Passage pr`es de la singularit´e

Sur la structure ´etudi´ee, la singularit´e correspond `a une orientation de l’axe de l’outil selon l’axe z pour laquelle A= 0 et C est ind´efini. Cette position peut poser des difficult´es lors du traitement de la trajectoire quand i et j sont tr`es petits mais non nuls. Dans ce cas, le probl`eme peut engendrer des mouvements d´esordonn´es de l’axe C qui peuvent marquer les pi`eces et aug-menter le temps d’usinage. Nous proposons un exemple qui illustre les mouvements incoh´erents

de la machine lorsque la trajectoire de l’outil passe tr`es pr`es de la singularit´e sans la traverser exactement. Cet exemple a ´et´e publi´e lors de la conf´erence HSM 2006 [Tournier et al. 2006] et faisait suite `a une collaboration entre le LURPA et le Laboratoire des Machines Hydrauliques de l’Ecole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne.

On consid`ere l’usinage d’un bord d’attaque d’aube suivant des plans parall`eles comme sur la figure 2.4. La strat´egie d’orientation de l’axe de l’outil est une strat´egie `a angle de d´epinc¸age constant. Nous retenons deux angles diff´erents, θt = 0 pour la strat´egie 1 et θt = 5 pour la strat´egie 2.

FIG. 2.4: Pi`ece de test

Lors de l’usinage de la pi`ece avec la strat´egie 2, on observe un mouvement de l’axe C incoh´erent lorsque les points de la trajectoire sont proches de la singularit´e (figure 2.5). Ce mouvement de l’axe C s’effectue tr`es localement, sur toutes les passes mais avec des amplitudes diff´erentes. Il ralentit fortement l’usinage et engendre des marques sur la pi`ece.

Apr`es v´erification du programme g´en´er´e dans l’espace pi`ece, nous pouvons constater que nous ne sommes pas exactement sur la singularit´e. Si on compare les deux strat´egies, on s’aperc¸oit que l’on n’approche pas le point de singularit´e de la mˆeme mani`ere. Dans le cas du programme avec d´epinc¸age, l’inversion du signe de j a lieu alors que i n’est pas nul. D’apr`es les ´equations du tableau 2, il n’y a donc pas continuit´e de C lorsque l’on passe d’une solution articulaire (A1,C1) `a l’autre (A2,C2) quand j change de signe.

Sur la figure 2.6 `a gauche, nous avons repr´esent´e la fonction C= −atan(i/ j) avec des cou-leurs diff´erentes pour chaque solution articulaire afin de faire apparaˆıtre la discontinuit´e de π lorsque l’on passe de j< 0 `a j > 0. Ainsi sur la figure de droite, le long de la trajectoire, les

FIG. 2.5: Valeurs de A et de C calcul´ees par le post-processeur

FIG. 2.6: Valeurs de l’angle C dans le plan i j

valeurs de C pour j< 0 peuvent monter `a 90˚ quand j tend vers « z´ero moins » et les valeurs

de C pour j> 0 provenir de -90˚ quand j tend vers « z´ero plus ». Selon l’´echantillonnage de la

trajectoire, l’amplitude du mouvement ´etudi´e peut donc valoir π. Sur la figure 2.7 nous avons repr´esent´e des« iso lignes » de la fonction Arctan pour des valeurs enti`eres, et les coordonn´ees sur i et j de l’orientation de l’outil pour chacun des points des trajectoires programm´ees. Les strat´egies 1 et 2 ont un comportement similaire mais d´ecal´e d’une valeur sur j correspondant au d´epinc¸age de 5˚. C’est la position des points de chaque courbe qui permet de voir pourquoi et comment apparaissent les mouvements incoh´erents. Ainsi si on effectue un zoom dans les zones proches de la singularit´e(i = 0, j = 0), on observe tr`es clairement la pr´esence d’un point

sur une des trajectoires de la strat´egie 2 dans une zone o`u l’angle C vaudrait environ 52 degr´es, ce qui est coh´erent avec le programme. Les« iso lignes » ´etant tr`es rapproch´ees dans cette zone, le mouvement observ´e est donc a priori tout `a fait normal.

FIG. 2.7: Valeurs de C au changement de solution articulaire

2.3 M´ethode de r´esolution

La seule suppression du point incrimin´e dans le programme engendrerait une erreur de corde trop importante par rapport `a la tol´erance d’usinage sp´ecifi´ee. La m´ethode d´evelopp´ee,

Geo5XPro, consiste `a d´eformer la courbe 3D suivie par un point fixe de l’axe de l’outil ou `a

modifier la courbe 2D dans le plan i j. En effet, une intervention par d´eformation permettrait de conserver une continuit´e dans le mouvement des axes de rotations. Afin par exemple de ne pas perturber le comportement de l’axe A lors de la modification, on impose `a la d´eformation dans le plan i j l’´equation suivante : i<sup>2</sup>+ j2= 1 − k2 qui se traduit par l’appartenance du point modifi´e `a un cercle de rayon 

(1 − k2) centr´e sur l’origine. Nous avons appliqu´e cette modification sur des positions outils pr´ec´edant et suivant le mouvement incoh´erent et calcul´e les valeurs de l’angle C (figure 2.8). La transition entre les deux espaces de solutions est continue. La com-mande num´erique a ´et´e capable d’interpoler ces positions d´eclar´ees en A et C et le mouvement incoh´erent a disparu.

FIG. 2.8: Modification de la trajectoire d’usinage dans le plan i j

2.4 Conclusion

Ces travaux nous ont permis d’identifier pr´ecis´ement la provenance des mouvements in-coh´erents en usinage `a 5 axes et de proposer une m´ethode de modification de la trajectoire,

Geo5XPro. En effet, les logiciels de simulation d’usinage et de FAO, mˆeme s’ils peuvent

mon-trer les mouvements incoh´erents, ne proposent pas d’outils pertinents pour les supprimer ou les diminuer. Le probl`eme du passage pr`es de la singularit´e est un probl`eme qui avait d´ej`a ´et´e ex-plor´e dans le cadre de l’interpolation polynomiale `a 5 axes mais la solution adopt´ee avait ´et´e de s’´ecarter de la singularit´e [Affouard et al. 2004]. Il nous a sembl´e qu’en interpolation lin´eaire il ´etait plus int´eressant de s’en rapprocher pour ´eviter les mouvements de grandes amplitudes. La solution consiste donc `a modifier l’orientation de l’axe de l’outil pr`es du point singulier. Cependant, si cette modification n’alt`ere pas la hauteur de crˆete avec un outil h´emisph´erique, il n’en est pas de mˆeme avec un outil torique. Pour l’outil torique, la solution ne peut donc pas venir d’un post-traitement de la trajectoire car il est n´ecessaire de connaˆıtre la g´eom´etrie de la pi`ece `a usiner. En effet pour conserver les hauteurs de crˆetes sp´ecifi´ees en vue d’obtenir la qualit´e requise, il faut modifier les angles d’orientation de l’outil dans le rep`ere local li´e au plan tangent de la surface au point usin´e. Ce type d’outil doit donc ˆetre int´egr´e `a la g´en´eration des trajectoires d’usinage.