Une partition dentelée [19] est une partition de n en une séquence de m entiers non-négatifs : m ( n i , n2, . . . , nm) ; n = Y n " (B A) i = l et qui satisfait : Uj > n-j+i - 1, Uj > nj + 2, nm > 0. (B.2)
Une partition dentelée est légèrement différente d'un partition ordinaire, telle que pré- sentée à l'annexe §A par exemple, puisqu'il est maintenant possible d'avoir une diffé- rence — l à distance 1.1
Une partition dentelée A"-restreinte [20] est une partition dentelée (B.l) qui, en plus de satisfaire (B.2), satisfait à une condition de différence 1 à distance K — 1 :
nj > U J + K - I + 1 ou nj = nj +i - 1 = nj + K- 2 + 1 = U J + K - I - (B.3)
Soit K. i, K, e des entiers positifs satisfaisant :
K > 2, A = 2 K - C , e = 0 , 1 . et 1 < i < K. (B.4)
1. Une partition satisfaisant une différence / à distance g signifie que la différence entre deux parties distantes de g est au moins / . Par exemple, pour une partition ( A ] . . . A;), on a :
A; > \,+ I J + /.
Ainsi, une partition ordinaire satisfait à une différence 0 à distance 1. Pour une partition avec toutes ses parties distinctes : une différence 1 à distance 1.
Soit jx,i(n,m), le nombre de partitions dentelées Arestreintes de n avec m parties et contenant au plus i — 1 paires de 01. La fonction génératrice des partitions dentelées Arestreintes avec au plus i — 1 paires de 01,
JK,i(z;q) = Y^Àn,m)qnzm, (B.5) n,m s'exprime comme :
*^') ^ J (,)i:(.w. (a6)
m1, T T i 2). . . , mK_ i 6 N ' * avec A,= mj + + mK_1, LJ = Nj + + NK_U N = Zq. (B.7) Il existe une seconde expression à cette fonction génératrice [30] :I(N12 + ... + N2._1+M) + L2 f,
fii,na,...,nKieN { Q , m W B ' '
avec
N3 = n3 \ h nA'i L2î = n2i + n2 i +i + 2(n2î+2 + n2 î + 3) H
M = n1+ n 3 + + nK i t A^ = na + 2n2 + • • • + { K \)nK_i (B.9) qui découle d'une interprétation combinatoire des chemins de Bressoud restreints.
Un chemin h sera un chemin de Bressoud restreint, noté h E B*aK si la séquence associée h = (ho, h \ , . . . ) avec hi E Z>o satisfait :
1. 0 < hi < K 1 et
\hi+i — hA = 0 possible seulement si hi — 0
1 ' (B.10)
2. h0 = a et /ix = 0 Vx > L > 0 ;
3. une séquence (■ ■ ■ ,hx — l,hx, hx — 1, ■ ■ ■) n'est possible que pour x E 2Z>0. La première condition indique que pour un chemin de Bressoud restreint, les liens possibles entre deux vertex successifs sont soit sudest (SE), nordest (NE) ou horizontal (H). Ce dernier cas est seulement possible si les deux vertex sont sur l'axe des x. Le chemin doit débuter à la position (0, a) sur le réseau entier et terminer sur l'axe des x (condition 2). La troisième restriction indique que la position x des pics doit être paire. Le poids d'un chemin h E LVaK, noté wt(/i), est donné par la moitié de la somme des positions des pics :
(h) = \ Y
x 6^ (
R 1 1)
wt,. 2
Annexe B. Partitions dentelées 87
et la charge totale du chemin h par :
K - 1
charge(â) = > J j n j , (B.12)
J=I
où Uj est le nombre de pics de charge j . Une définition de la charge est donnée à la section §3.1.2. La FlG. B.l montre un exemple de chemin de Bressoud restreint h de poids :
wt(/i) = ^(4 + 6 + 12 + 16 + 20 + 22) = 40 (B.13)
—
et de charge totale :
charge(n) = 1(4) + 2(1) + 3(1) = 9. (B.14) Les fonctions génératrices des chemins de Bressoud restreints donnent précisément la se-
conde expression (B.8) des fonctions génératrices des partitions dentelées A-restreintes :
Y qw i^zc h^e i h ) = JK,i(z;q) (B.15) h € B lK
avec
a = 2 ( K - i ) . (B.16) Autrement dit, soit bx,a(n, m) le nombre de chemins de Bressoud restreints de l'ensemble
B *K avec un poids n et une charge totale m. On a alors l'égalité :
JK,i(n, m) = bKt2K-2i(n, m). (B.17)
La bijection entre ces deux ensembles consiste à coder le chemin de Bressoud en un mot composé des deux lettres a et f3. La lettre a correspond à un lien SE ou H et la lettre (5 à un lien NE. On utilise ensuite la correspondance de Burge [12] pour obtenir la partition associée au chemin. La bijection est décrite en [30]. Par exemple, pour le chemin de Bressoud à la FlG. B.l, on peut montrer qu'il correspond à la partition :
(11.10.7,4,3,3,1,0,1) (B.18) sous la bijection. Il s'agit bien d'une partition dentelée 4-restreinte (conditions (B.2)
et une différence 1 à distance 3) avec au plus 1 paire de 01, dont la somme est 40 et le nombre de parties 9.
FIGURE B . l - Exemple d'un chemin de Bressoud restreint, h € BQ4 avec ni = 4 et n2 = n3 = 1.
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