam construir os conceitos de adição e de subtração, a partir de um embasamento sobre a construção do número e, do sistema de numeração, assim como posteriormente construir o conceito de multiplicação e divisão, já que ambos são formas diferentes de representar adições e subtrações.

Muitas vezes os erros cometidos pelos alunos são frequentemente causados pelo desconhecimento da composição aditiva de um número.

É fácil ver que a hierarquia das unidades contidas dentro de dezenas, dezenas contidas dentro de centenas, centenas dentro de milhares, e assim por diante, exige uma compreensão da composição aditiva, e os dados que apresentamos demonstram que as crianças precisam compreender sobre composição aditiva a fim de dominar o sistema hindu-arábico que usamos para escrever os números. (p. 228)

Os conceitos e modelos que os alunos constroem são baseados em situações escolares programadas pelo professor, que também ocorrem fora de sala de aula. Esse é um dos motivos pelos quais o professor deve conhecer seus alunos a fim de saber como eles estão pensando, para procurar entender a organização das idéias elaboradas por eles, bem como conhecer e analisar os erros que cometem em conseqüência das visões ainda pouco desenvolvidas, que possuem, pois assim estará procurando entender como esses conceitos estão sendo formados. De certa forma, pode-se considerar que todos os acertos de um aluno não provam que suas representações e seus conceitos estejam de acordo com o que os professores aceitam como correto (Moro, 1996).

Nesse sentido, o professor deve assumir um papel de pesquisador, fazendo sempre uma análise crítica de sua prática em sala de aula, lembrando que ele pode aprender muito com seu aluno.

O professor que assume o papel de pesquisador pode perceber nitidamente que algumas crianças manejam perfeitamente bem uma atividade e mal outra, ambas exigindo um raciocínio bastante semelhante. A partir da análise será possível perceber que muitas vezes o que para a maioria dos adultos é matematicamente equivalente, para o aluno que tem uma aprendizagem ou uma concepção superficial e mecânica não é um raciocínio equivalente. Sendo assim, como professor, deve-se prestar muita atenção aos erros e às dificuldades dos alunos.

Muito se tem discutido sobre o funcionamento da mente e o estudo da cognição humana, assim a análise de erros passou a despertar muito interesse, pois se acredita que os erros são indicativos do funcionamento mental, permitindo a compreensão dos processos cognitivos do aluno. Os erros são estágios necessários para o desenvolvimento das idéias e fazem parte do caminhar dos alunos na formação dos conceitos, neste caso conceitos matemáticos.

Muitas vezes, os erros cometidos pelos alunos de forma sistemática são decorrentes de idéias próprias, criadas de maneira nem sempre corretas, a partir de modelos ingênuos, incorretos ou incompletos. Assim, pode-se encarar o erro como revelador das dificuldades de aprendizagem dos alunos.

No que se refere a resolução do algoritmo das operações fundamentais deve-se buscar meios de reverter os casos de erro em uma situação de aprendizagem e, tentar fazer com que o aluno externe a maneira de pensar que o levou ao erro, contribuindo à formação da imagem de “mau” que ele possui na aprendizagem matemática.

subtrativa corretamente. Porém, se esta mesma situação for proposta de forma ao aluno usar lápis e papel, esse aluno utiliza um procedimento muitas vezes errado, ou mesmo informa não saber fazer ou diz só saber fazer “de cabeça”. Neste momento, o professor pode questioná-lo sobre como raciocinou mentalmente e mostrar que a maneira de resolver o algoritmo é basicamente a mesma, a partir da composição e decomposição do número, bastando ele registrar a forma que pensou, passo-a-passo.

Assim, pode-se perceber que uma situação aditiva ou subtrativa, quando está inserida num contexto prático para o aluno, faz com que ele chegue à resposta certa, dando a impressão que é mais simples. Razão pela qual o professor deve buscar contextualizar os conteúdos à realidade do aluno, bem como quantificar a realidade, evitando a mecanização pura e simples das atividades aritméticas, especialmente das operações fundamentais, abolindo a presença de modelos-padrão de situações aditivas e/ou subtrativas.

OS ERROS

No tocante aos erros, que ocorrem especificamente da falta de compreensão dos algoritmos das operações fundamentais, percebe-se que alguns deles são decorrentes de técnicas operatórias treinadas exaustivamente pelos alunos.

Na adição e na multiplicação, um dos erros mais cometidos pelos alunos acontece quando surge a famosa regra do “vai um” que, muitas vezes, é esquecido pelo mesmo ao encontrar o total da adição. Percebe- se que o aluno, ao cometer um erro como esse, quando é questionado e levado a expressar oralmente seu raciocínio, muitas vezes, atribui o motivo do erro apenas ao esquecimento, sendo necessário que o professor esteja atento para detectar se é realmente um esquecimento ou se o erro aconteceu devido à incompreensão da composição do sistema de numeração. Pois para o aluno compreender a regra do “vai um” como um agrupamento de dezenas, de centenas e assim por diante, é necessário que tenha bem embasada a noção de formação do sistema de numeração. Assunto que deveria ser trabalhado bem concretamente nas séries iniciais através de quantificação e comparação de coleções, bem como agrupamento e reagrupamento das mesmas: antes de perceber o 12, por exemplo, como sendo 10 + 2, ele deveria percebê-lo como sendo 1 + 1 + 1 + ... + 1, embora mentalmente ele saiba o que representa a quantidade 12. Dessa forma, percebe-se que é fundamental o aluno conceber a adição a partir da atividade e da idéia de agrupar quantidades e a multiplicação, por conseqüência, como agrupar quantidades iguais. Se ele perceber o sistema de numeração decimal como sendo composto por agrupamentos de dez em dez, perceberá também perfeitamente o porquê da regra do “vai um”.

É importante ter em vista, como diz Rangel (1992, p.88), que “o número não é um conceito isolado, o que é constituído no pensamento infantil é a sucessão dos números em um sistema organizado a partir das unidades adicionadas e concebidas em totalidades relacionadas entre si”.

os erros decorrentes de subtrações e divisões são muito mais freqüentes e repetitivos nos diversos alunos que chegam a 5a série.

Muito dos erros decorrentes da incompreensão do algoritmo da subtração e da

divisão, são heranças de técnicas operatórias exaustivamente treinadas sem que houvesse a identificação, por parte do professor, do motivo que leva o aluno ao erro, tentando assim superar tal dificuldade na origem.

Percebe-se que um dos grandes obstáculos para o algoritmo da subtração e, consequentemente para a divisão, é o numeral “zero”, em situações como “emprestar9

do zero” ou “emprestar para o zero".

Nesse sentido a autora concorda com Moro (1996) quando diz que:

Parece que o aluno não faz idéia de que o numeral serve para designar a presença de certa quantidade, não percebendo que o “zero” é apenas um sinal gráfico que se convencionou para indicar a ausência de quantidade. Muitas vezes ele associa mecanicamente o sinal gráfico à expressão “nada” sem compreender o significado dessa negação no que se refere a quantificação da realidade. (p. 122)

Esse fato acredita-se que ocorra como herança de uma experiência escolar onde os nomes dos numerais são atribuídos a qualquer coleção ou agrupamento, sem verificação da quantidade referente ou, quando há a verificação, essa ação dos alunos é de origem de uma contagem mecânica, só para satisfazer a uma solicitação do professor.

Percebe-se essa mecanização também na realização dos algoritmos quando o aluno “conta tudo no dedo”, chama “continha de mais”, “continha de menos”, quando “faz uso de tracinhos” para adicionar ou subtrair. Essas atitudes, entre outras, vêm confirmar a mecanização sem compreensão nas atividades aritméticas dos alunos, bem como muitas vezes sequer percebidas pelo professor. O aluno, ao fazer “empréstimos” (que deveria compreender e ser chamado de decomposição, pois não emprestamos nada e o que se empresta deveria ser devolvido) na subtração, muitas vezes devido à mecanização, não compreende esse “empréstimo” como sendo uma decomposição do numeral de maneira global, e somente da primeira ordem, à esquerda desse número, sem contextualizá-lo como dezena, centena, unidade de milhar, etc. E é por esse motivo que muitas vezes o aluno ao subtrair, não desconta esse “empréstimo” feito (na verdade não completa a decomposição do número), caindo assim no erro.

Também se caracteriza como um outro obstáculo para o aluno resolver corretamente uma subtração, o fato de o minuendo ser um número composto por zeros, um ao lado do outro, o aluno muitas vezes não compreende que os “empréstimos” (decomposições) serão sucessivos, devendo então começar da esquerda para a direita, da maior para a menor ordem. Numa situação como essa, o professor deve deixar claro

9

Entende-se “emprestar” como sendo uma decomposição do minuendo quando o valor posicional dos algarismos do subtraendo são menores que os de mesma ordem no minuendo. A autora reconhece que o termo “emprestar” é incorreto do ponto de vista matemático, já que o que ocorre é, na verdade uma “troca”. No entanto optou em utilizar tal termo por ser o mais usual em sala de aula.

ao aluno que aquele número deverá ser decomposto de forma a satisfazer a situação do empréstimo, decompondo da maior ordem para a menor, se necessário fazendo uso de material dourado para mostrar as decomposições (fazendo trocas de cubos por placas, de placas por barras, barras por cubinhos, etc, conforme a peça considerada como referencial) .

O aluno, devido a mecanização da aritmética, é levado a considerar este tipo de decomposição como uma “decomposição diferente” e, dessa forma, deve ter um procedimento diferente, próprio, fato este que inclusive acaba induzindo-o muitas vezes ao erro. Porém, é neste momento que o professor deve estar atento, pois embora o zero introduza uma dificuldade a mais, a técnica operatória continua a ser a mesma, usando material concreto poderá mostrar que a operação será feita da mesma forma que as demais. Por exemplo, ao fazer 9000 – 1838 ele deve mostrar ao aluno que 9000 pode ser decomposto como 8000+900+90+10, para que a subtração com reserva possa ser compreendida adequadamente, como sendo apenas

mais uma subtração.

Algumas vezes o aluno de 5a. série ainda não compreende o que significa essas

decomposições e as realiza da direita para a esquerda, acumulando-as no último algarismo da esquerda. No

exemplo acima, ele faria 9000 – 1838 como sendo:

6 10 10 10

9 ∅ ∅ ∅

- 1 8 3 8 5 2 7 2

O aluno fez 9-3=6 porque imaginou 1+1+1=3 sem perceber que estava decompondo o 9 que vale 900 dezenas, assim emprestou 1 para cada um dos zeros, sem preocupar-se com valor posicional ou com a formação do número

Outro erro muito comum cometido pelos alunos é subtrair o menor do maior, coluna a coluna, por exemplo: 961 – 185 ele fará 9 – 1 = 8, 8 – 6 = 2 e 5 – 1 = 4, dando o resultado como 824 ao invés de 776.

9 6 1 -1 8 5 8 2 4

Acredita-se que este tipo de erro o aluno comete porque desde as séries iniciais é levado a considerar a subtração como a operação onde sempre deve retirar o menor número do maior, deixando de

pensar assim no valor posicional de cada algarismo e considerando a regra válida para cada algarismo não somente para as quantidades (números), o que leva a concluir que o conceito de subtração que ele construiu foi embasado em uma generalização a partir de uma particularidade da subtração. Acredita-se também que um dos fatos que reforçam essa idéia errônea da subtração é a hierarquização das etapas para se ensinar as

operações fundamentais, onde se trabalha exaustivamente um passo-padrão, por exemplo subtração sem reserva que reforça as subtrações coluna a coluna, levando o mesmo a fazer generalizações e a criar regras a partir de particularidades que nem sempre podem ser aplicadas à casos gerais.

Embora seja difundida a idéia de que há necessidade de partir do caso mais simples para o caso de maior dificuldade ao se ensinar os algoritmos, também se acredita que o professor deva estar atento ao fato de que, muitas vezes, o excesso de treinamento em determinadas atividades pode levar o aluno a criar regras falsas, que geram erros quando o conceito não está firmemente construído ou compreendido, aumentando assim as dificuldades ao invés de desenvolver a compreensão. Tais fatos contribuem para levar o aluno ao fracasso escolar em Matemática, inclusive nas séries escolares posteriores a que está emcurso.

Na mesma direção das conclusões da autora, David (1996) afirma:

Nas escolas primárias as crianças são encorajadas a praticar rotinas para se tornarem “fluentes” na aritmética elementar. A progressão vai das rotinas mais simples para as mais complexas. Esta parece ser a forma lógica de proceder. Porém, se observarmos o que realmente acontece na sala de aula, vamos verificar que esta seqüência pode encorajar as crianças a praticarem técnicas que funcionam num contexto limitado, mas que não podem ser generalizadas. Muito longe de lhes fornecer um processo de crescimento contínuo e cuidadosamente seqüenciado, esta abordagem pode levar as crianças a aprenderem técnicas “defeituosas” que só podem ser diagnosticas num estágio mais avançado.

Entretanto, pode-se lhes estar dando páginas e páginas de exercícios que os levam a praticar os seus erros, obtendo um sucesso de curta duração mas preparando-os, desavisadamente para o fracasso futuro. (p. 27)

Do exposto, pode-se afirmar que os alunos não erram por acaso ou por falta de atenção, pura e simplesmente, existe sempre um motivo sustentando esse erro, e compete ao professor estudar os erros para poder auxiliar e melhorar a compreensão dos alunos, retirando assim a idéia de Matemática como sendo uma disciplina de regras desvinculadas da realidade.

Não se pretende cultuar o erro neste texto, mas alertar os professores para os motivos que levam o aluno ao erro, tornando possível reorganizar a prática pedagógica de forma a auxiliar o desenvolvimento do aluno, evitando uma aprendizagem superficial de regras, linguagem de sinais operatórios ou mesmo truques e esquemas.

Acredita-se que tanto alunos como professores têm muito a aprender a partir do erro, ao invés de tratá-lo como algo intrinsecamente “mau”.

7. DESENVOLVIMENTO METODOLÓGICO

A autora pretende trabalhar com pesquisa-ação, fazendo análise de atividades de resolução de algoritmos feitos por alunos de quinta série, observando o tipo de erro cometido, também lançando mão de conversas com alunos sobre a forma de pensar em cada operação. Além dessa análise, num segundo momento, pretende ouvir os professores sobre seu olhar diante os erros dos alunos, e como acham que os alunos pensaram em cada tipo de erro cometido, além de questionar sobre o motivo que os professores acham que possa ter levado o aluno ao erro. Também fará uso das informações coletadas junto aos professores do grupo de trabalho em rede (GTR) através de fóruns para troca de idéias.

Após todo esse levantamento de informações pretende-se estudar propostas metodológicas que venham de encontro à tentativa de solucionar ou no mínimo amenizar a dificuldade operatória dos alunos de quinta série.

Os encontros de orientação, seminários e cursos promovidos pela SEED/PDE e pela IES, onde foram discutidos e argumentados vários procedimentos e posicionamento com relação à educação e o papel do professor na rede pública de ensino, vieram contribuir para a realização deste plano de trabalho durante o primeiro período.

7.1. ESTUDOS ORIENTADOS:

A partir de 24 de abril de 2007, todos os encontros com orientação serviram de base para construção, delimitação e enriquecimento do tema, objetivos, justificativas, problematização, fundamentação teórica e revisão contínua da bibliografia do projeto de pesquisa e do plano de trabalho.