Passage du continu au discret

2.2.2.1 Discrétisation

Un ordinateur n’étant pas capable de résoudre une équation sur des variables conti-nues, les simulations d’EDP sont très souvent transformées en problèmes discrétisés. Dans le cas d’une EDP, deux types de dimensions sont souvent représentés :

— le premier est le temps. Cette dimension sert à modéliser l’évolution du phénomène réel dans le temps. Sa discrétisation consiste alors à découper le temps de la simulation en un pas constant, que l’on note ∆t, et qui est calculé de façon à rester cohérent avec l’éventuel mouvement calculé dans la simulation ;

— le deuxième type de dimension représenté est le domaine physique dans l’espace, ou plus simplement, le domaine, noté Ω. Suivant que la simulation représente un phénomène dans une, deux ou trois directions (ou dimensions en espace), les EDP feront intervenir une, deux, ou trois variables supplémentaires au temps, que l’on note x, y, et z. La discrétisation du domaine d’étude Ω, et donc des variables associées (x, y, z), est alors appelée un maillage.

En théorie, donc, on dit qu’une EDP est de dimension 2 lorsque elle dépend de t et de x, ou de dimension 4 lorsqu’elle dépend de t et (x, y, z). Toutefois, on ne dénote généralement, et dans le reste de cette thèse, que les dimensions en espace pour décrire une EDP. La dimension suivant le temps est, en effet, généralement sous entendue. L’équation de Laplace présentée dans l’équation (2.2), par exemple, est une EDP à deux dimensions, ou 2D.

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2.2.2.2 Maillages

Un maillage est issu de la discrétisation d’une ou plusieurs variables spatiales dans une EDP. Il s’agit d’un ensemble de points reliés entre eux et qui forment le domaine d’étude de façon simplifiée et discrétisée. Un maillage est plus précisément défini par (1) un repère, (2) les points qui le constituent (tous associés à des coordonnées), et (3) les cellules formées en reliant ces points. Un maillage est caractérisé par sa dimension (typiquement 1D, 2D ou 3D), son aire ou son volume (suivant qu’il est 2D ou 3D), sa fi-nesse (précision du maillage), et la géométrie de ses cellules (triangles, carrés, tétraèdres, cubes etc.). Plus un maillage est fin plus l’aire moyenne (ou le volume moyen en 3D) représentée par ses cellules est faible. Plus le maillage est fin, plus on se rapproche du domaine continu et plus la simulation pourra être précise. Parmi tous les maillages pos-sibles, on peut noter plus particulièrement deux grandes familles, les maillages structurés et non-structurés. Typiquement, on dit qu’un maillage est structuré si il peut être généré en reproduisant plusieurs fois la même maille. À l’inverse un maillage est non-structuré si chacune de ses mailles est différente.

0,0

1,1

Figure 2.1 – De la gauche vers la droite : maillage cartésien, curvilinéaire et non-structuré.

Maillages structurés cartésiens. Ce type de maillage est régulier et rectangulaire et est illustré dans la figure 2.1. Historiquement, la discrétisation en points du domaine a tout d’abord été associée à des maillages structurés de type cartésiens dans lesquels il est facile de déterminer le voisinage d’un point. Toutefois ce n’est pas le seul type de grille régulière qu’il est possible d’utiliser pour une discrétisation.

Maillages structurés curvilinéaires. Il est également possible d’utiliser d’autres systèmes de coordonnées, comme des coordonnées cylindriques ou sphériques qui peuvent toujours être assimilés à des grilles structurées, mais déformées. Ce type de maillages, dit curvilinéaire, et représenté dans la figure 2.1, peut être considéré comme rectangulaire et n’est pas différent, du point de vue de la programmation, des maillages cartésiens. Le livre Handbook of Grid Generation [117] illustre bien cette caractéristique des maillages curvilinéaires en faisant un parallèle entre un maillage et une éponge. Imaginons une

éponge rectangulaire sur laquelle a été dessinée une grille cartésienne régulière. Si l’on roule l’éponge de façon à ce que son bord droit rejoigne son bord gauche, on obtient une grille curvilinéaire cylindrique. Cette nouvelle grille peut donc être assimilée à une grille rectangulaire où deux colonnes “fantômes” ont été ajoutées à droite et à gauche afin de représenter la liaison des deux bords. Les distances séparant les points d’une grille rectangulaire et d’une grille curvilinéaire sont différentes et modifieront les schémas numériques, mais pas l’utilisation du maillage en lui-même. Il paraît bien sûr évident que l’éponge peut être déformée de façon à former n’importe quel objet, et que l’éponge peut également être étirée ou réduite. Toutefois, dans les cas complexes, l’éponge peut être tellement modifiée qu’il devient difficile de l’utiliser dans le schéma numérique. Dans ce cas, plusieurs éponges sont utilisées, chacune avec une transformation différente pour représenter l’espace. Chaque éponge est donc une grille curvilinéaire associée à une grille rectangulaire. Chaque éponge est alors appelée un bloc et ce type de grilles est appelé une grille de blocs. Les blocs doivent alors être reliés entre eux par l’ajout de mailles fantômes et la gestion des conditions limites, ce qui peut rendre la résolution compliquée.

Maillages non-structurés. Un maillage non-structuré est constitué d’un ensemble de points qui forment un ensemble de cellules. Ces cellules représentent les même géométries mais sont de dimensions différentes. Tout comme les maillages en blocs, les maillages irréguliers permettent de représenter des domaines de formes diverses et variées. Toutefois aucune transformation de la grille vers une grille rectangulaire cartésienne n’est effectuée. Dans ce cas, c’est le maillage en lui-même qui est complexe. Il est constitué d’un ensemble de points, ayant chacun des coordonnées dans l’espace (2D, 3D, etc.), et reliés entre eux de façon à former des faces et des cellules. Généralement, les maillages non-structurés sont constitués de triangles (en 2D) ou de tétraèdres (en 3D), et l’ensemble de ces cellules peut former la surface ou le volume d’un objet complexe. Un exemple de maillage non-structuré est donné dans la figure 2.1. Plus les mailles sont petites, plus la représentation sera fidèle et précise. L’une des différences majeures entre un maillage structuré et un maillage non-structuré est sa représentation en tant que structure de données informatique. Un maillage structuré à deux dimensions peut naturellement être associé à une matrice, ce qui simplifie sa programmation, les accès aux voisinages et son partitionnement. A l’inverse, dans un maillage non-structuré, il est nécessaire par un moyen ou un autre de représenter une carte des connectivités entre les éléments. Ces maillages sont très largement utilisés dans les simulations les plus complexes.

Maillages hybrides. Enfin, notons que des maillages hybrides, peu développés à l’heure actuelle, sont susceptibles de connaître un essor. Ils consistent à définir plusieurs maillages réguliers reliés entre eux par un maillage irrégulier. Tout comme les maillages constitués de plusieurs grilles curvilinéaires (grille de blocs), les maillages hybrides sont très complexes, et difficiles à mettre en œuvre.

Représentation en graphes. En théorie des graphes, un maillage est un graphe G = (V, E) (avec V l’ensemble des sommets et E l’ensemble des arêtes du graphe) projeté sur

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R, R², R³ ou davantage de dimensions. En d’autres termes, un maillage est un graphe dont chaque nœud est associé à des coordonnées dans Rⁿ. Deux caractéristiques peuvent être isolées dans un graphe représentant un maillage. Tout d’abord, le graphe G = (V, E) associé à un maillage est un graphe connexe, c’est-à-dire que pour tout nœud u et v ∈ V il existe une suite d’arêtes les reliant. De plus, un graphe représentant un maillage est un graphe sans isthme. Dans un graphe, un isthme est un pont dont l’élimination induit la formation de deux composantes connexes (c’est-à-dire que le graphe n’est plus connexe). Cette caractéristique garantie que les nœuds du graphe forment des cellules, et est illustrée dans la figure 2.2(a). Un graphe représentant un maillage pourrait également être considéré comme un graphe uniquement composé de cycles élémentaires, mais cette définition irait à l’encontre du type de graphe illustré à gauche de la figure 2.2(b), qui est a priori un cas envisageable pour un maillage. Le graphe équivalent composé uniquement de cycles élémentaires serait alors le graphe représenté à droite de la figure 2.2(b). Notons, enfin que la planarité d’un maillage sur R ou R² est évidente mais qu’elle n’est pas garantie sur R³.

isthme

(a) Exemple de graphe contenant un isthme et ne représentant donc pas un maillage.

(b) De gauche à droite : graphe représentant a priori un maillage et n’étant pas constitué que de cycles élémentaires, et son équivalent constitué unique-ment de cycles éléunique-mentaires

Figure 2.2 – Maillages en théorie des graphes.