Cas particulier du partitionnement de maillages

In (A^r)^T A^c I_m  , (2.18)

où I_m est la matrice identité de taille m × m, et I_n la matrice identité de taille n × n. La méthode de partitionnement 1D row-net est ensuite utilisée pour partitionner la matrice B. La matrice A^r étant transposée dans B, il s’agit là encore d’un partitionnement à deux dimensions, où la dimension de partitionnement, pour chaque valeur, est choisie en fonction de son attribution dans A^r ou A^c.

2.3.3 Cas particulier du partitionnement de maillages

Cette thèse traite de solutions de parallélisme implicite pour le cas des simulations scientifiques dont la résolution est basée sur des maillages. Nous allons, dans cette partie, étudier le cas spécifique, et pratique, du partitionnement de maillages pour les applica-tions parallèles. Nous allons, tout d’abord étudier l’état de l’art pour le cas des maillages réguliers à deux dimensions, puis nous traiterons le cas des maillages non-structurés. 2.3.3.1 Maillages à deux-dimensions réguliers

Comme nous l’avons vu, un maillage régulier à deux dimensions peut être de deux types. Soit un maillage cartésien, soit un maillage curvilinéaire, mais qui peut alors être

2.3. Distribution de données 41

ramené à un maillage cartésien. Un maillage cartésien est bien souvent représenté, dans les esprits, comme une matrice. Par conséquent un partitionnement fine-grain pourrait, par exemple, être envisagé pour partitionner les éléments non nuls de la matrice (tous les éléments dans le cas d’une matrice dense). Un maillage cartésien étant dense, des mé-thodes plus directes, et plus simples à mettre en œuvre, permettent d’obtenir rapidement des partitionnements équilibrés et contenant peu de communications.

Notons par exemple le partitionnement rectiligne [97], qui est obtenu en partitionnant tout d’abord les lignes du maillage en P parties, puis les colonnes en Q parties, tel que p = P Q. On peut ensuite assigner chaque combinaison obtenue à chaque processeur. Une variante de ce partitionnement est d’utiliser la même technique mais suivant une unique dimension. On pourra aussi appeler le partitionnement rectiligne 2D, le partitionnement par blocs, et le partitionnement rectiligne 1D, le partitionnement par blocs-lignes.

Dans certains cas, un maillage cartésien peut être non-uniforme. C’est le cas des maillages dits adaptatifs. Ce type de maillage peut être intéressant pour résoudre des EDP, puisqu’il permet d’adapter le maillage avec plus ou moins de précision (de points) suivant les zones d’intérêt du domaine. Dans ce cas, il peut être à la fois plus compli-qué d’équilibrer le partitionnement, mais aussi de minimiser les communications. Les travaux de Berger et Al [13] ont introduit en 1987 le partitionnement par bissection ré-cursive orthogonale (ORB) pour ce type de maillages. La figure 2.10 représente les trois partitionnements de maillages 2D introduits ici.

Figure 2.10 – De gauche à droite : partitionnement en blocs, en blocs-lignes et bissection récursive orthogonale

2.3.3.2 Maillages non-structurés

Nous venons de voir que le partitionnement des maillages réguliers est un cas de partitionnement relativement simple et pour lequel un grand nombre de possibilités de résolution est disponible. Certains maillages sont eux beaucoup plus compliqués à parti-tionner de par leur structure irrégulière. La méthode des éléments finis, que nous avons décrite dans la partie 2.2.4.3, mène dans la plupart des cas à la création d’un maillage non-structuré qui permet de représenter avec fidélité et avec plus ou moins de précision la surface ou le volume d’un objet. La plupart du temps les cellules de ces maillages re-présentent des triangles (2D) ou des tétraèdres (3D), ce qui permet, suivant la taille des mailles, de pouvoir représenter très précisément les surfaces ou les volumes. Une maille

peut avoir une taille quelconque et peut être un triangle de forme quelconque dans l’es-pace. Le voisinage y est donc régulier, dans le sens où toutes les cellules ont par exemple trois cellules voisines (dans le cas de triangles), mais les structures de données permettant de représenter un maillage non structuré sont elles plus complexes et plus lourdes que dans un maillage cartésien. Par conséquent, là où un maillage cartésien peut facilement être identifié à une matrice, le maillage non-structuré est lui plus facilement représenté par un graphe. Le problème de partitionnement d’un maillage non-structuré repose donc sur le fait de trouver la bonne représentation du maillage en graphe pour ensuite pouvoir le partitionner. Quatre représentations sont très souvent utilisées dans la littérature :

— La première, et la plus simple, est de considérer chaque point du maillage comme un sommet d’un graphe, et chaque arête d’une face du maillage comme une arête du graphe. Cette représentation est appelée le graphe nodal du maillage [122]. — La deuxième représentation, appelée le graphe dual du maillage [46,106], associe

chaque cellule du maillage à un sommet du graphe. Deux sommets du graphe sont reliés par une arête si deux cellules du maillage ont un côté, ou une face, en commun.

— La troisième représentation combine le graphe nodal et le graphe dual afin d’ob-tenir une représentation plus précise sur le maillage [122].

— Enfin, le graphe dual-diagonal représente chaque cellule du maillage par un som-met, et deux sommets sont reliés par une arête si les cellules ont un point en commun dans le maillage. Notons que cette représentation peut elle aussi être combinée au graphe dual pour représenter avec plus de précision le maillage. La figure 2.11 illustre le graphe nodal, le graphe dual et le graphe dual-diagonal d’un maillage non structuré 2D. Une fois que la représentation du maillage par un graphe

Figure 2.11 – De gauche à droite et de haut en bas : le maillage non structuré 2D, son graphe nodal, son graphe dual et son graphe dual-diagonal.

2.3. Distribution de données 43

est choisie, les partitionneurs de graphes peuvent être utilisés, comme par exemple Jostle [122], Metis [46,106] et Scotch [100,106].

Dans les travaux de Zhou et Al [131], le partitionnement d’hypergraphe est utilisé pour partitionner un maillage non-structuré 3D contenant 1.07 milliard de cellules, 163840 processeurs. Le maillage y est représenté par un hypergraphe dans lequel chaque sommet est associé à une cellule du maillage, et chaque hyper-arête correspond à une cellule et aux cellules partageant une face avec celle-ci. Le partitionneur Zoltan [27] est ensuite utilisé. Il est donc également possible d’utiliser le modèle de partitionnement d’hypergraphes pour partitionner un maillage non-structuré et représenter plus fidèlement le volume de communications.