Pattern Classification Based on Part–Machine Incidence Matrices The part–machine grouping problem is one of the first steps in the design of a cellular manufacturing

Os modelos de previsão de degradação das pontes podem ser de natureza empírica ou mecanicista. Os modelos empíricos são desenvolvidos com base em dados experimentais ou reais. Por outro lado, os modelos mecanicistas são desenvolvidos a partir de modelos teóricos associados aos mecanismos de degradação, tornando-se no entanto mais difíceis de obter para a globalidade obras de arte. Os modelos de previsão da degradação podem ainda ser classificados como sendo de natureza determinística ou probabilística.

Nos modelos determinísticos considera-se que a obra se vai deteriorando ao longo do tempo de acordo com uma determinada função, de 100% até zero no final do respetivo tempo de vida (Kleywegt, 2010).

Como exemplo de um modelo de degradação determinístico pode referir-se o modelo simplificado bilinear ilustrado na Figura 3.1, que consta de uma especificação do Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC, 2007), relativa ao desempenho de estruturas de betão armado e pré- esforçado sujeito à ação do dióxido de carbono ou dos cloretos. Esse modelo permite estimar a resistência da estrutura face às ações ambientais ou, em alternativa, o tempo de vida útil remanescente.

Figura 3.1 – Modelo de degradação estrutural de Tuutti (LNEC, 2007) Período de iniciação Período de propagação Tempo/Idade Limite de aceitação

Tempo de vida técnico

Grau de dano

Neves (2005) também apresenta um modelo de degradação do estado de condição e também do índice de segurança estrutural que se baseia em funções contínuas bilineares e ainda em funções não-lineares, de forma a procurar um melhor ajuste a situações reais que demostraram que a degradação pode aumentar de forma aproximadamente parabólica. Os trabalhos de Neves et al. (2010) resultam de uma evolução de uma proposta de Thoft-Christensen (1998) para previsão da evolução temporal do índice de segurança estrutural, para casos com e sem manutenção, a partir de funções contínuas bilineares, com o primeiro segmento, o correspondente à fase de iniciação da degradação, em patamar.

Contudo, o elevado nível de incerteza associado à previsão de um estado de futuro de uma estrutura leva vários autores a adotar métodos probabilísticos. Nos modelos probabilísticos considera-se que a deterioração ao longo do tempo é desconhecida e que há apenas uma probabilidade de a deterioração se vir a processar de acordo com uma determinada lei, tendendo por isso a ser cada vez mais adotados em detrimento dos modelos determinísticos.

A abordagem probabilística pode ser feita com recurso a matrizes de Markov, formadas por exemplo pelas probabilidades de transição anuais entre os diferentes níveis de estado de condição, de forma a permitir efetuar uma previsão da evolução desse parâmetro de performance ao longo do tempo.

Há também modelos que consideram uma previsão probabilística do tempo de serviço futuro, com a vantagem de permitir que as intervenções sejam avaliadas tendo em conta não só o custo da sua implementação mas também a extensão de tempo de vida que lhes é inerente. Nesses modelos o tempo de serviço remanescente é modelado a partir de funções do tipo Weibull ou exponenciais, definidas a partir de modelações que têm em conta vários modos de falha e consideram um conjunto de componentes independentes ou associadas (em série ou em paralelo) ou até mesmo modelações com análises não-lineares com elementos finitos (Noortwijk & Klatter, 2004; Yang, Frangopol et al., 2004; Yang, Frangopol et al., 2006; Okasha & Frangopol, 2010b; Okasha & Frangopol, 2010a). Esses modelos implicam no entanto a determinação de um vasto conjunto de dados, tornando mais difícil o seu enquadramento numa análise relativa a um grande conjunto de obras de arte.

Pode recorrer-se ainda a uma abordagem alternativa com base em dados de monitorização. Noortwijk e Klatter (2004), por exemplo, fizeram um ajuste estatístico de um conjunto de pontes holandesas monitorizadas que pode ser usado para previsões do comportamento futuro de outras pontes. No entanto, os elevados custos de monitorização dos parâmetros envolvidos ainda não justificam a sua generalização, pelo que importa encontrar alternativas para as obras relativamente às quais não há registo desse tipo de dados.

A partir de um conjunto significativo de registos históricos de estados de condição de diversas obras de arte, podem desenvolver-se métodos de previsão da degradação baseados em técnicas de inteligência artificial, como por exemplo as redes neuronais. De uma forma simplificada pode dizer-se que nas redes neuronais são determinadas as melhores leis que, a partir de uma parte dos dados, melhor conseguem prever a outra parte, relativamente a diversas divisões e subdivisões da amostra. Como exemplo da aplicação desse tipo de técnicas no âmbito da gestão de obras de arte pode referir-se o trabalho de Huang e Chen (Huang & Chen, 2012). No entanto, esse tipo de análise só é mesmo possível a partir de um grande conjunto de dados de partida, para que a validação das funções encontradas seja possível.

No presente trabalho, uma vez que se pretende prever a evolução do estado de condição (EC) das pontes ao longo do tempo a partir da classificação atribuída a esse parâmetro nas inspeções realizadas, o modelo de degradação considerado será baseado em matrizes de Markov. Esse tipo de modelos já tem vindo a demonstrar bons resultados no âmbito de sistemas de decisão associados à gestão da intervenção em obras de arte como as pontes. A previsão da degradação do EC com recurso a matrizes de Markov, relativamente a pontes ou componentes das mesmas, é de facto usual, tendo sido usada em dois dos mais importantes programas na área da Gestão de Obras de Arte, o Pontis e o Bridgit. As matrizes de Markov são escolhidas principalmente porque é relativamente fácil reunir os dados que permitem identificar as probabilidades de transição entre os diferentes níveis desse parâmetro de performance. Em seguida será feita uma apresentação mais detalhada dos Processo de Markov e da sua utilização para a previsão da degradação dos estados de condição de pontes.

3.2.1. Processos de Markov

Os processos de Markov são processos estocásticos, ou seja, processos de natureza aleatória que envolvem o comportamento de um sistema no tempo, baseados em considerações probabilísticas. Tendo em conta as diferentes formas de considerar quer a variável estado de condição quer a variável tempo, os processos estocásticos podem ser classificados de acordo com o apresentado na Tabela 3.2.

Tabela 3.2 – Classificação dos processos de Markov (Costa)

Tempo

Discreto - X(t), t=0,1,2,… Contínuo - X(t), t>0 Estado de

condição

Discreto Cadeia de Markov de parâmetro discreto Cadeia de Markov de parâmetro contínuo Contínuo Processo de Markov de parâmetro discreto Processo de Markov de parâmetro contínuo

Uma vez que o estado de condição (EC) considerado para as pontes é de natureza discreta, as cadeias de Markov são adequadas para efetuar a previsão da sua evolução futura, a partir dos resultados que forem sendo registados nas inspeções periódicas das mesmas.

As cadeias de Markov podem ser de primeira ordem ou de ordem superior a um. Quando apenas se tem em consideração o EC anterior, as cadeias de Markov não têm memória e são classificadas como sendo de primeira ordem. Quando as cadeias de Markov têm em conta mais do que um EC anterior na previsão do EC num instante futuro, classificam-se como sendo de ordem superior a um. O número das cadeias de Markov corresponde ao número de estados passados tidos em consideração para efetuar a previsão do estado seguinte.

As cadeias de Markov podem ainda ser classificadas como estacionárias, quando não forem afetadas por uma deslocação na origem dos tempos, ou, no caso contrário, como não-estacionárias. Sendo as probabilidades constantes ao longo do tempo o processo é também designado como homogéneo no tempo.

Em seguida será feita uma breve referência a alguns tipos de Cadeias de Markov, traduzidas a partir de matrizes de Markov, que podem ser considerados para apoio à tomada de decisões relativas a obras de arte.

3.2.1.1. Matrizes de Markov estacionárias de primeira ordem

As matrizes de Markov estacionárias de primeira ordem agrupam as probabilidades de transição entre n diferentes estados de condição. As matrizes de Markov têm uma dimensão de n x n, em que n corresponde ao número de níveis da escala classificativa considerada para o EC. Considerando P(X=j) a probabilidade de o sistema estar no estado j, essas matrizes de Markov podem definir-se com os valores MMjk, correspondentes à probabilidade de passar do estado j para

(3.1). Esse intervalo de tempo (t), que correspondente à diferença entre o tempo final de registo do novo estado (tf) e o tempo inicial correspondente ao estado de partida (tin), é discreto,

equidistante e inteiro, sendo usualmente correspondente a um ou dois anos. Por inerência ao conceito de probabilidade, todos os valores da matriz são não negativos e a soma dos vários valores de cada linha j é unitária, de acordo com a expressão (3.2).

( | ) (3.1)

∑ =1 (3.2)

Nos intervalos de tempo em que as pontes não são alvo de qualquer tipo de intervenção de reparação ou reforço, não é espectável qualquer melhoria do respetivo estado de condição. Dessa forma, os valores de MMjk correspondentes a uma matriz de previsão da degradação são nulos

quando k corresponde a um estado melhor que j.

Considerando VE(t) como vetores estado no instante t, de dimensão 1xn, em que cada valor corresponde à probabilidade de estar em cada um desses n níveis da escala de classificação do estado de condição, podem considerar-se as expressões (3.3) a (3.4). Generalizando, as expressões (3.3) e (3.4) podem ser substituídas pelas expressões (3.5) e (3.6) para previsão de estados futuros a partir do vetor relativo ao estado de condição inicial, o VE(0) (Cesare, Santamarina et al., 1992; Morcous, 2006).

( ) ( )  (3.3)

( ) ( )  (3.4)

( ) ( )  (3.5)

( ) ( )  (3.6)

A partir do vetor estado relativo a um qualquer instante futuro (t), por multiplicação por um vetor coluna de dimensão nx1 com os diferentes n níveis de classificação inerentes à escala classificativa considerada, é possível obter o valor determinístico médio previsto para o estado de

condição (EC) nesse instante de tempo, de acordo com a expressão (3.7). Assim, a partir das matrizes de Markov e do estado de condição atual, é possível analisar cadeias com as probabilidades de transição entre os diferentes estados e traçar curvas de previsão da evolução temporal do estado de condição ou até da probabilidade de estar num determinado nível de estado de condição. ( ) ( ) [ ] (3.7)

A definição das matrizes de Markov para determinados grupos homogéneos de pontes ou suas componentes pode ser feita com base em simulações obtidas com modelos de deterioração resultantes de estudos teórico-experimentais, por validação de um conjunto de peritos ou, quando se consegue reunir um número significativo de registos com histórico, com base na análises estatísticas dessa informação. Dessa forma as matrizes podem refletir a incerteza associada a múltiplos fatores, desde os relacionados com as características da própria obra de arte até aos relacionados com as diversas ações a que as mesmas estão sujeitas.

As principais vantagens da utilização das matrizes de Markov para previsão da degradação futura de obras de arte como as pontes são as seguintes:

 Possibilidade de representar a incerteza associada à degradação das pontes.

 Facilidade de consideração do estado de condição atualizado nas previsões efetuadas.

 Elevada eficiência computacional, mesmo quando são considerados grandes conjuntos de obras de arte.

Por outro lado, as principais críticas apontadas aos modelos de previsão da degradação baseados em matrizes de Markov estacionárias de primeira ordem são:

 A consideração de valores discretos (que pode não chegar propriamente a ser um inconveniente nos casos em que se consideram estados de condição discretos e intervalos de inspeção periódicos).

 Nos casos em que resultam de um ajuste relativamente a registos observados, acabam por não conseguir captar propriamente os processos de deterioração envolvidos nem a influência da degradação das diversas componentes na degradação

da obra (fator pouco relevante para análises relativas ao planeamento de possíveis intervenções futuras).

 A falta de memória que não permite considerar nem a idade da obra nem os estados relativos a instantes anteriores.

 A consideração de instantes temporais discretos, constantes, que podem não conseguir caracterizar de forma exata as situações reais.

Estas duas últimas debilidades poderão de facto ser o maior inconveniente associado à previsão da degradação de pontes com matrizes de Markov não estacionárias de primeira ordem, razão pela qual se faz também referência em seguida a alguns outros tipos de matrizes de Markov que visam obviar esse inconveniente.

3.2.1.2. Matrizes de Markov estacionárias de ordem superior a um

Pode ainda equacionar-se a elaboração de processos de Markov com matrizes que tenham em conta os vários estados de condição por que a ponte foi passando ao longo dos instantes de tempo anteriores, conforme referido, por exemplo por Scherer & Glagola (Scherer and Glagola). Essas matrizes têm um número de ordem que corresponde ao número de estados tidos em consideração (o atual mais os passados) que é superior a um (Sobreiro, 2011). A Figura 3.2 mostra um exemplo de uma dessas matrizes de Markov.

Figura 3.2 – Exemplo de matriz de Markov de 2ª ordem (Sobreiro, 2011)

Morcous (2006) conclui no entanto, relativamente à degradação de tabuleiros de pontes, que a simplificação correspondente a considerar a independência do estado de condição é aceitável, uma vez que na sua análise representam um nível de confiança de 95%, perfeitamente aceitável para análises relativas a parques de obras de arte.

Estado E1 E2 E3 E1E1 0,81 0,15 0,04 E2E2 0 0,71 0,29 MM(Dt=5) = E1E2 0 0,77 0,23 E3E3 0 0 1 E1E3 0 0 1 E2E3 0 0 1 MM(t=5)=

3.2.1.3. Matrizes de Markov não estacionárias de tempo discreto

As matrizes de Markov não estacionárias seguem a filosofia geral das matrizes de Markov estacionárias, anteriormente apresentadas, mas passam a ser dependentes de variáveis temporais como a idade da ponte ou o tempo decorrido no estado de condição de partida. As matrizes de Markov não estacionárias já não consideram um comportamento homogéneo do processo estocástico, podendo depender do fator tempo, quer em termos de tempo de calendário, quer em termos de idade ou até mesmo considerando ambos em simultâneo. Nas matrizes de Markov não estacionárias de tempo discreto, as probabilidades de transição entre os vários níveis de estado de condição variam em determinados intervalos de tempo discretos.

Jiang (1990) apresenta matrizes de Markov não estacionárias de tempo discreto, com uma diferenciação das matrizes de acordo com a idade da ponte em análise, mostrando que, em alguns casos, a variabilidade associada à idade pode ser bastante significativa. Devaraj (2009) também apresenta matrizes de Markov diferenciadas por faixas etárias e a partir da sua comparação com as matrizes de Markov homogéneas usadas no programa Pontis, evidencia algumas diferenças entre as duas abordagens, especialmente nas pontes em melhores estados, que podem conduzir a alterações consideráveis do resultado. Reale também apresenta matrizes de Markov diferenciadas tendo em conta a idade da obra, que defende serem vantajosas em relação às matrizes não-homogéneas por traduzirem melhor a degradação (Reale & O’Connor, 2012; Reale, 2013). As matrizes de Markov associadas a estes trabalhos voltarão a ser adiante referidas, com uma apresentação mais detalhada das mesmas.

3.2.1.4. Matrizes de Markov não estacionárias de tempo contínuo

Uma vez que os dados históricos estatísticos que servem de base à definição das matrizes de Markov, usadas para previsão da degradação de obras de arte, nem sempre são periódicos, pode considerar-se que os intervalos de tempo entre diferentes estados de condição são variáveis. Para traduzir a variabilidade temporal associada ao processo de degradação podem adotar-se Matrizes de Markov não estacionárias de tempo contínuo, onde o tempo de transição entre diferentes estados de condição é tratado como uma variável aleatória que pode ser definida com uma determinada função de distribuição de probabilidade.

Com esse tipo de modelos, Mishalani e Madanat (2002) concluem que o impacto da idade é mais relevantes nos melhores estados de condição onde a degradação do betão é mais condicionada pelos processos químicos do que pelos processos físicos, algo que aliás é também constatado por Devaraj (2009) a partir de matrizes de Markov não estacionárias de tempo discreto.

Para além de Mishalani e Madanat (2002), há ainda vários outros trabalhos que podem ser referidos como exemplos de matrizes de Markov não estacionárias de tempo contínuo usadas na previsão da degradação estrutural (Kallen, 2007; Pandey, Yuan et al., 2009; Sobreiro, 2011; Thompson, 2012).

3.2.2. Tipo de modelo de degradação a considerar para a metodologia de gestão

A previsão da degradação do estado de condição das pontes será feita com recurso a matrizes de Markov. Dado que apenas se pretende fazer uma previsão do estado de condição em instantes de tempo discretos, as matrizes de tempo contínuo não serão consideradas. De entre os vários tipos de matrizes de Markov que foram apresentados, pode dizer-se que as de ordem superior a um serão mais precisas que as de primeira ordem e que as não-estacionárias também serão mais precisas que as estacionárias. No entanto, esse aumento de precisão implica também uma maior complexidade do modelo e uma maior exigência em termos de informação disponível que pode complicar a sua determinação e aplicação a um processo de decisão relativo a um grande conjunto de obras de arte. Por conseguinte, importa encontrar um compromisso entre a exatidão do modelo e a sua complexidade de implementação, para encontrar o que melhor se adapta ao tipo de metodologia de gestão que se apresenta.

Relativamente à independência da degradação dos estados de condição passados, Mishalani e Madanat (2002) concluem que essa poderá ser uma simplificação aceitável. Para além disso, nem sempre há registos históricos que o permitam considerar, pelo que as matrizes de Markov de ordem superior a um não serão consideradas. Relativamente à estacionariedade, a metodologia permitirá considerar tanto as matrizes de Markov estacionárias com as não estacionárias de tempo discreto que considerem uma diferenciação das probabilidades de transição entre estados de condição por faixa etária.

Dessa forma, a idade da obra de arte pode ser considerada como um parâmetro com influência na degradação. Ainda assim, as matrizes de Markov estacionárias de primeira ordem também serão consideradas, já que a simplificação resultante da não consideração da idade da obra é considerada por vários autores como aceitável (Guignier & Madanat, 1999; Morcous, Lounis et al., 2002). Na verdade, as matrizes de Markov estacionárias continuam a ser muito usadas para prever a evolução do estado de condição de pontes ou dos elementos que as constituem, como por exemplo no âmbito dos Sistemas de Gestão Pontis (Thompson, Small et al., 1998) e KUBA (M. Schläfli, Hajdin et al., 2000; Hajdin, 2008).