1 L’interpolation polynomiale
L’interpolation polynomiale est un moyen d’interpr´eter des trajectoires d’usinage d´ecrites sous formes de courbes polynomiales. Celles-ci pr´esentent l’avantage de d´ecrire des portions plus grandes de trajectoires avec moins d’information que l’interpolation lin´eaire et d’assurer une continuit´e en courbure de la trajectoire. C’est donc un format id´eal pour l’usinage grande vitesse qui requi`ere des vitesses de traitement rapides par la commande num´erique et l’absence de discontinuit´e pour garantir la vitesse d’avance programm´ee [Duc 1998]. Les premiers tra-vaux `a ce sujet ont davantage port´e sur la mani`ere de d´eterminer des trajectoires sous forme de courbes B-splines pour garantir le respect de la g´eom´etrie de la surface et de la tol´erance d’usinage plutˆot que sur les aspects cin´ematiques [Duc et al. 2001], [Valette et al. 2000]. Les travaux pr´esent´es dans la premi`ere partie portent donc sur l’influence du format polynomial et du mode de calcul des courbes du point de vue cin´ematique. Nous ´etudierons en particulier les vitesses d’avances atteintes lors de l’usinage. Nous verrons ensuite comment la description des trajectoires d’usinage sous forme de courbes polynomiales peut ´evoluer vers un format d’inter-polation surfacique pour am´eliorer la qualit´e des surfaces gauches usin´ees en fraisage `a 3 et 5 axes.
1.1 Les formats de description des trajectoires
Les directeurs de commande num´erique poss`edent un langage de description des trajec-toires d’usinage qui ne sait pas interpr´eter le mod`ele math´ematique de courbes utilis´e dans les logiciels de CFAO. Il est donc n´ecessaire de transformer la trajectoire calcul´ee par le lo-giciel de CFAO. Cette transformation d´epend du type d’interpolation g´er´ee par la commande num´erique (CN). Les trajectoires sont actuellement programmables en interpolation lin´eaire, circulaire ou polynomiale. L’interpolation lin´eaire est le format le plus commun´ement r´epandu car il est tr`es simple `a ´etablir. L’outil se d´eplace de point en point, en ligne droite et `a une vitesse donn´ee. La trajectoire d’usinage est transform´ee en une ligne bris´ee par le logiciel de CFAO. La distance entre les points d’´echantillonnage est fonction de l’erreur de corde accept´ee entre la courbe th´eorique et le segment de droite suivi. Plus il y a de points, plus l’erreur est faible et plus on approche la trajectoire th´eorique. Ainsi la distance entre l’enveloppe du mouvement de l’outil et la surface nominale, est uniquement nulle aux points de passage de l’outil calcul´es. Ailleurs sur la surface, les ´ecarts g´eom´etriques r´esultent de la combinaison de la fl`eche, de la hauteur de crˆete et de l’avance `a la dent [Lartigue et al. 1999], [Quinsat et al. 2008]. Par contre un nombre trop important de points engendre des fichiers de grande taille et des probl`emes de suivi de trajectoires lorsque la vitesse d’avance programm´ee est importante. C’est pourquoi l’interpolation polynomiale s’est d´evelopp´ee. En interpolation polynomiale, il s’agit de faire passer une courbe au plus pr`es des positions de l’outil pos´e sur la pi`ece. La courbe doit res-pecter la tol´erance d’usinage donn´ee et son param´etrage doit ˆetre en corr´elation avec l’abscisse curviligne pour un meilleur suivi de trajectoire lors de l’usinage. Auparavant, les portions de trajectoires sans discontinuit´es sont d´etect´ees. En effet, il n’est pas concevable qu’un angle vif soit au milieu d’une courbe continue en courbure, il doit ˆetre `a la jonction de deux courbes. Les courbes sont g´en´eralement donn´ees sous forme de B-splines [Lartigue et al. 2001], de NURBS ou de polynˆomes canoniques de degr´e 3 ou 5. Mais ce format n’est pas d´efini dans le code ISO [ISO6983 1982] et chaque constructeur de CN a donc d´efini sa propre syntaxe.
Erreur de corde Courbe à usiner Polygone suivi par l’outil CL Erreur de corde Courbe à usiner Courbe suivie par l’outil CL
FIG. 3.1: Interpolation lin´eaire et polynomiale
1.2 L’interpolation polynomiale dans la chaˆıne num´erique
Le recours au format polynomial peut se faire `a diff´erents niveaux dans la chaˆıne num´erique de programmation et d’ex´ecution des trajectoires (figure 3.2). Quel que soit le processus adopt´e pour la g´en´eration des trajectoires, le mod`ele de r´ef´erence est le mod`ele CAO. L’interpola-tion polynomiale peut alors ˆetre introduite `a trois niveaux diff´erents, g´en´erant trois proces-sus diff´erents. Le premier procesproces-sus consiste `a int´egrer directement le format polynomial lors de l’activit´e de g´en´eration de trajectoires [Lartigue et al. 2001]. Dans ce processus, les trajec-toires polynomiales sont calcul´ees `a partir de la surface offset et ne sont d´ecrites sous forme de lignes droites `a aucun moment. Le second processus consiste `a int´egrer un post processeur qui modifie le format de description des trajectoires, passant d’une interpolation lin´eaire `a une interpolation polynomiale, avant l’ex´ecution sur la commande num´erique [Valette et al. 2000] [Lavernhe et al. 2004]. Enfin dans le troisi`eme processus, une interpolation polynomiale `a la vol´ee est effectu´ee par la commande num´erique `a partir d’une trajectoire programm´ee en in-terpolation lin´eaire. La CN d´etermine alors en temps r´eel la courbe interpolatrice d’un groupe de points [Altintas and Erkorkmaz 2003], [Cheng et al. 2002], [Fleisig and Spence 2001]. Ce-pendant la g´eom´etrie pilot´ee lors de l’usinage ne peut ˆetre connue exactement. Pour augmenter la pr´ecision, il est donc pr´ef´erable de r´ealiser l’association de courbes hors ligne, c’est `a dire suivant les processus 1 et 2. Il est `a noter que la plupart des commandes num´eriques modernes proposent l’interpolation polynomiale `a la vol´ee (Proc.3) mais toutes ne permettent pas d’in-terpr´eter une trajectoire polynomiale programm´ee en amont (Proc.1 et 2). Enfin des travaux ont ´egalement men´es au d´eveloppement d’un format de description polynomial de trajectoires de fraisage `a 5 axes bas´e sur le processus 2 [Langeron et al. 2004].
Description de la trajectoire linéaire FAO Calcul des trajectoires CAO Conception du modèle Post Processeur Modèle géométrique polynomial X Y Z A